數(shù)學(xué)要成為科學(xué)，第二個(gè)不可逾越地難關(guān)就是如何理解證明。柏拉圖認(rèn)為證明是一個(gè)完整地過程，也就是說，既要有開始也要有結(jié)論，關(guān)于這一點(diǎn)，亞里士多德贊同柏拉圖的意見，并且詳細(xì)地論述了這個(gè)理由。關(guān)于開始，亞里士多德在《工具論·后分析篇》中說：

“我們認(rèn)為，并不是所有知識(shí)都是可以證明的。直接前提的知識(shí)就不是通過證明獲得的，這很顯然并且是必然的。因?yàn)槿绻仨氈雷C明由已出發(fā)的在先的前提，如果直接前提是系列后退的終點(diǎn)，那么直接前提必然是不可證明的。以上就是我們對(duì)這個(gè)問題的看法。我們不僅主張知識(shí)是可能的，而且認(rèn)為還存在著一種知識(shí)的本原，我們借助它去認(rèn)識(shí)終極真理”

亞里士多德的意思非常明確，為了進(jìn)行證明，必須先建立一個(gè)前提，而這個(gè)前提本身是不需要證明的，甚至是不可證明的。進(jìn)一步，亞里士多德又把不需要證明的前提分為兩類：一類是獲得任何知識(shí)都必須把握的前提，稱之為公理，比如“等量加等量還是等量”；一類是獲得某些專門領(lǐng)域的知識(shí)必須把握的前提，稱之為公設(shè)，比如“兩點(diǎn)決定一條直線”。亞里士多德提出的這個(gè)原則普遍被人們接受，兩千多年來(lái)，無(wú)論是包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的自然科學(xué)問題，還是包括法律在內(nèi)的社會(huì)科學(xué)問題，人們都是遵循這個(gè)原則來(lái)論證問題的。比如，《美國(guó)獨(dú)立宣言》為了闡明美國(guó)人民擺脫大不列顛王國(guó)統(tǒng)治的理由，在開始就直言到：

“我們認(rèn)為下述真理是不言而喻的：人人生而平等，造物主賦予他們?nèi)舾刹豢勺屌c的權(quán)利，其中包括生存權(quán)，自由權(quán)和追求幸福的權(quán)利。為了保障這些權(quán)利，人們才在他們中間建立政府，而政府的正當(dāng)權(quán)利，則是經(jīng)被統(tǒng)治者授予的。任何形式的政府一旦對(duì)這些目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)起破壞作用時(shí)，人民便有權(quán)予以更換或廢除，以建立一個(gè)新的政府”

《美國(guó)獨(dú)立宣言》的論證形式是符合亞里士多德所提倡的原則的，即從一個(gè)不言而喻的命題出發(fā)來(lái)論證問題，最后得到結(jié)論。

除了證明的前提之外，亞里士多德還規(guī)定了證明的形式，其中最重要的就是關(guān)于三段論的學(xué)說。亞里士多德的這個(gè)學(xué)說在中世紀(jì)的歐洲被奉為是至高無(wú)上的，即使在今天的邏輯學(xué)中也仍然保持著重要的地位。亞里士多德認(rèn)為三段論是比證明更為廣泛的論證形式，他在《工具論·前分析篇》中說：

“我們之所以要在討論證明前先討論三段論，是因?yàn)槿握摳悠毡樾?。證明是一種三段論，但并非一切三段論都是證明”

亞里士多德對(duì)證明的認(rèn)識(shí)顯然是不全面的，就論證形式而言，證明與三段論有共同的部分，但三段論不能包含所有的證明形式，比如，三段論不能包含“a大于b，b大于c，則a大于c”這樣的遞推關(guān)系。即便如此，亞里士多德規(guī)范證明的形式是非常必要的：在證明問題時(shí)，只有規(guī)定了證明的前提又規(guī)定了論證的形式，我們才可能對(duì)于所討論問題的結(jié)論達(dá)成共識(shí)，而這一點(diǎn)正是科學(xué)所需要的。

一個(gè)三段論就是一個(gè)包括大前提，小前提和結(jié)論三個(gè)部分的論證形式。三段論有不同的種類，亞里士多德稱之為格，最初亞里士多德定義了三種格，后來(lái)經(jīng)院學(xué)者又增加了第四格。但現(xiàn)在已經(jīng)證明，后三種格可以歸結(jié)為第一格。第一格又分為四種型，我們把這四種形式舉例如下：

全稱肯定型

凡人都有死，蘇格拉底是人，所有蘇格拉底有死。

全稱否定型

沒有一條魚是有理性的，所有的鯊魚都是魚，所以沒有一條鯊魚是有理性的。

特稱肯定型

凡人都有理性，有些動(dòng)物是人，所以有些動(dòng)物是有理性的

特稱否定型

沒有一個(gè)希臘人是黑色的，有些人是希臘人，所以有些人不是黑色的。

從上面的闡述中我們看到，雖然亞里士多德討論的并不是數(shù)學(xué)問題，但他已經(jīng)搭建了數(shù)學(xué)證明的形式上的框架，這個(gè)框架可以保證推導(dǎo)出的結(jié)論與前提一樣可靠，也就是說，如果前提為真，那么結(jié)論也為真。比如，我們希望驗(yàn)證命題B：“蘇格拉底有死”為真，那么先給出一個(gè)命題A：“凡人都有死”作為前提，三段論在前提命題A與結(jié)論命題B之間構(gòu)建了一個(gè)橋梁，這個(gè)橋梁就是“蘇格拉底是人”，這個(gè)橋梁構(gòu)建了命題A和命題B之間的包含關(guān)系，因而保證了結(jié)論與前提之間的一致性，即保證了結(jié)論與前提是一樣可靠的?；貞泚喞锸慷嗟玛P(guān)于公理和公設(shè)的論述，如果我們的前提命題是公理或者公理的等價(jià)命題，那么通過三段論得到的結(jié)論就將如公理那樣可靠，這樣的論證就必然是無(wú)懈可擊的。這樣，亞里士多德已經(jīng)為數(shù)學(xué)家的推理準(zhǔn)備了演繹邏輯的方法。

另一方面，不是通過這種演繹方法得到的結(jié)論就值得懷疑了。比如，人們?cè)诎＜皽y(cè)量得到三角形的內(nèi)角和為180度，在希臘也測(cè)量得到三角形的內(nèi)角和為180度，那么，是否就可以得到命題：“三角形內(nèi)角和為180度”了呢？這是不行的，這只是歸納的方法。雖然歸納的方法可能是發(fā)現(xiàn)新的知識(shí)，可能發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，但是要驗(yàn)證這個(gè)知識(shí)是否具有一般性還是需要通過演繹的方法。

除了三段論，亞里士多德還討論了兩個(gè)思維的基本原則，這些寫在他的《形而上學(xué)》一書之中：

“但我們明確主張，事物不可能同時(shí)存在又不存在，因此我們證明了它是所有本原中最為確實(shí)的。

在對(duì)立的陳述之間不允許有任何居間者，而對(duì)于一事物必須要么肯定要么否定其某一方面”

在那本書中，亞里士多德對(duì)上述兩個(gè)原則進(jìn)行了很長(zhǎng)篇幅的闡述，后來(lái)人們把亞里士多德闡述的這兩個(gè)原則總結(jié)成為形式邏輯中的兩個(gè)基本規(guī)律，前者被稱為矛盾律：一個(gè)事物不能同時(shí)是A和非A；后者被稱為排中律：一個(gè)事物不是A就是非A?？梢钥吹?，這兩個(gè)原則即便是在今天，對(duì)于我們論證問題也是至關(guān)重要的。當(dāng)然，對(duì)于排中律，亞里士多德是有所保留的，因?yàn)樗谏厦婺嵌挝淖趾笥纸又劦剑?/p>

“如果不是為了理論而理論的話，在所有的對(duì)立物之間，應(yīng)當(dāng)存在居間者，......”

我們將在后續(xù)討論公理體系的完備性，在那里，正是排中律使數(shù)學(xué)的證明處于非常尷尬的境地。事實(shí)上，亞里士多德并沒有把排中律看得那么絕對(duì)，他認(rèn)為對(duì)于有些類型的問題是可以商榷的，我們將在《數(shù)學(xué)中的演繹推理》中仔細(xì)討論這些問題。

這樣，古希臘的哲學(xué)家們已經(jīng)為幾何學(xué)的創(chuàng)立奠定了豐厚的思想基礎(chǔ)，因而也為數(shù)學(xué)成為科學(xué)奠定了思想的基石。但是，數(shù)學(xué)能夠成為科學(xué)的最為核心的工作還是需要數(shù)學(xué)家來(lái)完成的。