推導(dǎo)連續(xù)自然數(shù)數(shù)平方和公式有多種方法，今天我們主要用代數(shù)法和三角形數(shù)陣圖法來推導(dǎo)連續(xù)自然數(shù)求和公式。

代數(shù)法推導(dǎo)過程：

用代數(shù)法推導(dǎo)連續(xù)自然數(shù)求和公式，我們需要知道以下兩個公式。

（1）連續(xù)自然數(shù)求和公式：

這個公式很容易可以證明，就不再贅述。

(2)整數(shù)列項公式：

對于這個公式，我們可以對每一項作如下拆分。比如3??4=（3??4??5-2??3??4）?3

3??4后面加一個因數(shù)5擴(kuò)大5倍，前面加一個因數(shù)2擴(kuò)大2倍，作減法后擴(kuò)大3倍，因此后面除以3。然后把每一項都作上述拆分并相加，相加后幾乎所有項都可以抵消，只剩最小的第一項和最大的最后一項，因為第一項是0??1??2=0，因此省略。得如上公式形式。

上述從1??2開始的整數(shù)列項如果用語言表述，就是最后一項后邊添一項，然后再除以3.

（3）推導(dǎo)過程：

把每個平方數(shù)拆為兩數(shù)相乘形式，并把其中一個因數(shù)寫成一個數(shù)減1的形式，或一個數(shù)加1的形式。比如3??3=3??（4-1）或3??3=3??（2+1）。這兩種形式選一種即可。我們選擇相減，拆分后如下。

1×(2-1)+2?×(3-1)+3×(4-1)+…+n×[(n+1)-1]

然后再把括號展開變?yōu)槿缦滦问?/p>

1×2+2?×3+3×4+…+n(n+1)-(1+2+3+4+…+ n)

然后按照上面所講的整數(shù)裂項公式和連續(xù)自然數(shù)求和公式求得結(jié)果如下

最后通分相減得出公式：這個就是連續(xù)自然數(shù)求和公式的結(jié)果

數(shù)陣圖法推導(dǎo)過程

看如下三角形數(shù)陣圖

這個數(shù)陣圖每一行的和剛好是該行數(shù)字的平方，比如倒數(shù)第2行，2個2就是2的平方。因此這個數(shù)陣圖的所有數(shù)字和就是從1開始的連續(xù)自然數(shù)平方和。

下面我們對數(shù)陣圖進(jìn)行變形

這三個數(shù)陣圖的數(shù)字一樣，只是排列方式不一樣，你會發(fā)現(xiàn)這三個數(shù)陣相同位置的三個數(shù)字和都是2n+1,因此這三個數(shù)陣圖的所有數(shù)字和是：(1+2+3+…+n)×(2n+1)。

又因為每個數(shù)陣圖剛好是連續(xù)自然數(shù)的平方和，因此可得如下等式

把這個等式整理后就可以得到連續(xù)自然數(shù)平方和公式