秋風(fēng)送爽，學(xué)期伊始。本號(hào)為計(jì)量小伙伴們送上一個(gè)開(kāi)學(xué)小禮包：如何使用雙重差分法的交叉項(xiàng)（迄今最全攻略）。

雙重差分法（Difference-in-differences，簡(jiǎn)記DID）無(wú)疑是實(shí)證研究中最常用的計(jì)量方法之一，而交互項(xiàng)則是DID的靈魂。在計(jì)量實(shí)踐中，取決于數(shù)據(jù)的類型與性質(zhì)，DID的交互項(xiàng)有著不同的形式。靈活地使用DID的交互項(xiàng)，是實(shí)證研究的一項(xiàng)重要技能。為此，本文全面地梳理了文獻(xiàn)中關(guān)于DID交互項(xiàng)的各種形式，包括（1）傳統(tǒng)DID；（2）經(jīng)典DID；（3）異時(shí)DID；（4）廣義DID；以及（5）異質(zhì)性DID。

傳統(tǒng)DID

雙重差分法是研究“處理效應(yīng)”（treatment effects）的流行方法。一般來(lái)說(shuō)，DID的使用場(chǎng)景為，在面板數(shù)據(jù)中，個(gè)體可分為兩類，即受到政策沖擊的“處理組”（treatment group）與未受政策影響的“控制組”（control group）。為此，引入處理組虛擬變量 ： 

然而，處理組的個(gè)體也只有到了處理期才會(huì)受到政策沖擊（之前未受沖擊），故引入處理期虛擬變量：

傳統(tǒng)DID的模型設(shè)定為 

其中，處理組虛擬變量  捕捉了處理組的組別效應(yīng)（處理組與控制組的固有差別），處理期虛擬變量  控制了處理期的時(shí)間效應(yīng)（處理期前后的固有時(shí)間趨勢(shì)）， 為其他控制變量，而交互項(xiàng)  則代表了處理組在處理期的真正效應(yīng)，其系數(shù)  正是我們關(guān)心的處理效應(yīng)。然后進(jìn)行OLS估計(jì)即可。

經(jīng)典DID

DID使用了面板數(shù)據(jù)，而估計(jì)面板模型的標(biāo)準(zhǔn)方法為“雙向固定效應(yīng)模型”（two-way fixed effects），它既控制了“個(gè)體固定效應(yīng)”（individual fixed effects），也控制了“時(shí)間固定效應(yīng)”（time fixed effects）。研究者后來(lái)發(fā)現(xiàn)，雖然傳統(tǒng)DID控制了處理組的組別效應(yīng)（）與處理期的時(shí)間效應(yīng)（）；但其實(shí)還可以做得更好，干脆引入雙向固定效應(yīng)模型，我們稱之為“經(jīng)典DID”：

其中， 為個(gè)體固定效應(yīng)（在回歸時(shí)加入個(gè)體虛擬變量即可）， 為時(shí)間固定效應(yīng)（在回歸時(shí)加入時(shí)間虛擬變量即可），而交互項(xiàng)  之前的系數(shù)  依然是我們感興趣的處理效應(yīng)。顯然，加入個(gè)體固定效應(yīng)  之后，就不必再放入處理組虛擬變量 ；否則，將導(dǎo)致嚴(yán)格多重共線性，因?yàn)榍罢甙群笳吒嗟男畔ⅲㄇ罢呖刂频絺€(gè)體層面，而后者僅控制到組別層面）。

類似地，加入時(shí)間固定效應(yīng)  之后，就不必再放入處理期虛擬變量 ；否則，將導(dǎo)致嚴(yán)格多重共線性，因?yàn)榍罢甙群笳吒嗟男畔ⅲㄇ罢呖刂屏嗣恳黄诘臅r(shí)間效應(yīng)，而后者僅控制處理期前后的時(shí)間效應(yīng)）。估計(jì)方法依然是OLS，但須使用“聚類穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤”（cluster-robust standard errors），因?yàn)槊姘鍞?shù)據(jù)一般為“聚類數(shù)據(jù)”（cluster data）。這種經(jīng)典DID的模型設(shè)定在實(shí)證研究中最為常見(jiàn)。

異時(shí)DID

在傳統(tǒng)與經(jīng)典DID的模型設(shè)定中，一個(gè)隱含假設(shè)是，處理組的所有個(gè)體開(kāi)始受到政策沖擊的時(shí)間均完全相同。但有時(shí)也會(huì)遇到每位個(gè)體的處理期不完全一致的情形（heterogeneous timing）；比如，某項(xiàng)試點(diǎn)政策在不同城市分批推出。此時(shí)，可使用“異時(shí)DID”（heterogeneous timing DID）。

異時(shí)DID的關(guān)鍵在于，既然每位個(gè)體的處理期不完全一致，則處理期虛擬變量也因個(gè)體而異，故應(yīng)寫(xiě)為 （既依賴于個(gè)體 i，也依賴于時(shí)間 t）。具體而言，異時(shí)DID的模型設(shè)定為

在具體實(shí)施時(shí)，可在Stata中首先定義因個(gè)體而異的處理期虛擬變量 。比如，考慮一個(gè)五期面板，對(duì)于第1位個(gè)體，；對(duì)于第2位個(gè)體，；而對(duì)于第3位個(gè)體，。這意味著，第1位個(gè)體從第3期開(kāi)始受到政策處理，第2個(gè)體從第4期開(kāi)始受到政策沖擊，而第3位個(gè)體從未受到政策沖擊（屬于控制組）；以此類推。

廣義DID

以上各種DID方法均假設(shè)存在處理組與控制組的區(qū)別，但有時(shí)某項(xiàng)政策在全國(guó)統(tǒng)一鋪開(kāi)，此時(shí)只有處理組，并沒(méi)有控制組，是否還能使用DID呢？答案是“能”，可以嘗試“廣義DID”（generalized DID）。

使用廣義DID的重要前提是，雖然所有個(gè)體均同時(shí)受到政策沖擊，但政策對(duì)于每位個(gè)體的影響力度并不相同，不妨以  來(lái)表示。

一個(gè)經(jīng)典研究是 Bai and Jia (2016, Econometrica) 使用清朝的府級(jí)面板數(shù)據(jù)，考察廢除科舉制對(duì)于革命起義的影響。由于科舉制于1911年在全國(guó)統(tǒng)一廢除，故不存在嚴(yán)格意義上的控制組。但由于各地科舉配額的巨大差異，廢除科舉對(duì)于各地的影響力度差別很大。

直觀上，如果某個(gè)府本來(lái)的科舉配額微乎其微，則廢除科舉當(dāng)然影響很??；反之，對(duì)于科舉配額很多的府，廢除科舉則可能引發(fā)劇烈震動(dòng)，因阻斷很多士子的上升空間而導(dǎo)致革命。為此，Bai and Jia (2016) 以“科舉配額占人口比重”作為對(duì)于  的度量。

在實(shí)踐中，只要尋找到合適的  變量（一般從經(jīng)濟(jì)理論出發(fā)來(lái)尋找），則可以之替代經(jīng)典DID的  虛擬變量，將廣義DID模型設(shè)定如下：

其中，交互項(xiàng)  之前的系數(shù)  依然是我們關(guān)心的處理效應(yīng)，然后對(duì)上式進(jìn)行OLS估計(jì)。

當(dāng)然，對(duì)于廣義DID，文獻(xiàn)中也曾出現(xiàn)更為“簡(jiǎn)單粗暴”的處理方法，即人為地設(shè)定一個(gè)門檻值 c，根據(jù)  變量是否超過(guò)此門檻值來(lái)定義處理組與控制組。具體來(lái)說(shuō)，定義

然后，按照經(jīng)典DID來(lái)處理。這種處理方法的缺點(diǎn)在于，門檻值 c 的設(shè)定比較主觀，一般須進(jìn)行“穩(wěn)健性檢驗(yàn)”（robustness checks），即考察不同門檻值下的回歸結(jié)果是否穩(wěn)定。另外，在將連續(xù)變量  壓縮為二分變量  的時(shí)候，顯然損失了不少信息，故在實(shí)踐中已不多見(jiàn)。

異質(zhì)性DID

傳統(tǒng)的處理效應(yīng)模型一般假設(shè)“同質(zhì)性處理效應(yīng)”（homogeneous treatment effects），即所有個(gè)體的處理效應(yīng)都相同。顯然，此假定太苛刻，在實(shí)踐中難以成立。更為合理的假定則為“異質(zhì)性處理效應(yīng)”（heterogeneous treatment effects），即允許每位個(gè)體的處理效應(yīng)不盡相同。

在DID的框架下，也可引入異質(zhì)性處理效應(yīng)，關(guān)鍵仍在于對(duì)交互項(xiàng)  的調(diào)整。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論，可將所有個(gè)體分為兩類，以虛擬變量  來(lái)表示。在理論上，我們預(yù)期這兩類個(gè)體的處理效應(yīng)并不相同。此時(shí)，可在經(jīng)典DID的模型中，再引入三重交互項(xiàng) ，構(gòu)建異質(zhì)性DID模型：

由上式可知，對(duì)于  那類處理組個(gè)體，其處理效應(yīng)為 。而對(duì)于  那類處理組個(gè)體，其處理效應(yīng)為 。顯然，對(duì)于 或 的這兩類個(gè)體，其處理效應(yīng)是異質(zhì)的（只要三重交互項(xiàng)的系數(shù) 

顯著）。

推而廣之，如果經(jīng)濟(jì)理論認(rèn)為，應(yīng)將所有個(gè)體分為 M 類，以考察這 M 類個(gè)體的異質(zhì)性效應(yīng)，則可設(shè)立 (M -1) 個(gè)類別虛擬變量，比如 ，然后分別生成三重交互項(xiàng) ，引入回歸方程中：

在上式中，第 1 類個(gè)體的處理效應(yīng)為 ，第 2 類個(gè)體的處理效應(yīng)為 

，以此類推。然后照常進(jìn)行OLS估計(jì)即可。

當(dāng)然，雙重差分法還有其他變種，比如三重差分法（Difference-in-differences-in-differences，簡(jiǎn)記DDD），以及與傾向得分匹配相結(jié)合的PSM-DID 等，有興趣的讀者可參考陳強(qiáng)（2014）。

參考文獻(xiàn)

陳強(qiáng)，《高級(jí)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)及Stata應(yīng)用》，第2版，高等教育出版社，2014年

陳強(qiáng)，《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)及Stata應(yīng)用》，高等教育出版社，2015年（好評(píng)如潮的配套教學(xué)視頻，可在網(wǎng)易云課堂購(gòu)買）

陳強(qiáng)，《機(jī)器學(xué)習(xí)及R應(yīng)用》，高等教育出版社，2020年（即將出版）