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本文作者: 宋寧，山東威海人，山東理工大學數學系教師，網名 蒜泥學數學。
1.1 不要迷信哥，哥只是傳說大約在文明開始出現的時代，出于生產生活的需要，四大河谷文明（也就是古埃及、古巴比倫、古印度和古中國）陸續(xù)開始孕育出最早的數學．此時的希臘還是一片蠻荒的山地和小島．后世的歷史學家稱古希臘的這個階段為“黑暗時代”，這實在是頗為傳神：這里沒有文明，而且土地非常貧瘠，農業(yè)生產遠遠落后于南方的埃及和東邊的巴比倫．為了生計，很多希臘人渡海來到埃及和巴比倫．有人做起買賣，有人成了雇傭兵．但無論從事什么職業(yè)，希臘打工仔都不可避免地注意到：文明世界的城市里有著雄偉壯麗的建筑，文明世界的鄉(xiāng)村中有著測量完善的土地．當他們詢問文明世界的人們：這些建筑是怎么設計出來的？這些土地是怎么測量出來的？他們得到的回答是：幾何． 更準確地來說，希臘人在埃及和巴比倫所見到的幾何是一種實驗幾何，或者 稱為經驗幾何，是人們通過大量的實驗和觀測，總結出的幾何規(guī)律．這種通過大量的實驗和觀測總結規(guī)律的思維方法，通常稱為歸納法．請大家注意，這里的“歸納法”與我們數學上所說的“數學歸納法”不同．這里所說的歸納法，更準確地說，是“不完全歸納”．不完全歸納有兩個重要的缺陷：· 觀測有可能不那么精確；
· 即使觀測足夠精確，對于有無數個實例的問題來說，觀測到的實例永遠只是一小部分．盡管（不完全）歸納法有這樣的缺陷，但當時的人們能夠通過（不完全）歸納發(fā)現很多數學理論，這已經是相當難得的了． 慢慢地，古希臘人終于建立起了自己的文明，古希臘的歷史也進入了“古風時代”．另一方面，前來埃及和巴比倫學習數學的人也日益增多．在不知學習了多少實驗幾何學之后，愛辯論、愛較真的希臘人終于發(fā)現了實驗幾何學的這兩個缺陷，盡管我們并不確定希臘人是在什么時候以什么方式發(fā)現的．我們可以腦洞大開地想象，也許故事就是在這樣一次辯論之中發(fā)生的：【故事一】一天，古希臘人老王興沖沖地把老李叫到他家（請原諒我杜撰的兩個名字），開心地說：“老李老李，我做了一件偉大得不得了的事情！我精確無比地繪制了一百種不同的三角形，然后對它們進行了精確無比的測量， 你猜我發(fā)現了什么？我發(fā)現所有三角形的內角和都是 . 你看我家院子的地上，全是我畫的圖．”于是老李來到庭院，在仔細看過一百個三角形后，若有所思地說：“ 可是無論你檢查了多少個三角形，我總可以再畫一個你沒檢查過的三角形吧！你的結論只是對你檢查過的三角形成立，你怎么能保證我所畫的這個新的三角形滿足你的結論呢？”這番話讓老王啞口無言，他陷入了沉思中……
也許這樣的戲碼不斷在古希臘上演，人們終于意識到實驗幾何還真是不靠譜．也許【故事一】中的老王經過幾番深思熟慮之后，終于想到了說服老李的方法，可能當時的情境是這樣的：【故事二】在經歷了與老李的那次辯論后，老王認真地思考了一個月，這一天，他親自來到老李家，他決心一定要說服老李．他說：“老李，你承認不承認下面三個事情：
· 過直線外一點有且僅有一條直線與已知直線平行；
· 一條直線交一對平行線，所成的同位角相等；
· 一條直線交一對平行線，所成的內錯角相等．”老李想了一下，似乎這三件事情都是難以撼動的真理，于是點了點頭．老王接著說，既然你承認這三個事情，那么剩下的事情就好辦了．你看，考慮一個三角形 ．延長 到某點 ，然后過點 作 （如圖 1.1）．那么 并且 ，所以 我們腦補的故事也許真的發(fā)生過．按照古希臘人后來的說法，可能在公元前五世紀前后（實際時間應該大大晚于此時），有一些古希臘數學家針對實驗幾何的弊端，提出這樣一種探究問題的模式：對于所要論證的命題，
· 先確定幾個“不證自明”的設定，或已知正確的命題；
· 再使用這些設定和正確的命題，通過邏輯推理，論證所研究的命題．
那么，在邏輯推理過程正確的前提下，你只要承認了最初的幾個設定，那么 你就不得不承認這個命題是正確的．于是，實驗幾何過渡到了推理幾何，前述推 理過程被稱為數學證明． 這種以少數幾個設定為論證的出發(fā)點，通過邏輯推理論證命題的思維方法， 與之前提到的（不完全）歸納法是截然不同的，我們一般稱之為演繹法．其實， 演繹與（不完全）歸納，各有所長，不可偏廢．沒有（不完全）歸納，演繹就失去了進攻的目標；沒有演繹，歸納不過是合理的猜度．所以，在數學學習和研究中，往往是以歸納尋靶，以演繹論真．當然，我們書寫出的數學證明必須是演繹的，否則無從求真． 按照某些古希臘人的說法，第一個進行數學證明的人是泰勒斯．他是一個生活在傳說中的人，我們對于他知之甚少．實際上，很多關于他的故事并不可信， 所以我們不可能知道他寫過什么樣的數學證明．而緊隨其后的就是大名鼎鼎的畢達哥拉斯．畢達哥拉斯更是一個奇人．他創(chuàng)立了一個秘密宗教，這個秘密宗教幾乎不與外界接觸，但是后來教團解體，教團成員四散古希臘各地，我們今天才能對這個秘密宗教了解一二．這個宗教最令人難以置信的是，它并不崇拜任何神靈，他們所頂禮膜拜的竟然是自然數．我們不妨就稱它為“Number 教”吧！Number 教所信奉的第一教義就是：萬物皆數！ 這個學派相信這個世界的一切都由數決定，并可以由數解釋．據說我們故事二中的證明就來自他們．但是究竟哪些成果應該歸功于教主畢達哥拉斯，哪些成果其實是他的徒子徒孫的，我們不得而知．畢達哥拉斯的弟子們和再傳弟子們總是將很多成果歸功于畢達哥拉斯，但我們并不知道是否真的是這樣． 但無論怎樣，在現在的西方世界，他們把勾股定理的證明歸功于畢達哥拉斯， 并稱之為畢達哥斯拉定理．即使這個定理真的是畢達哥拉斯證明的，我們現在也無從知曉他的證明了，我們只能推測：他很可能使用了相似三角形．因為有明顯的證據表明：畢達哥拉斯學派是懂得相似多邊形的．因為 Number 教的信仰中， 有一個無法割舍的東西：黃金分割．這從 Number 教的標志就可見一斑，它的標志是一個正五邊形內接一個正五角星（如圖 1.2），這個圖案里就蘊含著黃金分割．
在畢達哥拉斯學派正在野蠻生長的時候，古希臘世界卻在醞釀一場革命：雅典的平民推翻了暴君的統(tǒng)治，隨后雅典逐步開始建立奴隸制民主政體，古希臘的歷史進入了“古典時代”，隨后這場風暴幾乎席卷了古希臘世界各地．偏偏這個時候，畢達哥拉斯學派卷入政治事件中，于是 Number 教的教團不得不解體，畢達哥拉斯也在不久去世，他的門徒們四散古希臘各地．但 Number 教的末日卻意外地推動了古希臘數學的發(fā)展．伴著畢達哥拉斯門徒的步伐，原來隱秘的推理幾何也隨之在希臘各地發(fā)展起來，數學證明這把大火也隨之在古希臘世界熊熊燃燒起來． 當然，現代數學史家對泰勒斯和畢達哥拉斯是否已經開始演繹推理是持保留 看法的．因為泰勒斯和畢達哥拉斯的故事大部分都來自于柏拉圖學園學者的著述．而柏拉圖學園興起的時代要晚于畢達哥拉斯的時代，而且柏拉圖學園又明顯受到畢達哥拉斯學派的重大影響，所以那些著述也許只是傳說． 但無論如何，畢達哥拉斯學派晚期的成員肯定是懂得推理證明的，他們很多人同時也是柏拉圖學園的早期成員．那么，“柏拉圖學園”又是怎么回事呢？它是一所學術機構，位于雅典城外西北角的 Akademy，你可以把它類比于現在的大學，其創(chuàng)始人是著名哲學家柏拉圖，學園的門口掛著一塊牌子，赫然寫著：“不懂幾何者不得入內！”1.2 不懂幾何者不得入內！柏拉圖是雅典人．在他出生時，雅典城邦經歷了希波戰(zhàn)爭的輝煌勝利，城邦空前繁榮，但不久便開始與斯巴達展開爭霸．到柏拉圖成年后，雅典終于在伯羅奔尼撒戰(zhàn)爭中慘敗，之后柏拉圖的老師蘇格拉底又死于暴民的審判．隨后柏拉圖對仕途心灰意冷，開始周游列國．在意大利，他受到畢達哥拉斯學派后期學者阿基塔斯的指點，開始研習數學．公元前 387 年，柏拉圖返回雅典，在雅典城外西北角的 Akademy，開宗立派招收門徒，建立了學園，后人稱之為“雅典學園”或“柏拉圖學園”，其學派也被稱為 柏拉圖學派．柏拉圖認為演繹推理具有無比的重要性，他認為“科學的任務是發(fā)現（理想）自然界的結構，并把它在演繹系統(tǒng)里表述出來”（莫里斯·克萊因. 《古今數學思想》）．柏拉圖是最早將嚴密的演繹推理系統(tǒng)化的人．至少在柏拉圖時代，古希臘的數學家已經形成了一種共識：真正的幾何應該置于演繹推理之下！在六十多歲時，柏拉圖為了專心著書立說，離開了學園的領導崗位，將之 授予好友歐多克索斯．歐多克索斯有兩個最著名的成就：一是窮竭法，他的窮竭法已經與我們現代數學分析中極限思想（ 語言）十分接近了，但這并不是我們所討論的主題（也許以后可以寫一本關于數學分析的筆記）；歐多克索斯第二個著名的成就就是比例論.要說清楚比例論，那我們就不得不解釋一下什么是可公度量、什么是不可公度量： · 考慮兩條線段 和 ，如果 恰好可以被分成 個 ，那么就說 可以用 來度量，也說 是 的度量單位；
· 考慮兩條線段 和 ，如果存在線段 ，使得 既是 的度量單位又是 的度量單位，那么就說 是 和 的公共度量單位，并且稱 和 是可公度線段，否則稱為不可公度線段．回顧一下我們上一節(jié)所說的畢達哥拉斯學派，它的首要教義就是：萬物皆數． 這里的“數”指的是自然數，也就是正整數．所以畢達哥拉斯學派天然地認為， 不可公度線段是不存在的．但是，據說畢達哥拉斯的一個學生發(fā)現了古怪．他說：考慮正方形 ，其中 分別是四邊的中點，連接 和 交于 ，如圖 1.3 所示．那么 和 應該是不可公度的．這是因為：假設它們是可公度的，取其最大的公共度量單位 ，那么二者都可以表示成 的倍數，設 和 ，那么 與 必有其一是奇數（否則 是更大的公共度量單位）．進一步考慮兩個正方形 和 的面積之比，顯然是 ．所以， 是偶數， 是奇數，但是這將導致面積之比至多為 ， 矛盾．
不幸的是，據說為了掩人耳目，這位學生被學派里的其他人謀殺了．但是隨著畢達哥拉斯秘密教團的覆滅，“不可公度線段的存在性”廣為流傳．這引起了古希臘數學界的恐慌：畢竟有些結論是在假定只存在可公度線段的前提下被“證明”的．后來的數學史學者稱之為“第一次數學危機”（真有這么嚇人嘛……）．事實上，我們用現代數學的語言解釋可能會更直接一些，所謂可公度線段就是長度之比為有理數的線段．可公度和不可公度的爭論，本質上就是要不要引入 無理數而已．歐多克索斯的處理方式是用演繹推理建立了比例理論，從而繞開了無理數（當然這也導致歐洲數學家直到文藝復興時期也不承認無理數的地位）．對于雅典學園，可能最令人稱道的還是那塊寫著“不懂幾何者不得入內”的牌子．據說這塊牌子還與另一個雅典人有關，他叫：歐幾里得！
(第一章完, 下一章 - 偉大的體系:《幾何原本》)
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