一、猜證結(jié)合思想概述

解題的核心是邏輯推理，因此我們要著力研究：怎樣進(jìn)行邏輯推理。

在數(shù)學(xué)上“邏輯”通常是指“思維的規(guī)律”，它不僅包括形式邏輯推理，而且包括辯證邏輯推理以及各種非形式化的邏輯推理，如形象思維、直覺思維等等。因此我們要盡力引入運(yùn)動(dòng)和辯證的方法，全面而深刻的學(xué)會(huì)推理。

解題是人類特別富有的智力活動(dòng)，它必須遵循人類認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。

人的基本認(rèn)識(shí)過程有兩個(gè)：一是由特殊到一般；一是由一般到特殊。我們按照這兩個(gè)基本認(rèn)識(shí)過程，將推理分為兩種：

1、似真推理 —— 由特殊到一般，這種推理也叫做歸納推理，這是創(chuàng)造性的邏輯推理。

“由特殊到特殊”或“由一般到一般”的推理，叫做類比推理。其認(rèn)識(shí)過程仍包含于“由特殊到一般”這個(gè)基本認(rèn)識(shí)過程之中，并且所推出的結(jié)論也是似真的，所以類比推理也是似真推理。

2、證明推理 —— 由一般到特殊的推理，叫做演繹推理，這是必然性的推理，我們把演繹推理也叫做證明推理。

我們把似真推理和證明推理，簡言為“猜想和證明” ， 數(shù)學(xué)推理總是這樣 “猜想——證明——再猜——再證”循環(huán)往復(fù)的進(jìn)行的，直到問題解決或發(fā)現(xiàn)新問題，這就是數(shù)學(xué)推理的邏輯，由此凝聚了一個(gè)現(xiàn)代的解題思想——猜證結(jié)合思想。

二、數(shù)學(xué)歸納法概述

“數(shù)學(xué)歸納法”是證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種方法，它的理論依據(jù)是數(shù)學(xué)歸納原理：

設(shè) P（n）是關(guān)于正整數(shù) n 的一個(gè)命題，如果：（1）P（1）真 ；（2）由P（k）為真的假設(shè)可推出 P（k +1）也為真，那么 P（n）對(duì)一切正整數(shù) n 為真 。

數(shù)學(xué)歸納法是人們以有限把握無限，通過有限次操作證明無限集合的命題。它第一次提供了證明無限集合的命題的一種確切而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕虒W(xué)方法，這個(gè)方法是完全歸納法。

數(shù)學(xué)歸納法證明命題 P（n）（n ∈ N, 且 n ≥ n0）成立的一般步驟

（1）證明P（n0）成立 ；

（2）假設(shè) P（k）（k ∈ N, 且 k ≥ n0）成立 ，證明 P（k + 1）也成立 。

根據(jù) （1）和 （2），可知 P（n）對(duì)一切正整數(shù) n （n ≥n0）都成立 。

例題：求證：

猜證：這是 P（n）命題，用數(shù)學(xué)歸納法證明 。

第一步：當(dāng) n = 1 時(shí) ， 1 < 2="" 顯然成立="">

第二步：假設(shè) 當(dāng) n = k 時(shí) （k > 1）

則 當(dāng) n = k + 1 時(shí) ，

因此數(shù)學(xué)歸納法失效！若還想用數(shù)學(xué)歸納法證明，就得變換命題，使不等式的右邊與 n 有關(guān) 。

經(jīng)過幾次試驗(yàn)猜想，改證如下：

證法一：先用數(shù)學(xué)歸納法證明上圖中的輔助不等式：

（1）當(dāng) n = 2 時(shí) ， 左邊 = 1 + 1/（2^2）= 5/4 ，右邊 = 2 - （1/2）= 3/2 ，

所以左邊 < 右邊="" ，="">輔助不等式成立 。

（2）假設(shè) n = k （k ≥ 2）時(shí)

則 當(dāng) n = k + 1 時(shí)

即上圖中的輔助不等式也成立。

由 （1）和 （2），可知上圖中的輔助不等式成立 。

又因?yàn)?2 - 1/n < 2="" ,="" 且="" 當(dāng)="" n="1" 時(shí)原不等式為="" 1="">< 2="">

得證 。

注：P（n）命題不一定都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明，給出證法二——列項(xiàng)相消放縮法！

證法二、列項(xiàng)相消放縮法

注：（1）當(dāng)數(shù)學(xué)歸納法失效時(shí)，可引進(jìn)輔助命題，再用數(shù)學(xué)歸納法；

（2）本題不宜使用數(shù)學(xué)歸納法，用列項(xiàng)法最為簡捷。

解題時(shí)注意依據(jù)問題的特點(diǎn)，選擇最快最好的方法。