π 是數(shù)學(xué)中最著名的數(shù)。 忘記自然界中所有其他常數(shù)也不會忘記它， π 總是出現(xiàn)在名單中的第一個位置。如果數(shù)字也有奧斯卡獎， 那么π  肯定每年都會得獎。

π 或 pi， 是圓周的周長和它的直徑的比值。它的值，也就是這兩個長度之間的比值，不取決于圓周的大小。無論圓周是大是小，π 的值都是恒定不變的。 π 產(chǎn)生于圓周中，但是在數(shù)學(xué)中，它卻無處不在，甚至涉及那些和圓周毫不相關(guān)的地方。

錫拉庫扎的阿基米德

人們在古時候就對圓周周長和直徑的比值產(chǎn)生了濃厚的興趣，在公元前2000年左右，巴比倫人發(fā)現(xiàn)了周長大約是直徑的三倍。

關(guān)于 π 的數(shù)學(xué)理論，真正開始于錫拉庫扎的阿基米德，大約在公元前225年左右，阿基米德就是在那里完成他偉大的創(chuàng)舉的。數(shù)學(xué)家們喜歡評價同行的等級，他們認(rèn)為阿基米德可以與卡爾·弗里德里?！じ咚梗〝?shù)學(xué)王子）和艾薩克牛頓齊名，不管這種評價有何價值，阿基米德應(yīng)該位列任何數(shù)學(xué)名人堂中是毋庸置疑的，但是他并沒有被完全處于數(shù)學(xué)的象牙塔里，他對于天文學(xué)，數(shù)學(xué)物理學(xué)也都有很高的造詣，他還設(shè)計(jì)了戰(zhàn)爭武器，例如彈射器，杠桿，以及一種火鏡，這些都是為了不讓羅馬人進(jìn)犯. 但是據(jù)說他身上具有教授們所常有的心不在焉的特質(zhì)，否則當(dāng)他發(fā)現(xiàn)了流體靜力學(xué)中的浮力定律時是什么使得他從浴盆里跳出來，連衣服都不穿，就沖到大街上大喊“Eureka”（拉丁語“我發(fā)現(xiàn)了”）？但是我們找不到關(guān)于他如何慶祝 π 的發(fā)現(xiàn)的記錄。

當(dāng)把 π 定義為周長和直徑的比值后，如何進(jìn)一步計(jì)算圓的面積呢？通過推導(dǎo)，可以得到半徑為 r 的圓的面積為 πr^2, 或許這一點(diǎn)比周長 / 直徑給出的定義更加有名.  π 對周長和面積的雙重職責(zé)是非常重要的.

這個結(jié)論是如何證明的呢？周長可以被切分為很多狹長的三角形底邊邊長為 b，高度近視為半徑 r. 它們在原內(nèi)部形成了一個多邊形，圓的面積可以近似為這個多邊形的面積，讓我們首先將圓劃分成 1000 個三角形. 推導(dǎo)過程都將是近似操作. 我們可以將每對相鄰的三角形，拼成一個矩形(近似地), 它的面積為 b x r. 那么整個多邊形的面積將是 500 x b x r. 由于 500 x b 約等于半圓的周長，它的長度是 π r, 在整個多邊形的面積為，π r x r = πr^2. 劃分的三角形越多，近似值會越接近實(shí)際值. 最后在極限上我們可以得出圓的面積為 πr^2. 

阿基米德估算出 π 的值處在 223/71 和 220/70 之間. 正是因?yàn)榘⒒椎?，我們有了大家所熟知?nbsp;π 的近似值 22/7. 關(guān)于設(shè)計(jì) π 這個符號的榮譽(yù)要?dú)w功于很少人知道的威廉·瓊斯, 他是一個威爾士數(shù)學(xué)家, 在18世紀(jì)成了倫敦皇家學(xué)會的副主席. 物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家歐拉在圓周率的使用中將 π推廣開來. 

π 的精確數(shù)值

我們永遠(yuǎn)無法知道派的精確數(shù)值，因?yàn)樗且粋€無理數(shù)，這一點(diǎn)被約翰·蘭伯特于1768年證明. π 的小數(shù)展開是無窮無盡的，并且沒有可預(yù)測的模式，它的前20位是3.141592653879323846... 中國數(shù)學(xué)家所采用的 √10 的數(shù)值為: 3.16227766016837933199, 這個值在公元500年左右被婆羅摩笈所采用. 事實(shí)上，這個只比 3 這個粗略近似值要好一些，它和派相比，它和 π 相比到小數(shù)點(diǎn)后第二位才不相同，

π 可以從一個數(shù)列計(jì)算. 一個著名的數(shù)列展開式

但是這個數(shù)列需要一個很痛苦漫長的過程，才能收斂到 π 計(jì)算是幾乎不可能的，歐拉找到了一個可以收斂到 π 的重要序列:

自學(xué)成才的天才拉馬努金想出一個漂亮的派的近似公式. 這個式子里僅涉及 2 的平方根:

數(shù)學(xué)家對 π 是如此的著迷, 當(dāng)蘭伯特證明了它不可能是分?jǐn)?shù)的時候，德國數(shù)學(xué)家林德曼在 1882 年解決了一個關(guān)于 π 的最重要問題. 他證明了 π 是 '超越'的, 既 π 不可能是代數(shù)方程(一個僅含x的指數(shù)項(xiàng)的方程)的解. 通過解決這個千古之謎，林德曼給出了'變圓為方'這一問題的結(jié)論，此問題為: 給定一個圓，如何利用一對圓規(guī)和直尺，構(gòu)造一個和它面積一樣的正方形. 林德曼最后證明了，這是不可能做到的. 如今化圓為方，就代表辦不到的事情. 

對于 π 的精確計(jì)算快速發(fā)展著. 1853 年, 威廉·尚可斯宣稱已經(jīng)將它精確到了607位(實(shí)際上只今精確到了527位). 在當(dāng)代，計(jì)算機(jī)給予了江派精確到更多位的新的動力，1949年，π 被精確到了小數(shù)點(diǎn)后2037位. 這是由 ENIAC 計(jì)算機(jī)經(jīng)過了 70 個小時的計(jì)算完成的，到了2002年 π 已經(jīng)精確到了令人咋舌的 124100000000 位, 而且這個數(shù)還在繼續(xù)增長. 如果我們準(zhǔn)備寫出 π 的精確值，尚克斯的計(jì)算結(jié)果僅僅需要14米，而2002年得到的這個結(jié)果，足可以繞地球大約62圈.

人們提出并解答了關(guān)于 π 的各種問題，π 的這些數(shù)字是完全隨機(jī)的嗎？有沒有可能預(yù)測它的展開式里有一段序列? 例如，有沒有可能在展開式中出現(xiàn) 0123456789 這樣的序列，在20世紀(jì)50年代，人們認(rèn)為這個問題是不可知的，人們在 π 上已知2000位展開式中沒有找到這樣的序列. 荷蘭數(shù)學(xué)界的領(lǐng)軍人物魯易茲·布勞威爾認(rèn)為這個問題毫無意義，因?yàn)樗嘈胚@個序列是不可能出現(xiàn)的，事實(shí)上，這個序列在1997年被找到了，它開始于第 17387594880 位, 或者按照上面那個比喻，它所在的位置差 5000 公里就繞完地球整一圈了. 你可以在僅僅一千公里后就可以發(fā)現(xiàn) 10 個連續(xù)的 6, 卻要再繞地球一圈后再走6000公里才能找到 10 個連續(xù)的 7. 

π 的重要性

知道 π 的這么多位有什么用，畢竟大多數(shù)計(jì)算機(jī)僅僅需要小數(shù)點(diǎn)后幾位就夠了，對于絕大多數(shù)實(shí)際應(yīng)用來說，或許十位以內(nèi)已經(jīng)足夠了，而阿基米德的近似值 22/7 也可能對大多數(shù)情況都已經(jīng)足夠好了. 但是, 對于 π 的廣泛展開絕不是僅僅為了娛樂. 他們除了能使那些自稱為'π 的朋友'的數(shù)學(xué)家們神魂顛倒外，還可以用于測試計(jì)算機(jī)性能極限. 

或許關(guān)于 π 最離奇的一段故事是，印第安納州立法院曾經(jīng)試圖通過一條議案，以固定它的數(shù)值. 這個故事發(fā)生在19世紀(jì)末，一個名叫古德溫的醫(yī)學(xué)博士，提出一條議案，希望將 π 變成'易理解的'. 而這條議案面臨的實(shí)際問題是: 提議者自己卻沒有能力知道她想要固定的值是多少. 值得慶幸的是, 在議案通過之前，他們意識到了對派進(jìn)行立法是一件多么荒唐的事情. 從那一天起，政客們便遠(yuǎn)離了 π.