基本行程問題

行程問題的三個基本量是路程、速度和時間。

（1）相遇問題分類：

（1）相向而行：相遇時間=距離÷速度和

（2）相背而行：相背距離=速度和×?xí)r間。

（3）同向而行：速度慢的在前，快的在后。

追及時間=追及距離÷速度差 在環(huán)形跑道上，速度快的在前，慢的在后。

追及距離=速度差×?xí)r間。

相遇問題

行程問題是研究相向運(yùn)動中的速度、時間和路程三者之間關(guān)系的問題，（ 涉及兩個或兩個以上物體運(yùn)動的問題）指兩個運(yùn)動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇，這類應(yīng)用題叫做相遇問題。

數(shù)量關(guān)系：路程 ÷ 速度和 ＝ 相遇時間

路程 ÷ 相遇時間 ＝ 速度和

速度和 × 相遇時間 ＝ 路程

解題秘訣：

（1）必須弄清物體運(yùn)動的具體情況，運(yùn)動方向（相向），出發(fā)地點(diǎn)（兩地），出發(fā)時間（同時、先后），運(yùn)動路徑（封閉、不封閉），運(yùn)動結(jié)果（相遇）等。

（2）要充分運(yùn)用圖示、列表等方法，正確反映出數(shù)量之間的關(guān)系，幫助我們理解題意，迅速的找到解題思路。

追及問題

追及問題也是行程問題中的一種情況。這類應(yīng)用題的特點(diǎn)是：

①兩個物體同時同一方向運(yùn)動；

②出發(fā)的地點(diǎn)不同（或從同一地點(diǎn)不同時出發(fā)，向同一方向運(yùn)動）；

追及路程=路程差=兩個物體之間相距的路程 追及速度=速度差=快的速度-慢的速度

慢的物體追上快的物體的所用的時間為追及時間

③慢者在前，快者在后，因而快者離慢者越來越近，最后終于可以追上。

相關(guān)的關(guān)系式：

追及路程=速度差×追及時間

速度差=追及路程÷追及時間

追及時間=追及路程÷速度差

相遇追及綜合

1.公式及公式變形

萬年不變的基本行程公式 ：S（路程）=V（速度）×T（時間）

相遇下的變形：路程和=速度和×相遇時間

追及下的變形：路程差=速度差×追及時間

2.單位的統(tǒng)一和判斷

“米/秒”可以寫成“m/s”但不要寫成“m/秒”

利用公式可以判斷單位的寫法：v=s÷t；所以速度的單位就是 米÷秒，

同向，相向（背向）分別是判斷追及和相遇的關(guān)鍵信息。千萬不要盲目的看到“幾小時后兩人相遇”就認(rèn)定這是相遇問題！

4.數(shù)形結(jié)合

顧名思義：數(shù)字與圖形相結(jié)合的思想，因此，行程問題，一定離不開畫圖。而圖的畫法，將會在之后的多人行程中有更加明顯的體現(xiàn)。

5.一題多解

在最開始接觸相遇和追及的時候，我們就會發(fā)現(xiàn)，一旦出現(xiàn)“問：幾小時后，相距XX千米”這樣的句子，答案總是會有兩種可能。

這就一定要求同學(xué)們對題目考慮要足夠嚴(yán)密；換言之，同學(xué)們一定要注意行程問題當(dāng)中的多解情況。

那么，除了上面的多解情況，還會有哪些呢？例如：在環(huán)形跑道上不說明方向的相遇和追及問題。

6.方程思想

方程，我們已經(jīng)不再陌生，但是，仍然有些抗拒。不過沒關(guān)系，熟能生巧。這個是我們必須攻克的難關(guān)。為什么呢？因?yàn)榈搅烁吣昙?，我們逐漸發(fā)現(xiàn)，學(xué)會了方程，就相當(dāng)于學(xué)會了應(yīng)用題。因?yàn)閹缀跛械膽?yīng)用題，都可以通過列方程求解輕松攻克。行程這個難題，也不例外。所以，我們要從現(xiàn)在開始，嘗試用方程的方法來解決一些看上去“很難”的行程問題。

多人相遇和追及問題

多人相遇追及問題，即在同一直線上，3個或3個以上的對象之間的相遇追及問題。

所有行程問題都是圍繞“ ?”這一條基本關(guān)系式展開的，比如我們遇到的兩大典型行程題相遇問題和追及問題的本質(zhì)也是這三個量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化．由此還可以得到如下兩條關(guān)系式：

多人相遇與追及問題雖然較復(fù)雜，但只要抓住這兩條公式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問題即可迎刃而解。

多次相遇和追及問題

一、由簡單行程問題拓展出的多次相遇問題

所有行程問題都是圍繞“ ? ”這一條基本關(guān)系式展開的，多人相遇與追及問題雖然較復(fù)雜，但只要抓住這個公式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問題即可迎刃而解。

二、多次相遇與全程的關(guān)系

1. 兩地相向出發(fā)：

第1次相遇，共走1個全程；

第2次相遇，共走3個全程；

第3次相遇，共走5個全程；

…………， ………………；

第N次相遇，共走2N-1個全程；

注意：除了第1次，剩下的次與次之間都是2個全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。

2. 同地同向出發(fā)：

第1次相遇，共走2個全程；

第2次相遇，共走4個全程；

第3次相遇，共走6個全程；

…………， ………………；

第N次相遇，共走2N個全程；

3、多人多次相遇追及的解題關(guān)鍵

多次相遇追及的解題關(guān)鍵 幾個全程

多人相遇追及的解題關(guān)鍵 路程差

三、解多次相遇問題的工具——柳卡

柳卡圖，不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時間-距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求數(shù)交點(diǎn)個數(shù)即可完成。折線示意圖往往能夠清晰的體現(xiàn)運(yùn)動過程中“相遇的次數(shù)”，“相遇的地點(diǎn)”，以及“由相遇的地點(diǎn)求出全程”，使用折線示意圖法一般需要我們知道每個物體走完一個全程時所用的時間是多少。如果不畫圖，單憑想象似乎對于像我這樣的一般人兒來說不容易。

火車行程問題

有關(guān)火車過橋、火車過隧道、兩列火車車頭相遇到車尾相離等問題，也是一種行程問題。在考慮速度、時間和路程三種數(shù)量關(guān)系時，必須考慮到火車本身的長度。如果有些問題不容易一下子看出運(yùn)動過程中的數(shù)量關(guān)系，可以利用作圖或演示的方法來幫助解題。

解答火車行程問題可記住以下幾點(diǎn)：

1、火車過橋（或隧道）所用的時間=[橋（隧道長）＋火車車長]÷火車的速度；

2、兩列火車相向而行，從相遇到相離所用的時間=兩火車車身長度和÷兩車速度和；

3、兩車同向而行，快車從追上到超過慢車所用的時間=兩車車身長度和÷兩車速度差。

火車行程及過橋問題：

（1）確定兩列火車追及路程分三種情況：

①車頭遇上車尾：兩列火車間的距離

②車頭追上車頭：兩列火車間距離+被追列車長

③車尾追上車尾：兩列火車間距離+追及列車車長

（2）確定兩列火車相遇路程分三種情況：

①車頭遇上車頭：兩列火車間距離

②車頭遇到車尾：兩列火車間距離+其中一列火車長

③車尾遇見車尾：兩列火車間距離+兩列火車長

（3）火車過橋行駛的總路程是火車車身長與橋長之和，數(shù)量關(guān)系：

（列車長+橋長）÷列車速度=通過時間，

（橋長+車長）÷速度=時間，

（橋長+車長）÷時間=速度，

速度×?xí)r間=橋長+車長

流水行程問題

流水問題是研究船在流水中的行程問題，因此，又叫行船問題。在小學(xué)數(shù)學(xué)中涉及到的題目，一般是勻速運(yùn)動的問題。這類問題的主要特點(diǎn)是，水速在船逆行和順行中的作用不同。

流水問題有如下兩個基本公式：

順?biāo)俣?船速+水速（1）

逆水速度=船速-水速（2）

這里，順?biāo)俣仁侵复標(biāo)叫袝r單位時間里所行的路程；船速是指船本身的速度，也就是船在靜水中單位時間里所行的路程；水速是指水在單位時間里流過的路程。

公式（1）表明，船順?biāo)叫袝r的速度等于它在靜水中的速度與水流速度之和。這是因?yàn)轫標(biāo)畷r，船一方面按自己在靜水中的速度在水面上行進(jìn)，同時這艘船又在按著水的流動速度前進(jìn)，因此船相對地面的實(shí)際速度等于船速與水速之和。

公式（2）表明，船逆水航行時的速度等于船在靜水中的速度與水流速度之差。

根據(jù)加減互為逆運(yùn)算的原理，由公式（1）可得：

水速=順?biāo)俣?船速（3）

船速=順?biāo)俣?水速（4）

由公式（2）可得：

水速=船速-逆水速度（5）

船速=逆水速度+水速（6）

這就是說，只要知道了船在靜水中的速度、船的實(shí)際速度和水速這三者中的任意兩個，就可以求出第三個。另外，已知某船的逆水速度和順?biāo)俣龋€可以求出船速和水速。因?yàn)轫標(biāo)俣染褪谴倥c水速之和，逆水速度就是船速與水速之差，根據(jù)和差問題的算法，可知：

船速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2 （7）

水速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2 （8）

扶梯問題

扶梯問題類似流水行船問題，只不過扶梯問題中的距離一般表示為扶梯的級數(shù)，速度也是用級數(shù)/時間來表示，其實(shí)質(zhì)是完全一樣的。

基本公式：

走過的總級數(shù)= 行走速度×行走時間

同向：走過的總級數(shù)=靜止時能看到的級數(shù) - 扶梯運(yùn)動縮進(jìn)的級數(shù)

逆向：走過的總級數(shù)=靜止時能看到的級數(shù) + 扶梯運(yùn)動伸長的級數(shù)

學(xué)習(xí)要領(lǐng)

完全搞懂上面上個公式，知道人走過的級數(shù)跟扶梯的運(yùn)動與否和速度無關(guān)，就是人的速度乘以行走的時間；

搞清楚人走過的級數(shù)等于扶梯靜止時的級數(shù)加上因?yàn)榉鎏葸\(yùn)動而伸長或縮短的級數(shù)，而扶梯伸長或縮短的級數(shù)等于扶梯速度乘以行走時間；

環(huán)形跑道

環(huán)形跑道問題，從同一地點(diǎn)出發(fā)，如果是相向而行，則每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，則每追上一圈相遇一次．這個等量關(guān)系往往成為我們解決問題的關(guān)鍵。

環(huán)形跑道：

同相向而行的等量關(guān)系：乙程-甲程=跑道長,

背向而行的等量關(guān)系：乙程+甲程=跑道長。

環(huán)線型

同一出發(fā)點(diǎn) 直徑兩端

同向：路程差 nS nS+0.5S

相對(反向)：路程和 nS nS-0.5S

平均速度

平均速度=總路程÷總時間

總路程=平均速度×總時間

總時間=總路程÷平均速度

發(fā)車間隔

間隔發(fā)車問題，只靠空間理想象解稍顯困難，證明過程對快速解題沒有幫助，但是一旦掌握了3個基本方法，一般問題都可以迎刃而解。

在班車?yán)铩戳▎栴}

不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時間——距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求數(shù)交點(diǎn)個數(shù)即可完成。如果不畫圖，單憑想象似乎對于像我這樣的一般人兒來說不容易。

在班車外——聯(lián)立3個基本公式好使

（1）汽車間距=（汽車速度+行人速度）×相遇事件時間間隔

（2）汽車間距=（汽車速度-行人速度）×追及事件時間間隔

（3）汽車間距=汽車速度×汽車發(fā)車時間間隔

綜上總結(jié)發(fā)車問題可以總結(jié)為如下技巧

（1）、一般間隔發(fā)車問題。用3個公式迅速作答；

（2）、求到達(dá)目的地后相遇和追及的公共汽車的輛數(shù)。

標(biāo)準(zhǔn)方法是：畫圖——盡可能多的列3個好使公式——結(jié)合s全程＝v×t-結(jié)合植樹問題數(shù)數(shù)。

（3） 當(dāng)出現(xiàn)多次相遇和追及問題——柳卡