第十章 彎曲梁的設(shè)計

第一節(jié) 梁平面彎曲的概念和彎曲內(nèi)力

一、彎曲的概念

工程實際中，存在大量的受彎曲桿件，如火車輪軸，橋式起重機大梁。如圖10.1.1，圖10.1.2所示，這類桿件受力的共同特點是外力(橫向力)與桿軸線相垂直，變形時桿軸線由直線變成曲線，這種變形稱為彎曲變形。以彎曲變形為主的桿件稱為梁。

圖10.1.1 火車輪軸 圖10.1.2 起重機大梁

工程中常見的梁，其橫截面通常都有一個縱向?qū)ΨQ軸，該對稱軸與梁的軸線組成梁縱向?qū)ΨQ面。如圖10.1.3所示。

圖10.1.3 梁的縱向?qū)ΨQ

如果梁上所有的外力都作用于梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，則變形后的軸線將在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)變成一條平面曲線。這種彎曲稱為平面彎曲。平面彎曲是彎曲問題中最基本、最常見的，所以，這里只討論平面彎曲問題。

二、梁的計算簡圖及基本形式

梁上的荷載和支承情況比較復(fù)雜，為便與分析和計算，在保證足夠精度的前提下，需要對梁進行力學(xué)簡化。

(一)、梁的簡化

為了繪圖的方便，首先對梁本身進行簡化，通常用梁的軸線來代替實際的梁。

(二)、荷載分類

作用在梁上的載荷通?？梢院喕癁橐韵氯N類型:

1 、集中荷載 當(dāng)載荷的作用范圍和梁的長度相比較是很小時，可以簡化為作用于一點的力，稱為集中荷載或集中力。如車刀所受的切削力便可視為集中力P，如圖10.1.4(a)所示，其單位為牛(N)或千牛(kN)。

2 、集中力偶 當(dāng)梁的某一小段內(nèi)(其長度遠遠小于梁的長度)受到力偶的作用，可簡化為作用在某一截面上的力偶，稱為集中力偶。如圖10.1.4(b)所示。它的單位為牛?米

(N?m)或千牛?米(kN?m)。

3 、均布載荷 沿梁的長度均勻分布的載荷，稱為均布載荷。分布載荷的大小用載荷集度 q 表示，均布集度 q 為常數(shù)。如圖10.1.4(c)所示。其單位為牛,米( N , m )或千牛,米( k , m )。

(三)、梁的基本形式

按照支座對梁的約束情況，通常將支座簡化為以下三種形式:固定鉸鏈支座、活動鉸鏈支座和固定端支座。這三種支座的約束情況和支反力已在靜力學(xué)中討論過，這里不再重復(fù)。根據(jù)梁的支承情況，一般可把梁簡化為以下三種基本形式。

1 、簡支梁 梁的一端為固定鉸鏈支座，另一端為活動餃鏈支座的梁稱為簡支梁。如圖10.1.5(a)。

2 、外伸梁 外伸梁的支座與簡支梁一樣，不同點是梁的一端或兩端伸出支座以外，所以稱為外伸梁。如圖10.1.5(b)

3 、懸臂梁 一端固定，另一端自由的梁稱為懸臂梁。如圖10.1.5(c)

圖10.1.4 載荷類 圖10.1.5 梁的類

以上三種梁的未知約束反力最多只有三個，應(yīng)用靜力平衡條件就可以確定這三種形式梁的內(nèi)力。

三、 梁彎曲時的內(nèi)力——剪力和彎矩計算

作用于梁上的外力以及支承對梁的約束力都是梁的外載荷。支承對梁所產(chǎn)生的約束反力一般都由靜力平衡條件求得。在外載荷的作用下，梁要產(chǎn)生彎曲變形，梁的各橫截面內(nèi)就必定存在相應(yīng)的內(nèi)力。求解梁橫截面上內(nèi)力的方法是截面法。

圖10.1.6 截面法求梁的內(nèi)

PP12如圖10.1.6所示的簡支梁，受集中力和作用。為了求出距A端支座為x處橫截面m-m上的內(nèi)力，首先按靜力學(xué)中的平衡方程求出支座反力R、R。然后用截面法沿m-m截面假想地把梁截開，并以左邊部分為研究對象(圖10.1.6(b))。AB

因為原來梁處于平衡狀態(tài)，故左段梁在外力及截面處內(nèi)力的共同作用下也應(yīng)保持平衡。截面m-m上必有一個與截面相切的內(nèi)力Q來代替右邊部分對左邊部分沿截面切線方向移動趨勢所起的約束作用;又因為R與PA1對截面形心的力矩一般不能相互抵消，為保持這部分不發(fā)生轉(zhuǎn)動，在橫截面m-m上必有一個位于載荷平面的內(nèi)力偶，其力矩為M，來代替右邊部分對左邊部分轉(zhuǎn)動趨勢所起的約束作用。由此可見，梁彎曲時，橫

截面上一般存在兩個內(nèi)力因素，其中Q稱為剪力，M稱為彎矩。

剪力和彎矩的大小可由左段梁的平衡方程確定。

R,P,Q,0A1 由 ΣFy = 0 得

Q,R,PA1

M,Rx，P(x,a),0A1 由 ΣMC = 0 得

M,Rx,p(x,a)A1

式中，C 為橫截面的形心。

,Q,M 若取右段梁研究，根據(jù)作用力與反作用力定律，在m-m截面上也必然有剪力 和彎矩，并且它們分別與 Q 和 M 數(shù)值相等、方向相反。

剪力和彎矩的正負按梁的變形來確定。凡使所取梁段具有作順時針轉(zhuǎn)動趨勢的剪力為正，反之為負。如圖10.1.7所示。凡使梁段產(chǎn)生上凹下凸彎曲變形的彎矩為正，反之為負。如圖10.1.8所示。

圖10.1.7 剪力的符 圖10.1.8 彎矩的

綜上所述，可得求剪力、彎矩大小和方向的規(guī)則:

對于剪力:梁內(nèi)任一橫截面上的剪力等于該截面一側(cè)梁上所有橫向外力的代數(shù)和;正負號由“外力左上右下，產(chǎn)生的剪力為正”確定。

對于彎矩:梁內(nèi)任一橫截面上的彎矩等于該截面一側(cè)梁上所有外力對截面形心力矩的代數(shù)和。正負號由“外力矩左順右逆，產(chǎn)生的彎矩為正”確定。

利用上述規(guī)則，可以直接根據(jù)截面左側(cè)或右側(cè)梁上的外力求出指定截面的剪力和彎矩。

p,1kNq,4kN/mm,1kN,m例10.1.1 簡支梁受集中力，力偶，均布載荷，如圖10.1.9所示，試求?-?和?-?截面上的剪力和彎矩。

圖10.1.9 簡支梁

解:(1)求支座反力。

M(F),0,P，750,R，1000,m，q，0.5，250,0,BA 即

R,250NA可得

F,0,R,P,q，0.5，R,0,yAB 即

R,2750NB可得

(2)計算剪力和彎矩(應(yīng)取簡單的一側(cè)為研究對象)。

Q,R,250N1A?-?

M,R，200,250，0.2,50N,m1A