今年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)被授予美國華盛頓大學(xué)的索利斯（David J. Thouless）、普林斯頓大學(xué)的霍爾丹（F.Duncan M. Haldane）和布朗大學(xué)的科斯特利茲（J.Michael Kosterlitz），以表彰他們的“理論研究發(fā)現(xiàn)了物質(zhì)的拓?fù)湎嘧兒屯負(fù)湎唷！敝Z貝爾獎(jiǎng)官網(wǎng)說：“他們打開了通往奇異狀態(tài)物質(zhì)這一未知世界的大門。他們用高等數(shù)學(xué)方法研究不尋常的相、態(tài)、物質(zhì)，比如超導(dǎo)體、超流體或薄磁膜。得益于他們的先驅(qū)性工作，對新型反常相物質(zhì)的獵尋（hunt）開展起來了。很多人認(rèn)為它們未來有望在材料科學(xué)和電子學(xué)上得以應(yīng)用?！?/span>

眾所周知，純水可以有冰、水、水蒸氣三種狀態(tài)，也就是固體液體氣體三種相。融化沸騰結(jié)霜等都是相變。值得注意的是，相變意味著存在不連續(xù)的躍變。比如說固相和液相之間并沒有中間狀態(tài)。你可以把冰和水混合在一起，但在冰水混合物（包括碎冰沙飲品）里，固相液相仍是分離的（phase separation），不像酒精和水溶液成為融合的單相。小朋友可能會(huì)好奇那軟白甜的冰激凌，難道不是水在固液兩相之間的中間相？注意，冰激凌不是水，是混合了蛋白質(zhì)、脂肪、冰晶、糖、液態(tài)水以及氣泡的典型軟凝聚態(tài)——凝聚態(tài)物理的另一個(gè)重要分支。

在不同的相里，分子原子整體遵循不同的規(guī)律做運(yùn)動(dòng)。比如，在固態(tài)晶體里，分子排成一個(gè)固定的點(diǎn)陣，像是操練立體方陣的士兵。在液態(tài)下，晶格瓦解，分子們卻還緊挨著，所以保持有限的體積，但有了流動(dòng)性，失去了固定的形狀。等到了氣態(tài)，分子們各奔東西，不僅沒了固定形狀，體積也會(huì)充滿所在容器的整個(gè)空間。除了固液氣相，物質(zhì)還可能有很多其他復(fù)雜的相，呈現(xiàn)出不尋常的特征，比如超導(dǎo)和超流，后面會(huì)解釋。

總而言之，不同的相是指同一個(gè)物質(zhì)內(nèi)的原子們，有不同的組織結(jié)構(gòu)，對應(yīng)于不同的物態(tài)。相與相之間的變化，是躍變的（存在不連續(xù)的物理量），而不是漸變的 （比如將一塊鐵的溫度慢慢升高）。

拓?fù)涫莟opology 音譯的詞匯。拓?fù)鋵W(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，主要研究在空間連續(xù)變化（比如拉伸和彎曲，但是不撕裂和粘合）的情況下維持不變的性質(zhì)。

最著名的例子就是，一團(tuán)橡皮泥可以捏成一個(gè)球或者一個(gè)碗，或者捏成諾獎(jiǎng)發(fā)布會(huì)上，主持人手里的實(shí)心肉桂面包（不管怎樣做連續(xù)變化，這些形狀都是一回事：它們都沒有洞）。而被打穿了一個(gè)洞的橡皮泥，或者有一個(gè)把手的茶杯，以及主持人手里的圓圈面包，或者一個(gè)筒裙，在拓?fù)鋵W(xué)上他們都是一回事，擁有同樣的不變性：一個(gè)洞。而穿了兩個(gè)洞的橡皮泥，就像那個(gè)八字形的堿水面包，還有你的長褲和短褲，都具有相同的拓?fù)洳蛔冃浴３硕吹膫€(gè)數(shù)，還有別的特征數(shù)用來描述不同的拓?fù)涮匦浴?/span>

請注意，拓?fù)湫砸彩擒S變的，不是漸變的。有個(gè)笑話說，當(dāng)禪師說任何事物都有兩面，你可以把一張紙條擰一下然后兩頭反過來粘住，形成一個(gè)莫比烏斯環(huán)。在上面爬的螞蟻會(huì)發(fā)現(xiàn)它只有一面?？墒侨绻U師說事物都有整數(shù)面，那他就對了。同樣，拓?fù)涿枋隼?，可以有零個(gè)、一個(gè)、兩個(gè)或N個(gè)洞，但是不會(huì)有中間態(tài)1.5個(gè)或1.618個(gè)洞。掌紋指紋的奇異點(diǎn)（構(gòu)成“籮斗”或“簸箕”）、打結(jié)的耳機(jī)線、椰子絨毛的漩（和你頭發(fā)的漩）無不要遵守拓?fù)鋵W(xué)的描述。而且拓?fù)湫员仨毧次镔|(zhì)的整體而不是局部才能知曉。

拓?fù)涞谋举|(zhì)是在連續(xù)變化下的不變性。如果一根繩子上打了一個(gè)結(jié)，然后把這根繩子首尾相連，要去除這個(gè)繩結(jié)就只能把繩子割斷，拓?fù)湫再|(zhì)也是如此的堅(jiān)固。比如說，當(dāng)空間發(fā)生連續(xù)變化（伸縮扭曲等），左圖的二維的波浪式運(yùn)動(dòng)可以被消除，而右圖轉(zhuǎn)圈的漩渦只能被扭曲或移動(dòng)，因?yàn)橥負(fù)浣Y(jié)構(gòu)獲得保護(hù)，漩渦不能被輕易地消除。后面會(huì)提到漩渦在二維拓?fù)湎嘧兝锩娴闹匾饔谩?/span>

為了幫助理解后面的話題，我們先看看什么是電導(dǎo)率。想象一下你在一個(gè)管子（比如注射器）的一端施加壓力，兩端出現(xiàn)壓強(qiáng)差，管內(nèi)的液體會(huì)朝低壓的方向流去，而流速流量不僅由壓強(qiáng)差、管道長度、管道粗細(xì)決定，還會(huì)與液體的粘滯阻力有關(guān)，就像水和蜂蜜的區(qū)別。同樣的，決定電流大小的，除了導(dǎo)線兩端的電壓差，材料的長短粗細(xì)，還有材料本身的導(dǎo)電性能（電導(dǎo)率）。比如金或者銅的電導(dǎo)率優(yōu)于鋁。我們平時(shí)說的電阻率，是電導(dǎo)率的倒數(shù)。一般情況下，電阻來源于電荷在移動(dòng)過程中遭遇的阻礙（與其余微觀粒子的頻繁碰撞），類似于粘滯阻力和摩擦力。于是很大一部分電能就被消耗成了熱能，所以你的手機(jī)會(huì)發(fā)熱而且沒用一天就要充電了。在三維導(dǎo)體和半導(dǎo)體中，電導(dǎo)率（電阻率）會(huì)隨溫度等狀態(tài)發(fā)生變化，一般這樣的變化是連續(xù)的，不是躍變的。

在特殊情況下，比如非常低溫的條件下，物質(zhì)可能發(fā)生特殊的相變，突然完全喪失電阻（或者粘滯系數(shù)），變成超導(dǎo)體（或者超流體），于是電流不再產(chǎn)生熱量消耗電能，（或超流液體在環(huán)形容器中無休止地流動(dòng)下去）。

現(xiàn)在，我們再來試圖理解拓?fù)湎嘧儭?/span>

在低溫下，微觀粒子體現(xiàn)出量子力學(xué)的效應(yīng)。而在薄層物質(zhì)里，想象一下那些“運(yùn)載”電流的電荷（或流體的分子），像螞蟻一樣被限制在桌面薄薄一層空間，只能做二維運(yùn)動(dòng)。那么他們中的一些有可能轉(zhuǎn)著圈形成漩渦。

如果本節(jié)后面的文字讀起來費(fèi)勁，讀完這一段你就可以跳到下一節(jié)。簡短地說，今年的物理諾獎(jiǎng)獎(jiǎng)勵(lì)了下列幾個(gè)工作：(1) David J. Thouless和J. Michael Kosterlitz用漩渦（拓?fù)涓拍睿┙忉屃吮游镔|(zhì)的一種特殊形式的超導(dǎo)超流相變。(2) David J. Thouless等人用陳數(shù)（陳省身數(shù)，Chern numbers）等拓?fù)洳蛔兞拷忉屃藢?shí)驗(yàn)觀測到的按整數(shù)倍變化的霍爾電導(dǎo)率。(3) F. Duncan M. Haldane提供了一維磁性原子鏈的拓?fù)淠Ｐ汀?4) F.Duncan M. Haldane還首次預(yù)言了不需要磁場的整數(shù)量子霍爾效應(yīng)（最后這一條是不是獲獎(jiǎng)工作還有些爭議）。總的來說，他們的理論開創(chuàng)了把拓?fù)涓拍顟?yīng)用到凝聚態(tài)物理研究的領(lǐng)域，打開了通往豐富的拓?fù)湮飸B(tài)世界的大門。

從前的理論認(rèn)為超導(dǎo)或者超流不可能在薄層中發(fā)生。而上世紀(jì)七八十年代，David J. Thouless和J. Michael Kosterlitz 提出拓?fù)淞孔恿黧w的理論，描述了在極低溫下薄層物質(zhì)中的漩渦會(huì)順時(shí)針逆時(shí)針成對出現(xiàn)，互相補(bǔ)給電荷（或者補(bǔ)給流體），作為整體形成準(zhǔn)長程有序的束縛態(tài)，伴隨超導(dǎo)或超流現(xiàn)象。在溫度升高后，這些成對的漩渦突然遠(yuǎn)離，開始自由運(yùn)動(dòng)，破壞了超導(dǎo)或超流的長程位相有序性，導(dǎo)致物理性質(zhì)突變。這個(gè)過程不同于普通的伴隨對稱性破缺（局部熱擾動(dòng)破壞的各方向?qū)ΨQ性）的相變（比如結(jié)冰），而是由漩渦束縛態(tài)與自由態(tài)之間的轉(zhuǎn)變導(dǎo)致的，要用到拓?fù)涞牟贿B續(xù)性來描述和解釋，是拓?fù)湎嘧兊囊环N。已故前蘇聯(lián)科學(xué)家Berezinskii也獨(dú)立地提出了這一相變機(jī)理，但由于東西方冷戰(zhàn)而不為許多人知曉， 這一相變也被稱為是BKT相變。

另外一個(gè)啟發(fā)了科學(xué)家們?nèi)グ淹負(fù)湫詰?yīng)用到物理里的一個(gè)重要現(xiàn)象，是在極低溫強(qiáng)磁場下薄層物質(zhì)的霍爾電導(dǎo)率成臺(tái)階式整數(shù)倍變化，而不能連續(xù)變化，即整數(shù)量子霍爾效應(yīng)。（1980年德國科學(xué)家馮·克利青 Klaus von Klitzing 發(fā)現(xiàn)整數(shù)量子霍爾效應(yīng)，于1985年獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。）實(shí)驗(yàn)所測得的霍爾電導(dǎo)率非常精確地嚴(yán)格等于一個(gè)物理常數(shù)的整數(shù)倍。這個(gè)物理常數(shù)是大家熟悉的基本電荷（一個(gè)電子的電量）的平方除以量子力學(xué)里的極小量普朗克常數(shù)。（霍爾電導(dǎo)率不同于普通的電導(dǎo)率，但也同樣是電流密度與電壓梯度的比值。）

為什么霍爾電導(dǎo)率會(huì)如此固執(zhí)地取這一系列整數(shù)倍數(shù)值呢？David J. Thouless等人把整數(shù)量子霍爾效應(yīng)與陳數(shù)的整數(shù)拓?fù)洳蛔兞柯?lián)系在了一起，用拓?fù)淅碚撋羁探忉屃硕S電子層中的整數(shù)量子霍爾效應(yīng)。陳數(shù)是以華人數(shù)學(xué)家陳省身命名的。在數(shù)學(xué)上，陳省身提出的陳類（Chern Class）及相關(guān)理論在微分幾何和代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)里面有舉足輕重的位置。

另外，1982年，美籍華裔物理學(xué)家崔琦（Daniel Chee Tsui）、美國物理學(xué)家施特默（Horst L. Stormer）等發(fā)現(xiàn)“分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)”，不久由美國物理學(xué)家勞弗林（RoberB. Laughlin）給出理論解釋，三人共同獲得1998年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

而今年的另一位得獎(jiǎng)?wù)?，F(xiàn). Duncan M. Haldane的理論計(jì)算在八十年代末第一個(gè)提出了與已知機(jī)理不同的，不需要外加磁場的量子霍爾效應(yīng)。這一預(yù)言終于在2014年，被以薛其坤為首的清華大學(xué)和中科院物理所的研究團(tuán)隊(duì)，用前所未有的磁性摻雜拓?fù)浣^緣體在實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證。他的理論為現(xiàn)在非?；钴S的拓?fù)浣^緣體領(lǐng)域提供了前期基礎(chǔ)。他還用拓?fù)涞母拍钛芯恳痪S的原子鏈，在八十年代年打破前人對一維原子鏈的認(rèn)知，指出一串磁性原子的自旋常數(shù)決定了他們是否存在拓?fù)湫?。他近期的工作進(jìn)一步升華了分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)的理論。

這些研究的意義是什么，他們有什么用，這是大家很關(guān)心的問題。

我首先要強(qiáng)調(diào)的是，把非常抽象的拓?fù)鋵W(xué)應(yīng)用到凝聚態(tài)物理研究中，形成全套嶄新的理論，用以成功解釋物質(zhì)的奇異性質(zhì)和相變，并預(yù)言前所未有的拓?fù)湎嗪托挛飸B(tài)，就像拿三角函數(shù)來描述帶有方向的物理量（力和速度等矢量），拿微積分來描述漸進(jìn)的物理過程，拿黎曼幾何來描述引力的本質(zhì)是時(shí)空的扭曲從而創(chuàng)立的廣義相對論一樣，這些“異想天開”的開創(chuàng)性理論研究打開了一扇扇新學(xué)科的大門，是具有劃時(shí)代意義的。

拓?fù)浼ぐl(fā)態(tài)兩個(gè)重要特點(diǎn)，一是全局性，二是對局部擾動(dòng)的穩(wěn)定性，不受材料里面雜質(zhì)等干擾。到今天對拓?fù)湮飸B(tài)的研究成為一個(gè)內(nèi)容豐富又飛速發(fā)展的領(lǐng)域， 更多的奇異拓?fù)湎啵òㄒ痪S、二維、三維）和拓?fù)湎嘧?/span>被預(yù)言和發(fā)現(xiàn)。

比如1990年左右，華裔物理學(xué)家牛謙、文小剛等人的工作使我們理解了量子霍爾效應(yīng)邊界的奇特拓?fù)湫再|(zhì)。近十年來，包括傅亮、張首晟在內(nèi)的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)和預(yù)言了多種三維拓?fù)浣^緣體。近八年來，顧正澄、文小剛，還有陳諧、劉正鑫揭示了Haldane磁性鏈的對稱保護(hù)的拓?fù)鋬?nèi)涵。這些工作使拓?fù)湮飸B(tài)吸引了更多的關(guān)注。

特別是量子霍爾態(tài)，其中和陳數(shù)相關(guān)的拓?fù)湫再|(zhì)，導(dǎo)致了它的邊界是電阻為零的理想導(dǎo)體。電子在一個(gè)邊界上都有相同的運(yùn)動(dòng)方向，好似行駛在暢通無阻的高速公路，不再遭遇普通導(dǎo)體內(nèi)類似于跑車沖進(jìn)歌舞廳菜市場的電阻。這樣特別的的材料有望被用來解決電子產(chǎn)品發(fā)熱電能浪費(fèi)的問題。

還有一種新型拓?fù)湮飸B(tài)——帶非阿貝爾任意子的拓?fù)湫?，可能可以被用以?shí)現(xiàn)量子計(jì)算機(jī)?？偠灾?fù)湫蛲負(fù)湮飸B(tài)在過去二十多年來主導(dǎo)了凝聚態(tài)物理的前沿研究，這些新型的拓?fù)洳牧虾推娈愋阅埽赡軐ο乱淮娮釉土孔佑?jì)算機(jī)的發(fā)展有重要的潛在應(yīng)用。

作為專業(yè)的物理科研人員，在這里我謹(jǐn)慎保守地措辭“可能”和“潛在應(yīng)用”，因?yàn)檫@樣劃時(shí)代發(fā)現(xiàn)全新物態(tài)和物理機(jī)制的開拓性研究本身已經(jīng)意義非常重大，無需再吹噓應(yīng)用前景。類似地，一百年前愛因斯坦提出激光概念，五六十年前激光得以實(shí)現(xiàn)。那時(shí)候的人們完全想象不到激光的“潛在應(yīng)用”有多么廣泛。在今天幾乎任何角落，從引力波探測、芯片制造，到普通電腦光盤、互聯(lián)網(wǎng)光纖，到哪怕超市里的掃條碼，都離不開激光——這種“一反常態(tài)”的具有單色、單向性、大功率、相干性等等的全新光源。

三位獲獎(jiǎng)?wù)呤侨峦負(fù)湮飸B(tài)研究領(lǐng)域的理論先驅(qū)，在他們之前和之后的眾多的數(shù)學(xué)家、理論物理學(xué)家和實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家，都為這一領(lǐng)域的發(fā)展做出了卓越的貢獻(xiàn)。是他們對未知世界無法阻擋的好奇心、孜孜不倦的探索和極其敏銳的洞察力讓這一切成為可能。