Michael Aizenman是普林斯頓大學(xué)的物理和數(shù)學(xué)教授，在他的手上，有一張?jiān)?998年-1999年羅列的“愿望清單”。這張清單上記錄的是數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域中最令人困惑的13個(gè)開(kāi)放難題（數(shù)學(xué)物理是一個(gè)運(yùn)用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理來(lái)解決物理問(wèn)題的領(lǐng)域）。就像克雷數(shù)學(xué)研究院在2000年提出的千禧年大獎(jiǎng)難題一樣，這些問(wèn)題都是無(wú)數(shù)學(xué)者畢生所追求的目標(biāo)。

近二十年來(lái)，這13個(gè)問(wèn)題中只有一個(gè)被部分解決，但即使這樣，在部分解決的過(guò)程中就誕生了兩個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的最高榮譽(yù)——菲爾茲獎(jiǎng)?，F(xiàn)在，來(lái)自加州理工大學(xué)的研究人員Spiros Michalakis和微軟的研究人員Matthew Hastings完完全全地解決了另一個(gè)問(wèn)題！這個(gè)問(wèn)題于1999年被首次提出，與“量子霍爾效應(yīng)”相關(guān)。

電子的奇異行為

1879年，霍爾（Edwin Hall）在一項(xiàng)開(kāi)創(chuàng)性的實(shí)驗(yàn)中首次發(fā)現(xiàn)了霍爾效應(yīng)。該實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)存在垂直于金屬表面的磁場(chǎng)時(shí)，金屬中的電流會(huì)發(fā)生偏轉(zhuǎn)。

○  經(jīng)典霍爾效應(yīng)是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)單結(jié)果。這里顯示的是一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)示意圖：開(kāi)啟一個(gè)指向z-方向的恒定磁場(chǎng)（B）；在x-方向上存在一個(gè)恒定的電流（I）；同時(shí)，電子只能在于（x,y）平面內(nèi)。根據(jù)霍爾定律，這樣的設(shè)置會(huì)在y-方向產(chǎn)生電壓（V）?；魻栃?yīng)之所以會(huì)出現(xiàn)，是因?yàn)榇艌?chǎng)會(huì)使得帶電粒子繞圈圈運(yùn)動(dòng)。

101年后，德國(guó)實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家克勞斯·馮·克利青（Klaus von Klitzing）在更低的溫度和更強(qiáng)的磁場(chǎng)下進(jìn)行了霍爾的原始電導(dǎo)實(shí)驗(yàn)，他發(fā)現(xiàn)電流的偏轉(zhuǎn)會(huì)以一種量子化的方式出現(xiàn)。換句話(huà)說(shuō)，隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的增加，金屬電導(dǎo)的增加并不像經(jīng)典物理學(xué)所預(yù)測(cè)的那樣是漸進(jìn)的或線性的，而是逐階上升的。這一發(fā)現(xiàn)也讓馮·克利青獲得了1985年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

○  量子霍爾效應(yīng)有兩種，分別是整數(shù)和分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)。兩種效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)都是先源于實(shí)驗(yàn)，之后才發(fā)展了相關(guān)的理論基礎(chǔ)。圖中顯示的是馮·克利青發(fā)現(xiàn)的整數(shù)量子霍爾效應(yīng)。當(dāng)溫度降到~4開(kāi)爾文時(shí)，一個(gè)二維電子系統(tǒng)的霍爾電阻的平臺(tái)會(huì)精確地出現(xiàn)在h/ie2處；其中i是整數(shù)，h是普朗克常數(shù)，e是電荷。

量子霍爾效應(yīng)最神奇的地方在于，即使在材料中存在自然雜質(zhì)的情況下，也能夠出現(xiàn)精確的量子化。雜質(zhì)會(huì)影響電流流過(guò)材料的路徑，而且這些雜質(zhì)在材料中是隨機(jī)分布的，所以完全有理由想象它們會(huì)對(duì)電導(dǎo)產(chǎn)生隨機(jī)的影響。但事實(shí)是，它們并不會(huì)。

就在馮·克利青發(fā)現(xiàn)量子霍爾效應(yīng)的兩年后，實(shí)驗(yàn)家霍斯特·施特默（Horst St?rmer）和崔琦（Daniel Tsui ）展示了更令人困惑的一面：在極端條件下（更低的溫度和更強(qiáng)的磁場(chǎng)下），霍爾電導(dǎo)會(huì)以先前觀察到的結(jié)果的分?jǐn)?shù)倍量子化。這就好像電子以某種方式分裂成了更小的粒子，每個(gè)粒子都攜帶了電子的一小部分電荷。施特默和崔琦，以及理論物理學(xué)家羅伯特·勞夫林（Robert Laughlin）因在這項(xiàng)研究中所作出的貢獻(xiàn)而共同獲得了1998年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

○  分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)。當(dāng)溫度降到~2開(kāi)爾文時(shí)，一個(gè)二維電子系統(tǒng)的霍爾電阻的平臺(tái)會(huì)精確地出現(xiàn)在h/νe2處，其中ν是分?jǐn)?shù)，比如2/3、3/5、4/7、4/9等等。

整數(shù)和分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)都表明，這些系統(tǒng)中的電子在某種程度上會(huì)以一種統(tǒng)一的、整體的方式相互作用，盡管通常它們會(huì)表現(xiàn)得像一個(gè)個(gè)乒乓球一樣相互彈開(kāi)。即使物理學(xué)家已經(jīng)在這一領(lǐng)域取得了如此多的重大進(jìn)展，但關(guān)于電子究竟是如何做到這一點(diǎn)的問(wèn)題仍然存在。

一個(gè)數(shù)學(xué)途徑

Michalakis在2008年開(kāi)始研究這個(gè)問(wèn)題，當(dāng)時(shí)他還是洛斯阿拉莫斯國(guó)家實(shí)驗(yàn)室里的一個(gè)數(shù)學(xué)博士后。他的研究建立在他的導(dǎo)師Hastings的開(kāi)創(chuàng)性工作之上。Hastings根據(jù)他與其他人的數(shù)十年研究成果，發(fā)展出了新的用于研究量子霍爾效應(yīng)的數(shù)學(xué)工具。對(duì)于Michalakis而言，翻閱所有以前的文獻(xiàn)幾乎與解決問(wèn)題本身同樣具有挑戰(zhàn)性，因?yàn)榕c之相關(guān)的研究已經(jīng)數(shù)不勝數(shù)，且其中大部分的研究都需要掌握非常前沿的物理知識(shí)，而對(duì)于有著數(shù)學(xué)背景的他，不得不將問(wèn)題分解成他可以解決的更小的問(wèn)題。

最終的解決方案來(lái)自于數(shù)學(xué)中的拓?fù)鋵W(xué)。拓?fù)鋵W(xué)研究的是物體的形狀在彎曲或拉伸時(shí)不會(huì)改變的特性。例如，甜甜圈可以被拉伸成咖啡杯的形狀，但如果想要把它變成球體，就必須將它撕裂。在霍爾效應(yīng)的背后，就存在有點(diǎn)類(lèi)似的情形：即使材料中存在著雜質(zhì)，電導(dǎo)也不會(huì)改變。

○  對(duì)于拓?fù)鋵W(xué)家而言，甜甜圈和咖啡杯是一樣的。

其實(shí)早在Michalakis和Hastings之前，就有將拓?fù)溆糜谘芯苛孔踊魻栃?yīng)的想法存在，但是之前的研究人員都被迫做出兩種假設(shè)中的一種——要么是假設(shè)描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)空間的整體圖景等同于局域圖景，要么是假設(shè)系統(tǒng)中的電子不相互作用。第一個(gè)數(shù)學(xué)假設(shè)被懷疑是錯(cuò)誤的，而第二個(gè)物理假設(shè)是不現(xiàn)實(shí)的。

Michalakis說(shuō)：“在物質(zhì)的拓?fù)錉顟B(tài)下，電子會(huì)失去它們的‘身份’。你會(huì)得到一個(gè)更分散、更穩(wěn)定、更糾纏的系統(tǒng)，表現(xiàn)的跟單一的物體一樣。在我們之前的研究人員意識(shí)到了這可以解釋量子霍爾電導(dǎo)的整體性質(zhì)，但它們卻作出了放大圖景與縮小圖景一樣的假設(shè)?！?/span>

如何消除這兩個(gè)假設(shè)令數(shù)學(xué)物理學(xué)家寢食難安，這也使他們?cè)谑兰o(jì)之交，將量子霍爾效應(yīng)列為一個(gè)重大的開(kāi)放性問(wèn)題。

Michalakis和Hastings用一種新穎的方式將整體圖景與局域圖景聯(lián)系了起來(lái)，成功的移除了這些假設(shè)。為了說(shuō)明它們的方法，讓我們想象一下讓快速遠(yuǎn)離地球時(shí)看到的畫(huà)面：我們將看到的是一個(gè)沒(méi)有山脈、沒(méi)有峽谷的球體，讓你可能會(huì)誤以為能在沒(méi)有任何障礙的情況下環(huán)游這顆星球。但當(dāng)你回到地球時(shí)，你意識(shí)到這是不可能的——你必須穿越高山和峽谷。在數(shù)學(xué)意義上，Michalakis和Hastings的解決方案所做的，就是確定一條開(kāi)放、平坦的路徑，在這條路徑上你不會(huì)遇到任何的低谷或高峰，本質(zhì)上與你在遠(yuǎn)離地球時(shí)所感知的幻覺(jué)相符。

Michalakis說(shuō)：“我通過(guò)使用Hasting的工具以及一些來(lái)自其他研究的想法，來(lái)證明如果知道了找尋方法的話(huà)，這樣的路徑總是存在，并且能輕易地就被找到的。結(jié)果是，霍爾電導(dǎo)等于纏繞著描述量子霍爾系統(tǒng)的數(shù)學(xué)形狀的拓?fù)涮卣鞯穆窂降睦@行次數(shù)。這就解釋了為什么霍爾電導(dǎo)是一個(gè)整數(shù)，以及為什么它在應(yīng)對(duì)材料中的雜質(zhì)是表現(xiàn)得如此剛強(qiáng)。雜質(zhì)就像是你在環(huán)游世界，偏離于‘黃金路線’的小彎繞。它們不會(huì)影響你環(huán)游世界的次數(shù)?！?/span>

已解決！

當(dāng)然，Michalakis和Hastings的實(shí)際證明比這個(gè)要復(fù)雜得多了；他們用了40頁(yè)的數(shù)學(xué)推理來(lái)書(shū)寫(xiě)最初的證明，但經(jīng)過(guò)艱苦的編輯過(guò)程，這個(gè)數(shù)字最終縮減到了30頁(yè)。他們?cè)?009年就提交了解決方案，但專(zhuān)家們花了很長(zhǎng)的時(shí)間才消化這個(gè)結(jié)果。直到2015年，這個(gè)證明才在《數(shù)學(xué)物理通訊》上正式發(fā)表。

○  歷經(jīng)了六年，論文才正式發(fā)表。

在發(fā)表的兩年半后，數(shù)學(xué)物理學(xué)家們才正式承認(rèn)了這個(gè)解決方法，并在官網(wǎng)上將這個(gè)問(wèn)題標(biāo)記為“已解決（SOLVED）”！

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