第一部分  函數性質總論

一、函數關系新論

1           函數涉及的數學量：自變量（通常以x表示）、因變量（通常以y表示）、參數（通常以a等表示）

2           函數關系的互換性

⑴  x與y調換：

在一一對應情況下，與原函數互為反函數。關于y=x線對稱。

⑵  x與a調換：

在只有一個參數a，且x定義域為實數集時，可將a視為自變量，建立新函數，x作為新參數。a取值范圍化作y=f(a)函數的定義域求解。此法可用來解決相當一類參數取值范圍問題。

3           恒正式的概念

所謂恒正式是恒大于等于0的式子，它們的體現方式如下：

ⅰ  完全平方式  ⅱ 平方根式  ⅲ  絕對值式  ⅳ 指數式  ⅴ  題設條件。

實際解題中通過適當的配方可以得到恒正式，以上體現方式可以并存。

4   恒正多項式。由多個恒正式組成的多項式

（1）恒正多項式之和必然恒大于等于0。用于判定單調性

（2）恒正多項式之和等于0時，必然每個多項式為0。用于求零點

（3）部分使用時可用于求極值。

二、函數性質分類

1           有界性：定義域、值域、取值范圍

2           判斷性：單調性、奇偶性、對稱性

3           存在性：特殊值

4           可重復性 周期性。因為周期性比較特殊，不易納入本體系，故本文不研究周期性。

三、函數各類別含義及關系

1   有界性：任何函數理論上都是一個平面圖像，無論人們是否可以畫出，它是客觀存在的，而這個平面圖像一定是有邊界的，定義域和值域就共同構成函數或函數圖像的邊界。這兩者決定了研究目標所必須在的范圍。具體體現有以下幾個特點：

ⅰ  形成不可逾越的總邊界，一切研究都要在邊界內進行，反映在解題中，要時刻驗證這一點。

ⅱ  作為各種不同內部性質之間的邊界，稱為子邊界，子邊界必在總邊界之內，且子邊界內恒有某種內部性質。

ⅲ  邊界的形成有三個渠道：一是自然的要求，即使式子有意義，如分母不為0，此部分對應于特定表達式；二是人為的要求，如題設x>0，對應于題目表述；三是導出的形成，即前述的子邊界。實際解題時一定要3方面都考慮到，才不至于遺漏。

ⅳ  邊界的數學表現形式有：（1）集合（2）區(qū)間（3）不等式（4）圖像

2           判斷性：邊界內部某個區(qū)域圖像所具有的規(guī)律，它有以下特點：

ⅰ  它們是在總邊界內部，即必然限定在總的邊界之內。

ⅱ  它們都是點與點的函數值的關系，判斷的依據都是函數值f(x),而且是特殊關系。

ⅲ  這些內部性質只適合于相應的子邊界，一旦超出，則不能成立。

ⅳ  某些時候，函數整體都遵循同一規(guī)律，這時只要受總邊界限制

3           存在性：在有界的平面圖像內，可能存在一些比較特殊的點，類似于城市中的標志性建筑。也起到指引地標的作用。之所以稱其為存在性性質，是因為首先要判斷它是否存在，其次如果存在，它在哪個位置，即點坐標。在子邊界中，特殊點必與內部性質發(fā)生關系，可研究各種內部性質的特殊點情況。

第二部分  各類性質分析

第一類  定義域、值域、子邊界

1           說明：定義域是自變量的邊界，值域是函數值的邊界。

2           地位：兩者共同構成邊界，是內部性質研究和特殊點研究的基礎和限制。

3           判定方法：依據邊界的三個形成渠道

4           內部關系：通過函數對應關系相互制約，當互為反函數時，定義域、值域對換。

5           表現方式：雖然邊界有多種表現形式，但此處一般用區(qū)間。

6           域寬：衡量域大小的量，是兩個邊界之間的距離，形式是x₂-x₁、y₂-y₁

7           規(guī)定：為敘述方便，定義域、值域指總邊界，子邊界用相應的區(qū)間描述。

第二類  判斷性

一、單調性

1   定義：子邊界滿足的關于大小變化的一個內部性質。

2   含義：子邊界內，函數值大小只有一種變化規(guī)律，要么增大要么減小。由于大小排序分

正序和倒序兩種形式，結果可能會不同，因此一定要注意是隨著自變量值增大來排序。

3   判斷：分兩個層面

第一個層面：是否只有一種變化，即是否具有單調性。

第二個層面：在上述基礎上，確定是單調增還是單調減。

4   單調區(qū)間：單調性是局部性質，是由子邊界限制，要闡述單調性，必須指明單調區(qū)間，它容許定義域內其它非單調性的存在，只要我們把它分離開即可。理論上講，任意一個函數，總能有一些單調區(qū)間，只不過是不是我們需要的罷了。

5   實際中的單調性判定

ⅰ 定義法：作差法。適用于一些較易配方尤其是二次函數。

ⅱ 圖像法：曲線只有一種發(fā)展趨勢，左低右高為單調增，反之為單調減。適合于已經有圖像的或易畫出圖像的。

ⅲ  利用基本初等函數，通過一些結論，得出單調性。

6  一些單調性的結論（以基本函數舉例,以f(x)表示原基本函數）

①  分式：在分式有意義的情況下，單調性反向。

②  根式：在根式有意義的情況下，單調性不變。

③  關于式子意義的問題，其實不用記，只要定義域考慮了三種渠道，就不會錯誤。

④  反函數：單調性不變

⑤  f(x)+c(常數)：相當于圖像平移，單調性不變。

⑥  kf(x):  k>0，單調性不變，k<0，相當于正數和負數對換，單調性反向。

⑦  復合函數：復合的多個層級的函數若都具有單調性，則復合函數具有單調性。至于方向書上說同增異減。實際上，將增、減分別類比為正負，其規(guī)則與乘法的符號法則完全相同。

⑧  相加：必須是同性函數，即都為增，或都為減，結果不變。

⑨  相乘：必須是同性函數，兩者都恒大于0，單調性不變；兩者都恒小于0，單調性反向

⑩  常用的單調增函數：一次函數、指數函數、冪函數、對數函數

二、對稱性

1  實質：以第三方作為中介，反映兩個函數的平衡關系。這個中介可以是對稱點（點）也可以是對稱軸（線）

2  對稱形式

ⅰ  軸對稱  函數圖像沿一直線對折，圖像能夠完全重疊。這條直線稱為對稱軸。

ⅱ  中心對稱  函數圖像沿一個點旋轉180度，圖像能完全重疊。這個點稱為中心點

3  對稱軸可以是任意一條直線，以方程形式體現，中心點一般為坐標原點。

4  利用對稱性質可以推出另一半圖像

常用函數對稱軸

⑴  常數函數：既是軸對稱又是中心對稱，其中直線上的所有點均為它的對稱中心，與該直線相垂直的直線均為它的對稱軸。

⑵  一次函數：既是軸對稱又是中心對稱，其中直線上的所有點均為它的對稱中心，與該直線相垂直的直線均為它的對稱軸。

⑶  二次函數：是軸對稱，不是中心對稱，其對稱軸方程為x=-b/(2a)。

⑷  反比例函數：既是軸對稱又是中心對稱，其中原點為它的對稱中心，y=x與y=-x均為它的對稱軸。

⑸  指數函數：既不是軸對稱，也不是中心對稱。

⑹  對數函數：既不是軸對稱，也不是中心對稱。

⑺  冪函數：顯然冪函數中的奇函數是中心對稱，對稱中心是原點；冪函數中的偶函數是軸對稱，對稱軸是y軸；而其他的冪函數不具備對稱性。

⑻  正弦函數：既是軸對稱又是中心對稱，其中（kπ，0）是它的對稱中心，x=kπ+π/2是它的對稱軸。

⑼  正弦型函數：正弦型函數y=Asin(ωx+φ)既是軸對稱又是中心對稱，只需從ωx+φ=kπ中解出x，就是它的對稱中心的橫坐標，縱坐標當然為零；只需從ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的對稱軸；需要注意的是如果圖像向上向下平移，對稱軸不會改變，但對稱中心的縱坐標會跟著變化。

⑽  余弦函數：既是軸對稱又是中心對稱，其中x=kπ是它的對稱軸，（kπ+π/2，0）是它的對稱中心。

⑾  正切函數：不是軸對稱，但是是中心對稱，其中（kπ/2，0）是它的對稱中心，容易犯錯誤的是可能有的同學會誤以為對稱中心只是（kπ,0）。

⑿  對號函數：對號函數y=x+a/x(其中a>0)因為是奇函數所以是中心對稱，原點是它的對稱中心。但容易犯錯誤的是同學們可能誤以為最值處是它的對稱軸，例如在處理函數y=x+1/x時誤以為會有f0.5)=f(1.5)，我在教學時總是問學生：你可看見過老師將“√”兩邊畫得一樣齊？學生們立刻明白并記憶深刻。

⒀  三次函數：顯然三次函數中的奇函數是中心對稱，對稱中心是原點，而其他的三次函數是否具備對稱性得因題而異。

⒁  絕對值函數：這里主要說的是y=f(│x│)和y=│f(x)│兩類。前者顯然是偶函數，它會關于y軸對稱;后者是把x軸下方的圖像對稱到x軸的上方，是否仍然具備對稱性，這也沒有一定的結論，例如y=│lnx│就沒有對稱性，而y=│sinx│卻仍然是軸對稱。

三、奇偶性

1   實質：反映函數正負轉換，為單調性變向提供依據。

2   定義：奇函數：-f(x)= f(-x) 或f(x)=-f(-x) 后者只需變動一項，建議記后者。

          偶函數：f(x)= f(-x)

    由上可以看出，奇點和偶點的位置關于x軸對稱，但除非在原點，否則不同時出現。

3   表現形式：ⅰ奇函數，ⅱ 偶函數 ⅲ 非奇非偶  ⅳ 既奇既偶。

4   判定方法：奇函數：f(x)+f(-x)=0  圖像中關于原點對稱

偶函數f(x)-f(-x)=0，圖像中關于y軸對稱。

5  幾個結論

ⅰ  奇函數必過圓點f(0)=0

ⅱ  f(x)與k f(x) 奇偶性相同

ⅲ  f(x)與1/ f(x) 奇偶性相同

ⅳ  f(x)=0既奇既偶，但似乎沒有什么使用價值，知道一下就行了。

ⅴ  復合函數奇偶性：書上的不好記，其實只要有一個是偶函數，另一個不是非奇非偶，結果就一定是偶函數。否則就都為奇函數，結果也為奇函數。

四、三個性質之間的關系

1   奇偶性與對稱性的關系

ⅰ  奇函數是一種關于原點的中心對稱。偶函數是關于y軸的軸對稱。它們具有互證關系。

ⅱ  奇偶性雖然與對稱性實質相同，但研究角度不同。對稱性是兩個函數分別與對稱軸或中心點的關系，使用了中間媒介，而奇偶性是兩個函數直接的聯系。當然是由于中間媒介的特殊性導出的。

ⅲ  對稱性是特殊到一般，圖像從點、線到面，即點與點之間的對稱、線與線之間的對稱，面與面之間的對稱，幾種形式都存在，組成圖像的所有點線面都對稱，則整個函數具有了對稱性。單獨的點與點之間的對稱稱為局部對稱。對稱性允許局部對稱。

奇偶性是從一般到特殊，它首先要求函數必須全部滿足對稱，根據其對稱規(guī)則或稱配

對原則，建立每兩點之間的關系。不允許局部對稱。

局部對稱屬于對稱性，雖不滿足奇偶性，但如果是與原點或y軸相關，完全可以參照

函數值關系，注意只適合這兩個點。

2   奇偶性與單調性的關系   

ⅰ  奇函數有相同的單調性。

ⅱ  偶函數有相反的單調性。

3   對稱性與單調性的關系

無直接聯系。

第三類  特殊值

一、定點

1   含義：在一個函數關系中，無論參數在取值范圍內如何變化，都必須經過同一個點。

2   求法：首先根據基本函數性質和題設確定定點的存在性。然后因為要求恒成立，只要把參數設成特殊值，就可以求出定點坐標。

3   作用：定點是參數變化中的函數之間的唯一聯系，是函數變化圍繞的中心點，利用定點可以確定參數取值范圍。

4   所有指數函數過定點（0,1），所有對數函數過定點（1,0）

二、零點

1   含義：y=0的點、圖像中是x軸上的點。延伸含義：方程的解

2   求法：根據圖像法判斷有無零點以及個數，即存在性判斷。其次再用解方程求出坐標值。尤其要使用恒正多項式。

3   作用：求不等式解集、判斷方程解的有無與個數。

三、最大值、最小值

1   含義  函數值在某個區(qū)間內的最大值、最小值

2   求法  ⅰ  利用單調性  ⅱ 利用導數

3   作用  解決各類最值問題

四、交點

1   含義  指兩個以上函數，它們某點x、y均相等，這個點在圖像中是個交匯點。

2   求法  根據圖像法判斷有無交點及交點個數，解聯立方程組。

3   作用  解決同時滿足兩個條件的問題。

五、四個點的關系

1  定點與交點。

定點相當于參數變化的函數共同的交點，如果給出兩個位置狀態(tài)，同樣可以使用交點解

方程的方法求定點坐標。

2  零點與交點

   零點是函數與x軸的交點，即函數與y=0函數的交點。

3  零點與定點

   有時候定點就是零點，如對數函數的定點。

4  以上三點對最值的影響

   往往是最值的轉折點。

第三部分 各部分之間性質關系

一、定義域、值域對判斷型性質的影響。

1   總邊界的影響：

所有判斷型性質必須在函數總的定義域和值域劃定的范圍中。一般前期是定義域，后期

用值域檢驗。

2  子邊界的影響——區(qū)間

（1）奇偶性

前面說過，奇偶性是從一般到特殊，它必須建立在所有點都具備此性質的基礎上，因此它具有全域性，即在定義域范圍來判定。各子邊界必然遵循全域的性質。此性質在函數中具有統(tǒng)一性，不存在奇偶區(qū)間的說法。但有時為了研究的需要，人為劃出一個區(qū)間，以與研究目標匹配，相當于選取一段具體的圖像，由于兩者有關系，選取時要平衡選取。類比按比例放大圖像，如果只延長一條邊，形狀肯定發(fā)生變化。根據前面所說，奇點和偶點關于x對稱，對應的x值都為-x，要使新區(qū)間每個點都滿足，則要求定義域對稱，即（-a，a）。此結論不能用來判定奇偶性，但可以檢驗區(qū)間劃分的合理性。

（2） 對稱性

理論上講，如果沒有任何限制，任何圖像都可以找到軸對稱和中心對稱關系，只是當我們用邊界加以限制時，這種對稱關系是否落在范圍之內就是問題。對稱性因為允許局部對稱，并支持分段研究，區(qū)間劃分非常靈活，一般某一段圖像是對稱的，就把它截取出來，這段曲線對應的x、y值取值范圍應該稱為對稱區(qū)間。對稱區(qū)間雖然客觀上是存在的，但區(qū)間值實際意義并不大，只起限定研究范圍的作用。一般無需討論對稱區(qū)間。

（3） 單調性

單調性與對稱性相似，都屬于局部性質。即都有自己的區(qū)間。但單調區(qū)間值非常重要，它要參與求最值。應該說單調性就是為求最值而生的，它通過函數的頂點和單調區(qū)間得出最值。因此一般描述單調性的同時要注明單調區(qū)間。

二、定義域、值域對特殊點的影響

1   定點：如果有定點，其x值必在定義域、值域內。

2   零點、交點：需要判斷在定義域內是否存在。

3   最值：有影響的主要是值域，最值不能超過值域。

三、最值的解法

1   函數頂點（對于全域函數）

    圖像自然的頂點、單調性改變的點（圖示法）；解函數式得到的最值（配方法）、

2   單調區(qū)間（對于局域函數）

對二次函數，建議采用配方法，對非二次函數，推薦使用導數法