【考試要求】

1.了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置；

2.借助特殊長(zhǎng)方體(所有棱分別與坐標(biāo)軸平行)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，探索并得出空間兩點(diǎn)間的距離公式；

3.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；

4.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示；

5.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.

【知識(shí)梳理】

1.空間向量的有關(guān)概念

2.空間向量的有關(guān)定理

(1)共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb.

(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.

(3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底.

3.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律

(1)數(shù)量積及相關(guān)概念

①兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是[0，π]，若〈a，b〉＝，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.

②非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.

(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律：

①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；

②交換律：a·b＝b·a；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

4.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用

設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

【微點(diǎn)提醒】

1.在平面中A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn).

2.在空間中P，A，B，C四點(diǎn)共面的充要條件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O為空間任意一點(diǎn).

3.向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不滿足結(jié)合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.

4.若向量α的投影向量是γ，則向量α－γ與向量γ垂直，當(dāng)向量γ與向量α起點(diǎn)相同時(shí)，終點(diǎn)間的距離最小.

【考點(diǎn)聚焦】

考點(diǎn)一　空間向量的線性運(yùn)算

【規(guī)律方法】　(1)選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量，這是用向量解決立體幾何問(wèn)題的基本要求.用已知基向量表示指定向量時(shí)，應(yīng)結(jié)合已知和所求向量觀察圖形，將已知向量和未知向量轉(zhuǎn)化至三角形或平行四邊形中，然后利用三角形法則或平行四邊形法則進(jìn)行運(yùn)算.

(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，我們把這個(gè)法則稱為向量加法的多邊形法則.

提醒　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算類似于平面向量中的坐標(biāo)運(yùn)算.

考點(diǎn)二　共線定理、共面定理的應(yīng)用

【規(guī)律方法】

(1)證明空間三點(diǎn)P，A，B共線的方法

①＝λ(λ∈R)；

②對(duì)空間任一點(diǎn)O，＝x＋y(x＋y＝1).

(2)證明空間四點(diǎn)P，M，A，B共面的方法

①＝x＋y；

②對(duì)空間任一點(diǎn)O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；

③∥(或∥或∥).

(3)三點(diǎn)共線通常轉(zhuǎn)化為向量共線，四點(diǎn)共面通常轉(zhuǎn)化為向量共面，線面平行可轉(zhuǎn)化為向量共線、共面來(lái)證明

考點(diǎn)三　空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用　多維探究

角度1　數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

角度2　數(shù)量積的線性運(yùn)算

【規(guī)律方法】

1.利用數(shù)量積解決問(wèn)題的兩條途徑：一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計(jì)算；二是利用坐標(biāo)運(yùn)算.

2.空間向量的數(shù)量積可解決有關(guān)垂直、夾角、長(zhǎng)度問(wèn)題

【反思與感悟】

1.利用向量解立體幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通過(guò)向量的運(yùn)算或證明去解決問(wèn)題.其中合理選取基底是優(yōu)化運(yùn)算的關(guān)鍵.

2.向量的運(yùn)算有線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算兩大類，運(yùn)算方法有兩種，一種是建立空間坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，另一種是選擇一組基向量，用基向量表示其它向量，向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為基向量的運(yùn)算.