?？碱}型

1、和差問題   已知兩數(shù)的和與差，求這兩個(gè)數(shù)。

例：已知兩數(shù)和是10，差是2，求這兩個(gè)數(shù)。

【口訣】

和加上差，越加越大；除以2，便是大的；和減去差，越減越小；除以2，便是小的。

按口訣，則大數(shù)=（10+2）/2=6，小數(shù)=（10-2）/2=4

2、差比問題   例：甲數(shù)比乙數(shù)大12且甲:乙=7：4，求兩數(shù)。

【口訣】

我的比你多，倍數(shù)是因果。

分子實(shí)際差，分母倍數(shù)差。

商是一倍的，乘以各自的倍數(shù)，兩數(shù)便可求得。

先求一倍的量，12/（7-4）=4，

所以甲數(shù)為：4X7=28，乙數(shù)為：4X4=16。

3、年齡問題   例1：小軍今年8 歲，爸爸今年34歲，幾年后，爸爸的年齡是小軍的3倍？

【口訣】

歲差不會(huì)變，同時(shí)相加減。

歲數(shù)一改變，倍數(shù)也改變。

抓住這三點(diǎn)，一切都簡單。

分析：歲差不會(huì)變，今年的歲數(shù)差點(diǎn)34-8=26，到幾年后仍然不會(huì)變。

已知差及倍數(shù)，轉(zhuǎn)化為差比問題。

26/（3-1）=13，幾年后爸爸的年齡是13X3=39歲，小軍的年齡是13X1=13歲，所以應(yīng)該是5年后。

例2：姐姐今年13歲，弟弟今年9歲，當(dāng)姐弟倆歲數(shù)的和是40歲時(shí)，兩人各應(yīng)該是多少歲？

分析：歲差不會(huì)變，今年的歲數(shù)差13-9=4幾年后也不會(huì)改變。

幾年后歲數(shù)和是40，歲數(shù)差是4，轉(zhuǎn)化為和差問題。

則幾年后，姐姐的歲數(shù)：（40+4）/2=22，弟弟的歲數(shù)：（40-4）/2=18，所以答案是9年后。

4、和比問題  已知整體，求部分。

例：甲乙丙三數(shù)和為27，甲:乙:丙=2:3:4，求甲乙丙三數(shù)。

【口訣】

家要眾人合，分家有原則。

分母比數(shù)和，分子自己的。

和乘以比例，就是該得的。

分母比數(shù)和，即分母為：2+3+4=9；

分子自己的，則甲乙丙三數(shù)占和的比例分別為2/9，3/9，4/9。

和乘以比例，則甲為27X2/9=6，乙為27X3/9=9，丙為27X4/9=12

5、雞兔同籠問題

例：雞免同籠，有頭36 ，有腳120，求雞兔數(shù)。

【口訣】

假設(shè)全是雞，假設(shè)全是兔。

多了幾只腳，少了幾只足？

除以腳的差，便是雞兔數(shù)。

求兔時(shí)，假設(shè)全是雞，則免子數(shù)=（120-36X2）/（4-2）=24

求雞時(shí)，假設(shè)全是兔，則雞數(shù) =（4X36-120）/（4-2）=12

6、 路程問題

【口訣】

相遇那一刻，路程全走過。

除以速度和，就把時(shí)間得。

(1)相遇問題

例：甲乙兩人從相距120千米的兩地相向而行，甲的速度為40千米/小時(shí)，乙的速度為20千米/小時(shí)，多少時(shí)間相遇？

相遇那一刻，路程全走過，即甲乙走過的路程和恰好是兩地的距離120千米。

除以速度和，就把時(shí)間得，即甲乙兩人的總速度為兩人的速度之和40+20=60（千米/小時(shí)），所以相遇的時(shí)間就為120/60=2（小時(shí)）

(2)追及問題

例：姐弟二人從家里去鎮(zhèn)上，姐姐步行速度為3千米/小時(shí)，先走2小時(shí)后，弟弟騎自行車出發(fā)速度6千米/小時(shí)，幾時(shí)追上？

【口訣】

慢鳥要先飛，快的隨后追。

先走的路程，除以速度差，時(shí)間就求對。

先走的路程：3X2=6（千米）

速度的差：6-3=3（千米/小時(shí)）

追上的時(shí)間：6/3=2（小時(shí)）

7、 濃度問題

(1)加水稀釋

例：有20千克濃度為15%的糖水，加水多少千克后，濃度變?yōu)?0%？

【口訣】

加水先求糖，糖完求糖水。

糖水減糖水，便是加水量。

加水先求糖，原來含糖為：20X15%=3（千克）

糖完求糖水，含3千克糖在10%濃度下應(yīng)有多少糖水，3/10%=30（千克）

糖水減糖水，后的糖水量減去原來的糖水量，30-20=10（千克）

(2)加糖濃化

例：有20千克濃度為15%的糖水，加糖多少千克后，濃度變?yōu)?0%？

【口訣】

加糖先求水，水完求糖水。

糖水減糖水，求出便解題。

加糖先求水，原來含水為：20X（1-15%）=17（千克）

水完求糖水，含17千克水在20%濃度下應(yīng)有多少糖水，17/（1-20%）=21.25（千克）

糖水減糖水，后的糖水量再減去原來的糖水量，21.25-20=1.25（千克)

8、工程問題

例：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做4天完成，乙單獨(dú)做6天完成。甲乙同時(shí)做2天后，由乙單獨(dú)做，幾天完成？

【口訣】

工程總量設(shè)為1，1除以時(shí)間就是工作效率。

單獨(dú)做時(shí)工作效率是自己的，一齊做時(shí)工作效率是眾人的效率和。

1減去已經(jīng)做的便是沒有做的，沒有做的除以工作效率就是結(jié)果。

[1-（1/6+1/4）X2]/（1/6）=1（天）

9、植樹問題

【口訣】

植樹多少棵，要問路如何？

直的減去1，圓的是結(jié)果。

例1：在一條長為120米的馬路上植樹，間距為4米，植樹多少棵？

路是直的，則植樹為120/4-1=29（棵）。

例2：在一條長為120米的圓形花壇邊植樹，間距為4米，植樹多少棵？

路是圓的，則植樹為120/4=30（棵）

10、盈虧問題

【口訣】

全盈全虧，大的減去小的；一盈一虧，盈虧加在一起。

除以分配的差，結(jié)果就是分配的東西或者是人。

例1：小朋友分桃子，每人10個(gè)少9個(gè)；每人8個(gè)多7個(gè)。求有多少小朋友多少桃子？

一盈一虧，則公式為：（9+7）/（10-8）=8（人），相應(yīng)桃子為8X10-9=71（個(gè)）

例2：士兵背子彈。每人45發(fā)則多680發(fā)；每人50發(fā)則多200發(fā)，多少士兵多少子彈？

全盈問題，則大的減去小的，即公式為：（680-200）/（50-45）=96（人），相應(yīng)的子彈為96X50+200=5000（發(fā)）。

例3：學(xué)生發(fā)書。每人10本則差90本；每人8 本則差8本，多少學(xué)生多少書？

全虧問題，則大的減去小，即公式為：（90-8）/（10-8）=41（人），相應(yīng)書為41X10-90=320（本）

11.余數(shù)問題

例：時(shí)鐘現(xiàn)在表示的時(shí)間是18點(diǎn)整，分針旋轉(zhuǎn)1990圈后是幾點(diǎn)鐘？

【口訣】

余數(shù)有（N-1）個(gè)，最小的是1，最大的是（N-1）。

周期性變化時(shí)，不要看商，只要看余。

分析：分針旋轉(zhuǎn)一圈是1小時(shí)，旋轉(zhuǎn)24圈就是時(shí)針轉(zhuǎn)1圈，也就是時(shí)針回到原位。1980/24的余數(shù)是22，所以相當(dāng)于分針向前旋轉(zhuǎn)22個(gè)圈，分針向前旋轉(zhuǎn)22個(gè)圈相當(dāng)于時(shí)針向前走22個(gè)小時(shí)，時(shí)針向前走22小時(shí)，也相當(dāng)于向后24-22=2個(gè)小時(shí)，即相當(dāng)于時(shí)針向后拔了2小時(shí)。即時(shí)針相當(dāng)于是18-2=16（點(diǎn)）

12.牛吃草問題

【口訣】

每牛每天的吃草量假設(shè)是份數(shù)1，A頭B天的吃草量算出是幾？M頭N天的吃草量又是幾？大的減去小的，除以二者對應(yīng)的天數(shù)的差值，結(jié)果就是草的生長速率。原有的草量依此反推。

公式：A頭B天的吃草量減去B天乘以草的生長速率。未知吃草量的牛分為兩個(gè)部分：一小部分先吃新草，個(gè)數(shù)就是草的比率；有的草量除以剩余的牛數(shù)就將需要的天數(shù)求知。

例：整個(gè)牧場上草長得一樣密，一樣快。27頭牛6天可以把草吃完；23頭牛9天也可以把草吃完。問21頭多少天把草吃完。

每牛每天的吃草量假設(shè)是1，則27頭牛6天的吃草量是27X6=162，23頭牛9天的吃草量是23X9=207；

大的減去小的，207-162=45；二者對應(yīng)的天數(shù)的差值，是9-6=3（天），則草的生長速率是45/3=15（牛/天）；

原有的草量依此反推——

公式：A頭B天的吃草量減去B天乘以草的生長速率。

原有的草量=27X6-6X15=72（牛/天）。

將未知吃草量的牛分為兩個(gè)部分：

一小部分先吃新草，個(gè)數(shù)就是草的比率，這就是說將要求的21頭牛分為兩部分，一部分15頭牛吃新生的草；剩下的21-15=6去吃原有的草，

所求的天數(shù)為：原有的草量/分配剩下的牛=72/6=12（天）

易錯(cuò)題分析與對策

一、概念理解不清楚

（一）計(jì)算題

500÷25×4 34－16+14

=500÷（25×4） =34—30

=500÷100 =4

=5

錯(cuò)誤率：46.43% ； 35.71%；

錯(cuò)題原因分析：

學(xué)生在學(xué)了簡便運(yùn)算定律后但還不太理解的基礎(chǔ)上，就亂套用定律，一看到題目，受數(shù)字干擾，只想到湊整，而忽略了簡便方法在這兩題中是否可行。例如第1題學(xué)生就先算了25×4等于100；第2題先算16+14等于30；從而改變了運(yùn)算順序，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤。

錯(cuò)題解決對策：（1）明確在乘除混合運(yùn)算或在加減混合運(yùn)算中，如果不具備簡便運(yùn)算的因素，就要按從左往右的順序計(jì)算。

（2）強(qiáng)調(diào)混合運(yùn)算的計(jì)算步驟：a仔細(xì)觀察題目；b明確計(jì)算方法：能簡便的用簡便方法計(jì)算，不能簡便的按正確的計(jì)算方法計(jì)算。并會(huì)說運(yùn)算順序。 （3）在理解運(yùn)算定律及四則運(yùn)算順序的基礎(chǔ)上加強(qiáng)練習(xí)以達(dá)到目的。

對應(yīng)練習(xí)題：

14.4-4.4÷0.5； 7.5÷1.25×8； 36.4-7.2+2.8。

（二）判斷題

1.3/100噸＝3%噸????????????????????（ √ ）

錯(cuò)誤率：71.43%

錯(cuò)題原因分析：

百分?jǐn)?shù)是“表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)?！彼荒鼙硎緝蓴?shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，不能表示某一具體數(shù)量。而學(xué)生正是由于對百分?jǐn)?shù)的意義缺乏正確認(rèn)識，所以導(dǎo)致這題判斷錯(cuò)誤。

錯(cuò)題解決對策：（1）明確百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的區(qū)別；理解百分?jǐn)?shù)的意義。

（2）找一找生活中哪兒見到過用百分?jǐn)?shù)來表示的，從而進(jìn)一步理解百分?jǐn)?shù)的意義。

2.兩條射線可以組成一個(gè)角。???????????（ √ ）

錯(cuò)誤率：64.29%

錯(cuò)題原因分析：

角是由一個(gè)頂點(diǎn)和兩條直直的邊組成的。學(xué)生主要是對角的概念沒有正確理解。還有個(gè)原因是審題不仔細(xì)，沒有深入思考?？吹接袃蓷l射線就以為可以組成一個(gè)角，而沒有考慮到頂點(diǎn)！

錯(cuò)題解決策略：（1）根據(jù)題意舉出反例，讓學(xué)生知道組成一個(gè)角還有一個(gè)必不可少條件是有頂點(diǎn)。 （2）回憶角的概念。強(qiáng)調(diào)要組成一個(gè)角必不可少的兩個(gè)條件：一個(gè)頂點(diǎn)、兩條射線。

（3）教育學(xué)生做題前要仔細(xì)審題，無論是簡單的還是難的題目都要深入多加思考，絕不能掉以輕心。

（三）填空題

1.兩個(gè)正方體的棱長比是1：3，這兩個(gè)正方體的表面積比是（1：3 ）；體積比是（ 1: 5或1：9）。

錯(cuò)誤率：42.86%； 35.71%。

錯(cuò)題原因分析：

這題是《比的應(yīng)用》部分的內(nèi)容。目的是考查學(xué)生根據(jù)正方體的棱長比求表面積和體積的比。所以正方體的表面積和體積的計(jì)算公式是關(guān)鍵。學(xué)生有的是因?yàn)閷φ襟w的表面積和體積的計(jì)算方法忘記了，有的是因?yàn)閷Ρ鹊囊饬x不理解，認(rèn)為表面積比和棱長比相同，所以導(dǎo)致做錯(cuò)。

錯(cuò)題解決策略：（1）鞏固理解比的意義及求比的方法。

（2）明確正方體的表面積和體積的計(jì)算方法。

（3）結(jié)合類似的題型加以練習(xí)，進(jìn)一步鞏固對比的應(yīng)用。

對應(yīng)練習(xí)題：

大圓半徑和小圓半徑比是3：2，大圓和小圓直徑比是（ 3:2 ）；大圓和小圓周長比是（3:2 ）；大圓和小圓的面積比是（ 9:4 ）。

2.圓柱的高一定，它的底面半徑和體積成（ 正 ）比例。

錯(cuò)誤率：78.57%

錯(cuò)題原因分析：

這題是《正比例和反比例》的內(nèi)容。學(xué)生做錯(cuò)的主要原因是對正比例和反比例的意義沒有很好的理解和掌握，從而不會(huì)判斷。也有的是因?yàn)樗麄儼褍蓚€(gè)變量——底面半徑和體積誤看成是底面積和體積了，而導(dǎo)致這題做錯(cuò)。

錯(cuò)題解決策略：（1）明確比例的意義及判斷方法。兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量隨著另一種量的變化而變化，在變化的過程中，這兩個(gè)量的比值一定，那么這兩種量就叫做成正比例的量；如果兩種量的乘積一定，這兩種量就叫做成反比例的量。

（2）讓生列出圓柱的體積計(jì)算公式，并根據(jù)題意找出高一定的情況下底面半徑與體積這兩個(gè)變量的關(guān)系，從而明確它們的比例關(guān)系。

（3）結(jié)合類似的題目加強(qiáng)練習(xí)以達(dá)到目的。

對應(yīng)練習(xí)：

圓的周長和它的半徑成（正 ）比例。

3.10克鹽放入100克水中，鹽水的含鹽率為（ 10）%。

錯(cuò)誤率： 71.43%

錯(cuò)題原因分析：

一些學(xué)生是因?yàn)閷Α昂}率”這一概念的不理解，所以不知該如何計(jì)算，而導(dǎo)致做錯(cuò)。一些學(xué)生比較粗心，題目當(dāng)中的10克鹽和100克水這樣的數(shù)字也很容易使那些粗心的學(xué)生馬上得出10%這樣的錯(cuò)誤答案。

錯(cuò)題解決策略：（1）理解含鹽率的意義。并結(jié)合合格率、成活率等類似概念進(jìn)一步理解。

（2）結(jié)合求含糖率、合格率、出勤率等類似題目加強(qiáng)練習(xí)以達(dá)到目的。

（3）教育學(xué)生做題前要養(yǎng)成仔細(xì)審題、認(rèn)真思考的習(xí)慣。

對應(yīng)練習(xí)題：

植樹節(jié)那天，五年級共植樹104棵，其中有8棵沒有成活。這批樹的成活率是（ 92.31% ）。

4.甲班人數(shù)比乙班多2/5，乙班人數(shù)比甲班少（2/5或3/5）。

錯(cuò)誤率： 60.71%；

錯(cuò)題原因分析：

學(xué)生把表示具體量25與表示倍數(shù)的25在意義上混同了。認(rèn)為甲班人數(shù)比乙班人數(shù)多2/5就是乙班人數(shù)比甲班少2/5。對于數(shù)量與倍數(shù)不能區(qū)分。而且一會(huì)兒把甲班人數(shù)當(dāng)成單位“1”，一會(huì)兒把乙班人數(shù)當(dāng)成單位“1”，概念不清楚。

錯(cuò)題解決策略：(1)區(qū)分?jǐn)?shù)量與倍數(shù)的不同。

（2）畫線段圖，建立直觀、形象的模型來幫助理解。

（3）明確把乙班人數(shù)看做單位“１”的量，于是甲班人數(shù)是：（１+2/5）＝7/5.所以乙班人數(shù)比班甲人數(shù)少2/5÷7/5＝2/7。

（4）結(jié)合類似題目加強(qiáng)練習(xí)以達(dá)目的。

對應(yīng)練習(xí)：

甲數(shù)比乙數(shù)少1/4，乙數(shù)比甲數(shù)多（1/3）。

判斷：甲堆煤比乙堆煤重1/3噸，乙煤比甲堆煤少1/3。???（ ×）

5.把一根5/6米的繩子平均分成５段，每段占全長的（1/6），每段長（1/6）。

錯(cuò)誤率：52%； 50%；

錯(cuò)題原因分析：

每段與全長之間的關(guān)系是1份和5份之間的關(guān)系，即每段占全長的1/5，5/6÷5＝1/6米，每段長1/6米。本題考查分?jǐn)?shù)的意義的理解和分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)用，學(xué)生沒有理解和掌握。所以因?yàn)榉植磺鍍蓚€(gè)問題的含義而把兩個(gè)答案混淆了。一般這類型的題目在最后一個(gè)括號后會(huì)寫上單位。但我為了檢查學(xué)生的細(xì)心程度，單位沒寫，于是有些本來會(huì)做的人因?yàn)榇中亩皱e(cuò)了。

錯(cuò)題解決策略：（1）理解分?jǐn)?shù)的意義；弄清楚兩個(gè)問題各自的含義。

（2）教育學(xué)生做題前要養(yǎng)成仔細(xì)審題、認(rèn)真思考的習(xí)慣。

（3）在理解了分?jǐn)?shù)的意義基礎(chǔ)上加強(qiáng)練習(xí)以達(dá)到目的。

對應(yīng)練習(xí)題：

判斷：有4/5噸煤準(zhǔn)備燒4天，平均每天燒1/5 。?????????（ × ）。

二、知識負(fù)遷移類

（一）計(jì)算題

0.9+0.1－0.9+0.1 =1—1 =0

錯(cuò)誤率：28.57%

錯(cuò)題原因分析：

一看到例題，學(xué)生就想到a×b-c×d形式的題目，就亂套用定律，只想到湊整，而忽略了簡便是否可行。從而改變了運(yùn)算規(guī)則，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤。

錯(cuò)題解決策略：（1）明確在加減混合運(yùn)算中，如果不具備簡便運(yùn)算的因素，就要按從左往右的順序計(jì)算。

（2）強(qiáng)調(diào)混合運(yùn)算的計(jì)算步驟：a仔細(xì)觀察題目；b明確計(jì)算方法：能簡便的用簡便方法計(jì)算，不能簡便的按正確的計(jì)算方法計(jì)算。并會(huì)說運(yùn)算順序。

（3）在理解運(yùn)算定律及四則運(yùn)算順序的基礎(chǔ)上加強(qiáng)練習(xí)以達(dá)到目的。

對應(yīng)練習(xí)題：

1/4×4÷1/4×4； 527×50÷527×50；

（二）選擇題

400÷18＝22??4，如果被除數(shù)與除數(shù)都擴(kuò)大100倍，那么結(jié)果是（ A ）

A.商22余4 B.商22余400 C. 商2200余400

錯(cuò)誤率：64.28%

錯(cuò)題原因分析：

本題考查與商不變性質(zhì)有關(guān)的知識。被除數(shù)、除數(shù)都擴(kuò)大100倍后，商不變，但余數(shù)也擴(kuò)大了100倍，想要得到原來的余數(shù)，需要縮小100倍。而學(xué)生誤認(rèn)為商不變余數(shù)也不變，所以錯(cuò)選A，正確答案應(yīng)該選B。

錯(cuò)題解決策略：（1）驗(yàn)算。請學(xué)生用答案A的商乘除數(shù)加余數(shù)檢驗(yàn)是否等于被除數(shù)。從而發(fā)現(xiàn)選A是錯(cuò)誤的。

（2）明確商不變的性質(zhì)。但是當(dāng)被除數(shù)、除數(shù)都擴(kuò)大100倍后，商不變，但余數(shù)也擴(kuò)大了100倍。想要得到原來的余數(shù)，需要縮小100倍。

（3）在理解商不變性質(zhì)有關(guān)知識基礎(chǔ)上加強(qiáng)練習(xí)以達(dá)到目的。

對應(yīng)練習(xí)：

選擇題：2.5除以1.5，商為1，余數(shù)是（ D ）。

A.10 B. 0.01 C. 0.1 D. 1

（三）填空題

4/11的分子加上8，要使分?jǐn)?shù)的大小不變，分母應(yīng)加上（ 8 ）

錯(cuò)誤率：21.4%

錯(cuò)題原因分析：

學(xué)生由于對分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)理解錯(cuò)誤，把分子、分母同時(shí)乘一個(gè)相同的數(shù)與同時(shí)加上一個(gè)相同的數(shù)混同，錯(cuò)誤認(rèn)為分子也應(yīng)該加上8。

錯(cuò)題解決策略：（1）請學(xué)生將4/11與答案12/19

進(jìn)行大小比較，從而發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)大小變了，引發(fā)思考。

（2）理解分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。

（3）結(jié)合類似題目加強(qiáng)練習(xí)以達(dá)到目的。

對應(yīng)練習(xí)題：

把2/3的分母加上12，要使分?jǐn)?shù)的大小不變，分子應(yīng)加上（ 8 ）。

三、粗心大意類

1.計(jì)算題

7÷7/9－7/9÷7 ＝1－1 ＝0

錯(cuò)誤率：39.28%

錯(cuò)題原因分析：

本題是考查學(xué)生分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算。兩個(gè)除法算式中都是7和7/9這兩個(gè)數(shù)，由于粗心大意，會(huì)認(rèn)為它們商是相等的。于是等到“1－1＝0”的錯(cuò)誤答案。

錯(cuò)題解決策略：教育學(xué)生做題前要仔細(xì)審題，無論是簡單的還是難的題目都要多加思考，絕不能掉以輕心。

2、填空題

一座鐘時(shí)針長3厘米，它的尖端在一晝夜里走過的路程是（18.84厘米 ）。

錯(cuò)誤率：67.85%

錯(cuò)題原因分析：

這題是《圓的周長》部分的內(nèi)容。學(xué)生對于這道題，知道要利用求圓的周長這一知識點(diǎn)來解決。但對“一晝夜”這詞不理解或是沒有仔細(xì)審題，因此只計(jì)算了時(shí)針轉(zhuǎn)一圈所經(jīng)過的周長，最終導(dǎo)到結(jié)果錯(cuò)誤。

錯(cuò)題解決策略：（1）請學(xué)生仔細(xì)讀題并解解釋“一晝夜”的含義。

（2）提出要求：做題前要仔細(xì)審題和理解。