小升初考點(diǎn)匯總——幾何圖形面積10大?？碱}型及解法！

原標(biāo)題：小升初考點(diǎn)匯總——幾何圖形面積10大?？碱}型及解法！

幾何圖形面積，是小升初考試中分?jǐn)?shù)占比非常大的模塊，同時(shí)也是初中、高中學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。很多同學(xué)聽(tīng)到幾何圖形求解的問(wèn)題就倍感頭疼，今天大樹(shù)老師從歷年真題中匯總整理了10大常考題型，為大家梳理常見(jiàn)題型及解題方法，太全了，建議家長(zhǎng)為孩子收藏！

1.公式法

? 公式法：基本圖形的面積求解公式

?求陰影部分的面積。

解析：陰影部分的面積=AB×EF÷2

?求陰影部分的面積。（12年山大附真題改編）

解析：陰影部分的面積=2×4÷2=4

?如圖所示，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是10厘米，寬是7厘米，求陰影部分的面積。（05濟(jì)外真題改編）

解析：陰影部分是一個(gè)平行四邊形，根據(jù)公式，找到底和高直接求解陰影部分的面積即可：陰影部分的面積=2×10=20（平方厘米）

2.概念法

? 概念法：根據(jù)基本圖形的基本概念進(jìn)行判斷并求解

?一個(gè)三角形，三條邊長(zhǎng)分別是6厘米、8厘米、10厘米，求解三角形的面積。

解析：由三角形的三條邊可知該三角形是一個(gè)直角三角形，其中6和8分別是直角三角形的兩條直角邊，則直角三角形的面積直接用公式求解即可：6×8÷2=24（平方厘米）

?已知某平行四邊形的長(zhǎng)邊和短邊的長(zhǎng)度分別是5厘米和3厘米，又知道以某一條邊為底的高為4厘米，求平行四邊形的面積。

解析：平行四邊形的高不會(huì)超過(guò)平行四邊形的邊長(zhǎng)，由此可以判斷這個(gè)4厘米的高應(yīng)該是以3厘米的邊為底。所以平行四邊形的面積為：3×4=12（平方厘米）

3.加減法

? 加減法：相加求整，相減求部分

?求解圖形的面積。（10年山大附真題改編）

解析：圖形的面積等于半圓的面積+正方形的面積

即：π(4÷2)2+4×4=2π+16

?如圖所示，三個(gè)半徑為1的小圓，求陰影部分的面積。

解析：三個(gè)陰影扇形的半徑相等，如果把它們?nèi)齻€(gè)拼接在一起圓心角就是180°，直接求一個(gè)半圓的面積即可。

即：π×12=π

?求解陰影部分的面積。（正方形的邊長(zhǎng)為4）

解析：陰影部分的面積=正方形的面積-中間圓的面積

即：4×4-π(4÷2)2=16-4π

?求解圖中陰影部分的面積。

解析：要求陰影面積可以用三角形的面積減去扇形的面積，如圖所示：S陰=S?ABC-S扇ACD

?求解圖中陰影部分的面積。（15年濟(jì)外真題）

解析：要求陰影面積可以用四分之一扇形的面積減去半圓的面積，如圖所示：S陰=S扇ABD-S半圓AB

4.分割法

? 分割法：將整體分割成若干個(gè)規(guī)則的多邊形

?求解下面圖形的面積。

解析：如圖所示，我們可以將原圖形分割成一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)三角形進(jìn)行求解（切割方式有多種，合理即可）。

面積=10×30+（40-10）×（30-15）÷2=525

?求解圖中陰影部分的面積。（12年山大附真題改編）

解析：如圖所示，將陰影部分分割成三個(gè)三角形，根據(jù)三角形的基本面積公式即可求解。（方法不唯一）

（6-4）×6÷2+（6-4）×4÷2+4×4÷2=18

5.割補(bǔ)法

? 割補(bǔ)法：將一部分割補(bǔ)到圖形中的另一個(gè)地方組成較規(guī)則的圖形進(jìn)行求解

?求解圖中陰影部分的面積。（對(duì)稱割補(bǔ)）（13山大附真題改編）

解析：如圖所示，將右側(cè)弓形的陰影補(bǔ)到左側(cè)弓形部分，整個(gè)陰影就成了一個(gè)三角形，直接求解三角形的面積就是陰影面積的總和。

面積=10×（10÷2）÷2=25

?求圖中陰影部分的面積。（對(duì)稱割補(bǔ)）

解析：如圖所示，將左側(cè)的葉狀陰影分割成兩部分，將其中一部分割補(bǔ)到右側(cè)黃色部分，整個(gè)陰影就可以通過(guò)求解三角形的面積進(jìn)行求解。

?求不規(guī)則圖形的面積。（全等割補(bǔ)）

解析：如圖所示虛線的表示，我們將不規(guī)則圖形的上半部分切割之后拼接在右邊，整個(gè)圖形就變成了一個(gè)長(zhǎng)方形，直接求解長(zhǎng)方形的面積即可。即：（10+10）×5=100

或者如下圖所示的虛線，將左側(cè)小三角形割補(bǔ)到上邊的小三角形中，整個(gè)圖形就變成了平行四邊形，即：10×10=100

?求圖中陰影部分的面積。（全等割補(bǔ)）

解析：如圖所示，將陰影分割出一個(gè)小三角形割補(bǔ)到圖中黃色部分，這樣整個(gè)陰影就成了一個(gè)小正方形。

?求圖中陰影部分的面積。（全等割補(bǔ)）

解析：如圖所示，將上側(cè)的陰影割補(bǔ)到圖中黃色部分，這樣整個(gè)陰影就成了一個(gè)小長(zhǎng)方形進(jìn)行求解。

?求圖中陰影部分的面積。（平移割補(bǔ)）

解析：如圖所示，將陰影部分通過(guò)平移拼接在一起，就正好組成一個(gè)正方形，直接求解正方形的面積即可。

?求圖中陰影部分的面積。（平移割補(bǔ)）（12稼軒真題改編）

解析：將上側(cè)陰影向下平移到下面空白部分，整個(gè)陰影就組成一個(gè)大的長(zhǎng)方形，直接求解長(zhǎng)方形的面積即可。

?求圖中陰影部分的面積。（旋轉(zhuǎn)割補(bǔ)）

解析：如圖所示，將左半部分繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，組合成一個(gè)大的半圓，然后用半圓的面積減去中間三角形的面積即可求出陰影部分的面積。

?求圖中陰影部分的面積。（旋轉(zhuǎn)割補(bǔ)）

解析：通過(guò)對(duì)原圖的分析，AC和BD為長(zhǎng)方形ABCD的對(duì)角線，EF是過(guò)O點(diǎn)的一條線段，所以三角形BFO的面積等于三角形DEO的面積。如下圖所示，將左下角的陰影部分繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到右上空白部分，整個(gè)陰影就組成一個(gè)大的三角形，三角形的面積正好等于長(zhǎng)方形面積的一半。

6.等量代換法

? 等量代換法：如果圖中有和所求部分面積相等的圖形，可以通過(guò)先求該圖形的面積間接求出所要求部分的面積。

?如圖所示，兩個(gè)完全一樣的三角形重疊放在一起，求圖中陰影部分的面積。

解析：兩個(gè)三角形是完全一樣的，去除重疊部分剩余部分的面積也應(yīng)該是相等的，所以梯形陰影部分的面積應(yīng)該等于下側(cè)梯形的面積。

即：陰影面積=（12-4+12）×2÷2=20

?求圖中陰影部分的面積。

解析：圖中長(zhǎng)方形和平行四邊形等底等高，所以平行四邊形的的面積和長(zhǎng)方形的面積是相等的，重疊部分的面積也是相等的，所以剩余部分的面積也是相等的，只需要求出長(zhǎng)方形中梯形的面積即可求出圖中陰影部分的面積。

即：（2+6）×3÷2=12

?下圖中甲和乙都是正方形，求陰影部分的面積。（12山大附真題改編）

解析：如圖所示，連接EC，四邊形ACEB是一個(gè)梯形，且AB和EC平行，梯形中的蝴蝶模型，三角形AOC的面積和三角形BOE的面積是相等的。這樣通過(guò)代換的方法直接求解三角形ABE的面積即可。（方法不唯一）

即：6×6÷2=18

7.重組法

? 重組法：將所求部分打亂重新組合。

?求解圖中陰影部分的面積（正方形的邊長(zhǎng)為4）。（15濟(jì)外真題改編）

解析：如圖所示，我們將圖中陰影部分重新組合，陰影部分的面積應(yīng)該等于正方形的面積減去中間圓的面積。（解法不唯一）

即：陰影部分面積=4×4 -（4÷2）2π=16-4π

?如圖所示，求陰影部分的面積（14濟(jì)外真題改編）

解析：陰影部分都是半徑為1的扇形，單個(gè)求解我們不知道各個(gè)扇形的圓心角所以無(wú)法求解，我們不妨整體來(lái)看，既然它們的半徑相同，將它們拼接在一起之后圓心角正好等于三角形的內(nèi)角和，即180度，所以三個(gè)小扇形正好拼接成一個(gè)半圓形，求解半圓形的面積即可。

即：陰影部分的面積

?已知圖中各圓的面積均是314，求陰影部分的面積。（π取3.14）（13稼軒真題）

解析：如下圖所示將圖中陰影我們可以拆分成四部分再重新拼接，正好可以將一個(gè)正方形包裹。要求陰影部分的面積只需要用小正方形的面積減去中間圓的面積即可。

即：314÷3.14=100，則圓的半徑為10，所以正方形的面積是20×20=400，則陰影部分的面積是400-314=86.

8.倍比法

? 倍比法：通過(guò)邊長(zhǎng)之間的倍數(shù)關(guān)系求解面積之間的倍數(shù)關(guān)系。

?求解圖中陰影部分的面積。（14山大附真題改編）

解析：如下圖所示，圖中陰影如果補(bǔ)全的話正是我們常見(jiàn)的谷形，只要求出谷形的面積再求一半就是本題的結(jié)果啦。

?如圖所示，已知陰影部分的面積是7.5，求空白部分三角形的面積。

解析：陰影部分三角形和空白部分三角形的高是相等的，空白部分三角形的底是陰影部分三角形底的3倍，所以空白部分三角形的面積是陰影部分三角形面積的3倍，所有空白部分三角形的面積是7.5×3=22.5

?已知梯形的上底是2，下底是5，三角形AOB的面積是2，求三角形COD的面積。（15年稼軒真題改編）

解析：根據(jù)梯形中蝴蝶模型的性質(zhì)S?AOB：S?DOC=AB2:DC2，即2:S?DOC=22:52，所以S?DOC=12.5

?如圖所示直角三角形的面積是4，直角三角形短邊b的長(zhǎng)度是長(zhǎng)邊長(zhǎng)度的四分之一，求正方形的面積。

解析：從三角形短直角邊和長(zhǎng)直角邊的倍數(shù)關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)，三角形的面積是正方形面積的八分之一，所以正方形的面積是4×8=32

?如圖所示，求不規(guī)則圖形的面積。（10年稼軒真題改編）

解析：如下圖所示，在不規(guī)則圖形的右邊補(bǔ)全一個(gè)完全一樣的圖形，整個(gè)圖形就是一個(gè)長(zhǎng)方形，用長(zhǎng)方形的面積除以2就是原圖不規(guī)則圖形的面積。

長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是8+5=13，長(zhǎng)方形的寬是5，長(zhǎng)方形的面積是13×5=65，則不規(guī)則圖形的面積是：65÷2=32.5

9.差不變法

? 差不變法：A-B=（A+C）-（B+C）

?下圖中三角形ABC 是直角三角形，陰影①的面積比陰影②的面積少18 平方厘米，求三角形ABC的面積。

解析：如圖所示，將空白部分標(biāo)注為③，S②-S①=18，那么（S②+S③）-（S①+S③）=18，S②+S③是大三角形的面積，S①+S③是半圓形的面積，即S?ABC-（20÷2）2π=18，算出S?ABC=18+50π

10.整體法

? 整體法：在求解過(guò)程中沒(méi)必要一定求出某一個(gè)具體的量，只需要知道某一個(gè)計(jì)算過(guò)程的整體也是可以求出面積的。

?如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)正好等于圓的半徑，已知正方形的面積是3，求圓形的面積。

解析：如果根據(jù)正方形的面積求圓的半徑，對(duì)于小學(xué)的孩子是求不出來(lái)的，但是我們?cè)谇髨A的面積的時(shí)候需要的是πr2，也就是說(shuō)我們只需要知道半徑的平方是多少一樣可以求出圓的面積，而半徑的平方正好等于正方形的面積。所有圓的面積=πr2=3π

?圖中陰影部分的面積是50 平方厘米，求圓環(huán)的面積。

解析：大圓的半徑用R表示，小圓的半徑用r表示，環(huán)形的面積公式為π（R2-r2），但是大圓和小圓的半徑都不知道。陰影部分的面積無(wú)法直接求解，環(huán)形的面積也無(wú)法直接求解，這就需要我們做一個(gè)過(guò)渡，大圓的半徑為R，小圓的半徑為r，則圖中陰影部分的面積就是：大三角形的面積-小三角形的面積=R2 ÷2-r2÷2=50，而環(huán)形的面積公式為π（R2-r2），則環(huán)形的面積為：π（R2-r2）=100π

綜上所述，幾何的求解方法有多種，但是法無(wú)定法，以上所有題目的解答方法可能有多種，所有的題型在我們各年級(jí)的對(duì)應(yīng)章節(jié)都會(huì)有接觸到，所以大家需要不斷學(xué)習(xí)并不斷總結(jié)，總結(jié)方法的同時(shí)也不要太拘泥，和老師一起開(kāi)動(dòng)你們的小腦袋來(lái)探究吧！