波動力學(xué)和矩陣力學(xué)已經(jīng)是人們習(xí)慣使用的量子力學(xué)處理方法，沒想到，還有人并不滿足于此，而是獨(dú)辟蹊徑，提出另一種數(shù)學(xué)處理方法，并且大獲成功。

美國物理學(xué)家惠勒在普林斯頓大學(xué)任教之時，手下最出色的學(xué)生是理查德·費(fèi)曼。1942年，費(fèi)曼在惠勒的指導(dǎo)下完成博士論文，取得普林斯頓大學(xué)的博士學(xué)位，這篇論文提出了量子力學(xué)的另一種數(shù)學(xué)表示形式——路徑積分。路徑積分現(xiàn)在已經(jīng)成為量子物理學(xué)家們必不可少的工具。后來費(fèi)曼獲得了諾貝爾物理學(xué)獎，成為美國最著名的物理學(xué)家之一。

11.1 路徑積分：所有路徑求和

了解路徑積分前需要先了解一個名詞——作用量。在經(jīng)典力學(xué)中，作用量是一個很特別、很抽象的物理量，它表示一個物理系統(tǒng)內(nèi)在的演化趨向，能唯一地確定這個物理系統(tǒng)的未來。只要設(shè)定系統(tǒng)在初始狀態(tài)與最終狀態(tài)，那么系統(tǒng)就會沿著作用量最小的方向演化，這被稱為最小作用量原理。比如光在從空氣中進(jìn)入水中傳播時，它所走的路徑是花費(fèi)時間最小的路徑，所以會有一定的折射率。

經(jīng)典力學(xué)體系的作用量在數(shù)學(xué)上可以用拉格朗日函數(shù)對時間的積分來表示，費(fèi)曼注意到狄拉克1933年關(guān)于量子力學(xué)的拉格朗日表述，兩相對照，費(fèi)曼找到了結(jié)合點(diǎn)，于是他把作用量引進(jìn)了量子力學(xué)。1942年，費(fèi)曼在他的博士論文中提出了波函數(shù)的一種“按路徑求和”的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。

還記得概率振幅（即波函數(shù)）嗎？費(fèi)曼從概率幅的疊加原理出發(fā)，利用作用量量子化方法完整地建立了他的路徑積分理論。其核心思想是：從一個時空點(diǎn)到另一個時空點(diǎn)的總概率幅是所有可能路徑的概率幅之和，每一路徑的概率幅與該路徑的經(jīng)典力學(xué)作用量相對應(yīng)。把作用量引進(jìn)量子力學(xué)，費(fèi)曼便架起了一座連接經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)的新橋梁。

簡單來說，這種方法要考察一個粒子（或者系統(tǒng)）從一點(diǎn)運(yùn)動到另一點(diǎn)可能經(jīng)過的所有路徑，每一條路徑都有自己的概率振幅，最終粒子的概率分布由所有這些可能的路徑共同決定。

在這種方式下，費(fèi)曼獲得了一個奇妙的世界圖像，它由時空中的世界線編織而成，萬物皆可隨心所欲地運(yùn)動，而實(shí)際所發(fā)生的則是各種可能的運(yùn)動方式的總和。

在《量子力學(xué)與路徑積分》這本著作中，費(fèi)曼指出：“量子力學(xué)中的概率概念并沒有改變，所改變了的，并且根本地改變了的，是計算概率的方法?！?/p>

顯然，費(fèi)曼的觀點(diǎn)與概率統(tǒng)計詮釋的精神是一致的，他并沒有與哥本哈根解釋相決裂。概率幅成為路徑積分的核心，費(fèi)曼在一篇論文中曾說道：

“從經(jīng)典力學(xué)到量子力學(xué)，許多概念的重要性發(fā)生了相當(dāng)大的變化。力的概念漸漸失去了光彩，而能量和動量的概念變得頭等重要?！覀儾辉儆懻摿Ｗ拥倪\(yùn)動，而是處理在時空中變化的概率幅。動量與概率幅的波長相聯(lián)系，能量與其頻率相聯(lián)系。動量和能量確定著波函數(shù)的相位，因而是量子力學(xué)中最為重要的量。我們不再談?wù)摳鞣N力，而是處理改變波長的相互作用方式。力的概念，縱使要用，也是第二位的東西。”

盡管我們可以在數(shù)學(xué)上把所有路徑的概率幅疊加來處理問題，但粒子如何能識破所有路徑的概率幅卻是令人費(fèi)解的。所以連費(fèi)曼都說：“概率幅幾近不可思議，迄今尚無人識破其內(nèi)涵。”

11.2 路徑積分對雙縫實(shí)驗(yàn)的解釋

費(fèi)曼在路徑積分理論中提出如下原理：如果一個事件可能以幾種方式實(shí)現(xiàn)，則該事件的概率幅就是以各種方式單獨(dú)實(shí)現(xiàn)時的概率幅之和。

在我們熟悉的電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中，我們?nèi)匀幻看沃话l(fā)射一個電子。在經(jīng)典運(yùn)動方式下，電子從A 出發(fā)落到屏幕上任意一點(diǎn)B 時只能通過1、2 兩條路徑到達(dá)（見圖11-1），那么電子在B 點(diǎn)出現(xiàn)的概率幅ψ 就是路徑1 的概率幅ψ1 和路徑2 的概率幅ψ2 之和，即

但是，電子并不是經(jīng)典粒子，那么在量子運(yùn)動狀態(tài)下，電子從A 到B 有多少條可能的路徑呢？如果我們能找到所有可能路徑，那么就能計算出電子出現(xiàn)在B 點(diǎn)的概率。我們來設(shè)計一個稍微復(fù)雜一點(diǎn)的情況。我們在雙縫和屏幕間再插入一塊板，板上有三條狹縫，如圖11-2 所示。按經(jīng)典路徑，那么現(xiàn)在從A到B 有6 條可能路徑，于是電子在B 點(diǎn)出現(xiàn)的概率幅就是從路徑1 到路徑6 的概率幅之和，有

現(xiàn)在，讓我們想象一下，如果在插入的板上刻出更多的狹縫，4 條、5 條、6 條……兩條狹縫之間的距離越來越小，當(dāng)狹縫數(shù)目趨于無窮時，會有什么效果呢？對了，那就是——這塊板不見了，就跟沒有這塊板一樣！

雖然空空如也，但我們可以認(rèn)為在從A 到B 的空間里插滿這種有無窮條狹縫的板，那么電子就在這些板之間來回碰撞轉(zhuǎn)折，于是有無數(shù)條可能的路徑實(shí)現(xiàn)從A 到B 的過程，也就是說，電子可以通過空間中任意一條路徑到達(dá)B 點(diǎn)，比如圖11-3 中給出的3 條可能路徑。所以，在雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中，電子在B 點(diǎn)出現(xiàn)的概率幅就是空間中所有可能路徑的概率幅之和，即

我們知道，積分運(yùn)算正是處理這種問題的好方法。費(fèi)曼通過他的路徑積分計算表明，當(dāng)把所有可能路徑都考慮進(jìn)去時，算出的概率跟實(shí)驗(yàn)值剛好吻合。

這就是路徑積分理論對于雙縫實(shí)驗(yàn)的解釋，也就是說，從A 點(diǎn)出發(fā)的電子“探測”到了空間中所有路徑，瞬間它就把所有路徑的概率幅進(jìn)行了求和，從而確定了它該以什么樣的概率落在屏幕上，所以，即使只發(fā)射一個電子，它也會落到雙縫干涉位置上去。

這樣，我們的疑問看上去就迎刃而解了。以前我們一直奇怪，雖然前方有兩條狹縫，但是按理說一個電子只能通過一條狹縫，那么為什么電子不是落在單縫衍射位置而是落在雙縫干涉位置呢？現(xiàn)在我們明白了，從A 點(diǎn)發(fā)出一個電子，如果前方有兩條狹縫，那么這個電子“探測”到的所有路徑和前方只有一條狹縫的所有路徑是不一樣的，所以其最后的落點(diǎn)也是不一樣的。

看起來很完美，但仔細(xì)一想，又是多么不可思議！電子既沒有生命，也不是數(shù)學(xué)大師，它是如何在一瞬間就做完這一切的呢？也許就像光能在一瞬間決定在水中的折射率是多少才能用時最短一樣，電子的運(yùn)動有一個最小的作用量在控制它，人類需要通過大量數(shù)學(xué)計算才能得到的結(jié)果，對于自然界而言，那是自然而然就產(chǎn)生的。

自然界就按它自己的方式存在，至于如何去理解，能不能理解，那是我們?nèi)祟惖氖拢c自然無關(guān)。

11.3 路徑積分的廣泛應(yīng)用

路徑積分方法不僅為經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)之間架起了一座新的橋梁，同時還為量子力學(xué)、場論和統(tǒng)計學(xué)提供了一個統(tǒng)一的途徑。

費(fèi)曼的導(dǎo)師惠勒為費(fèi)曼的研究感到非常興奮，他將費(fèi)曼的論文稿送到愛因斯坦那里。他對愛因斯坦說：“這論文太精彩了，是不是? 你現(xiàn)在該相信量子論了吧?”

愛因斯坦看了論文，沉思了一會兒，說：“我還是不相信上帝會擲骰子……可也許我現(xiàn)在終于可以說是我錯了?！?/p>

現(xiàn)在，量子力學(xué)已經(jīng)有三種表述形式，即薛定諤的波動力學(xué)、海森堡的矩陣力學(xué)和費(fèi)曼的路徑積分。

費(fèi)曼的路徑積分在數(shù)學(xué)上不是嚴(yán)格定義的，長期困擾費(fèi)曼的一個問題是：連最簡單的氫原子模型的波函數(shù)用他的路徑積分都算不出，而這一問題早已被薛定諤方程解決了。因此，從數(shù)學(xué)上研究費(fèi)曼積分的定義十分必要。

直到1979 年，Duru 與Kleinert 采用了天體物理中的一種時空變換，成功地將路徑積分理論應(yīng)用到氫原子問題中，計算出氫原子能譜。這種時空變換思想為很多原來未解決的路徑積分問題打開了新的思路，促使了路徑積分量子化理論及其應(yīng)用的迅猛發(fā)展。