作者簡(jiǎn)介 Surein Aziz, 他寫這篇文章時(shí)17歲，是高中學(xué)生。他認(rèn)為數(shù)學(xué)有意思并很美妙，很多難以置信的結(jié)果可以從一系列的邏輯推理中和尋找規(guī)律中得到。他喜歡花很多時(shí)間考慮有趣的數(shù)學(xué)問題，并且希望讀完中學(xué)后可以去大學(xué)讀數(shù)學(xué)。他第一次接觸到歐拉等式是從電視節(jié)目上看到的；這激發(fā)了他的鉆研興趣。

人物速讀 歐拉1707年4月15日出生于瑞士，在那里受教育。他一生大部分時(shí)間在俄羅斯帝國和普魯士度過。歐拉是一位數(shù)學(xué)神童。他作為數(shù)學(xué)教授，先后任教于圣彼得堡和柏林，爾后再返圣彼得堡。歐拉是有史以來最多遺產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，他的全集共計(jì)84卷。歐拉實(shí)際上支配了18世紀(jì)的數(shù)學(xué)，對(duì)于當(dāng)時(shí)的新發(fā)明微積分，他推導(dǎo)出了很多結(jié)果。在他生命的最后7年中，歐拉的雙目完全失明，盡管如此，他還是以驚人的速度產(chǎn)出了生平一半的著作。

通常，當(dāng)閱讀一本不錯(cuò)的數(shù)學(xué)書時(shí)，作者將一個(gè)特別復(fù)雜的證明、定理或想法解釋得很透徹，并提到數(shù)學(xué)所涉及到的“美”。我一直想知道，這究竟意味著什么。我錯(cuò)過了一個(gè)特別利落的示意圖嗎？難道那些被深藏不露的數(shù)學(xué)美真的需要拿一個(gè)博士學(xué)位才能欣賞？ 我曾認(rèn)為后者在起作用------也許有一天，經(jīng)過多年最高水平數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，我突然窺見到一些不可思議的深刻真理，并從看起來枯燥瑣碎的公式里體驗(yàn)到那令人難以置信的美。 但實(shí)際上，我認(rèn)為你不必花太多的精力就可以一瞥數(shù)學(xué)家關(guān)于美的深層含義。這就是下文我所要試圖說服你的。數(shù)學(xué)有點(diǎn)像一個(gè)密集的、永無止境的叢林，可以讓你覺得不時(shí)會(huì)遠(yuǎn)離它，很難到達(dá)你想去的地方。但如果你停下來看看四周，你經(jīng)常會(huì)看到令人難以置信的、充滿異國情調(diào)的植物和動(dòng)物。 下面我試圖介紹我認(rèn)為很美麗的一件特別事情，這是我在一個(gè)電視節(jié)目中看到的。當(dāng)時(shí)我?guī)缀醪恢朗鞘裁匆馑?，?dāng)然也不知道它是怎么來的，但我有興趣去了解更多的信息。 我說的是歐拉等式

現(xiàn)在你可能認(rèn)為我瘋了。它有什么美？那么，我應(yīng)該提醒你，不只是我------《數(shù)學(xué)信使》讀者的投票把它選為“數(shù)學(xué)中最美麗的定理”。物理學(xué)家理查德·費(fèi)恩曼認(rèn)為該公式“是所有數(shù)學(xué)中最卓越的、最驚人的公式之一”。 但是，它到底有什么特別之處呢？首先，我應(yīng)該解釋符號(hào)的真正含義是什么。 你可能很熟悉π，它是圓的周長(zhǎng)與直徑之比。數(shù)e也是一個(gè)常數(shù)，你可能不是很熟悉它，它是自然對(duì)數(shù)之底。e的前20位小數(shù)為e=2.71828182845904523536 e和π均是無理數(shù)------它們有無限多個(gè)小數(shù)位，你不能把它們寫成一個(gè)整數(shù)除以另一個(gè)整數(shù)。 這三個(gè)數(shù)中可能最奇特的是i。它是?1的平方根，即i^2=?1，稱為虛數(shù)。你不能在通常數(shù)軸的任何地方找到它，因?yàn)闆]有實(shí)數(shù)的平方為負(fù)數(shù)。 你開始得到歐拉等式之美的念頭嗎？如果你把常數(shù)e取π乘上i的次方，然后拿走1，你會(huì)得到0。三個(gè)非常奇怪的數(shù)字，它們沒有任何明顯的方式聯(lián)系在一起，一結(jié)合卻給出這樣一個(gè)普通而熟悉的結(jié)果，是不是有點(diǎn)古怪？ 那么，為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？最奇怪的問題是：我們?cè)鯓尤∫粋€(gè)數(shù)的i次方？但實(shí)際上，得到歐拉等式并不困難，這也是它美妙的一個(gè)方面！但首先你必須看看導(dǎo)出這個(gè)美麗等式的一般的歐拉公式：

這個(gè)看上去也一樣整潔漂亮，不是嗎？但是，要理解這個(gè)公式是如何來的，我們需要一樣?xùn)|西，叫做泰勒級(jí)數(shù)。確有一種方法能將像sin(x)或cos(x)這樣的函數(shù)表達(dá)為無窮和的形式。他們由數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒發(fā)現(xiàn)（他也是裁定牛頓和萊布尼茲是誰先發(fā)明微積分的委員會(huì)成員）。 函數(shù)e^x的泰勒級(jí)數(shù)是

其中n!(讀做n的階乘)表示乘積

你可以用計(jì)算器來驗(yàn)證這個(gè)泰勒級(jí)數(shù)：選取一個(gè)數(shù)x，看看計(jì)算器給e^x什么樣的值。再然后使用計(jì)算器算出和

的值，如果n比較大的話，你會(huì)發(fā)現(xiàn)結(jié)果幾乎等于你得到的數(shù)e^x，且添加的求和項(xiàng)數(shù)越多，兩個(gè)結(jié)果越靠近。在某些時(shí)候，計(jì)算器上的兩個(gè)結(jié)果是一樣的，因?yàn)橛?jì)算器無法檢測(cè)它們之間的微小區(qū)別。當(dāng)你對(duì)無窮多項(xiàng)求和時(shí)，兩個(gè)結(jié)果是一模一樣的。 出現(xiàn)在歐拉公式的其他兩個(gè)函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)為

同樣，你可以用計(jì)算器檢驗(yàn)，請(qǐng)記住角度x是用弧度，而不是度數(shù)。 現(xiàn)在，讓我們將泰勒級(jí)數(shù)中的變量x換成ix,得到

但是，某些i的次方可以簡(jiǎn)化，例如，由定義i^2=?1，所以i^3=-i及i^4=1，等等。因此，上式可簡(jiǎn)化為

我們可以將涉及i的項(xiàng)合并在一起，給出

注意到這兩個(gè)級(jí)數(shù)與上面的sin(x)和cos(x)的對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)一樣，所以我們將它們代入而得到

這就是歐拉公式。 我們現(xiàn)在要做的是讓x=π。由于sin(π)=0及cos(π)=?1，我們得到

故有：

所以你看，在一系列不算太復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算后，我們回到了我們開始的地方：歐拉等式。我認(rèn)為這個(gè)等式很美：它將非常奇怪的數(shù)與很基本的數(shù)聯(lián)系在一起。理解了為什么工作，感覺上有點(diǎn)像通過數(shù)學(xué)叢林，踩在一條鮮為人知的路徑上，到達(dá)厚厚灌木叢中的某個(gè)秘密目的地。

 作 者:Surein Aziz 翻 譯:丁玖，密執(zhí)安州立大學(xué)博士，南密西西比大學(xué)數(shù)學(xué)教授 校 對(duì):湯濤，香港浸會(huì)大學(xué)數(shù)學(xué)講座教授 整理：張欣