1.引子

在平面幾何中，我們認(rèn)為“平行直線不會(huì)相交”。這個(gè)觀點(diǎn)在射影幾何中得到了修正：“平行直線相交于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)”。無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)并不在我們通常理解的平面之內(nèi)，而是在平面之外的“無(wú)窮遠(yuǎn)處”。為了方便說(shuō)明，這種點(diǎn)通常用∞來(lái)標(biāo)記。因此在不同的幾何學(xué)范疇內(nèi)，上面的兩種結(jié)論并沒(méi)有矛盾。

對(duì)一般人來(lái)說(shuō)，無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的概念并不像普通的點(diǎn)那樣容易接受。通常，我們只是直觀上想象這樣的點(diǎn)處在極為遙遠(yuǎn)的“天涯盡頭”。正因?yàn)檫@種無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)給人某種模模糊糊、虛無(wú)飄渺的不確定感，所以人們很容易產(chǎn)生疑惑：這樣的點(diǎn)是否真實(shí)存在？答案是肯定的。事實(shí)上，現(xiàn)代數(shù)學(xué)可以用幾種不同的定義方式來(lái)理解無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。這些定義都是彼此等價(jià)的。不過(guò)它們的嚴(yán)格敘述都充滿了技術(shù)味道，對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)是相當(dāng)枯燥的。我們并不打算詳細(xì)介紹這些技術(shù)性的數(shù)學(xué)定義。

我們將通過(guò)一些直觀的例子來(lái)幫助讀者理解無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn), 并且希望能解釋這樣一個(gè)事實(shí)：

無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和普通的點(diǎn)的唯一區(qū)別僅僅是它所處的位置。

這就好比，球面上南極點(diǎn)（北極點(diǎn)）實(shí)際上和球面上其他的點(diǎn)并不存在差別。其實(shí)你可以任意指定某個(gè)點(diǎn)是極點(diǎn)。當(dāng)你把無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)當(dāng)作普通的點(diǎn)看待后，很多問(wèn)題都會(huì)變得清晰明朗起來(lái)。

2.一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：直線和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)

   我們首先考察最簡(jiǎn)單的情形：直線上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。想象一下，有兩個(gè)人背對(duì)背，從原點(diǎn)出發(fā)分別沿著直線的兩個(gè)方向行走，他們最終會(huì)相遇嗎？直觀上說(shuō)，我們認(rèn)為他們不會(huì)相遇，相反是越離越遠(yuǎn)。這正好對(duì)應(yīng)了成語(yǔ)“背道而馳”和“南轅北轍”的意思。

但是如果我們把無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)也添加到直線里，情況就會(huì)變得不同：這兩個(gè)人最終會(huì)在無(wú)窮遠(yuǎn)處再次相聚。為了理解這一點(diǎn)，我們可以想象一下：把直線左右兩端的無(wú)窮遠(yuǎn)處黏合起來(lái)，這樣直線就變成了圓圈。在圓圈上，兩人從一開(kāi)始的原點(diǎn)出發(fā)朝著不同方向走，很顯然會(huì)在圓圈上另一個(gè)點(diǎn)處再次碰頭。我們可以把這一點(diǎn)記作∞。這一直觀的事實(shí)也可以用成語(yǔ)“殊途同歸”來(lái)描述。

為什么直線添上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)后恰好就是圓圈？盡管直觀上想像這件事并不困難，但要嚴(yán)格地說(shuō)明它，則需要一些數(shù)學(xué)上的技術(shù)手段。讓我們?cè)趫A圈上的∞處放上一個(gè)電燈泡，燈泡的光線會(huì)投射到上方的直線上。

很顯然，圓圈上除了∞外，每個(gè)點(diǎn)P在直線上都有唯一的投影點(diǎn)P'; 反過(guò)來(lái)，直線上任何一個(gè)點(diǎn)P',都有唯一的一條光線經(jīng)過(guò)它，這條光線也穿過(guò)圓圈上唯一的點(diǎn)P。這就是說(shuō)，直線上的點(diǎn)和圓圈上的點(diǎn)（∞除外）之間可以通過(guò)光線投影的方式一一對(duì)應(yīng)起來(lái)。

我們把這種通過(guò)光線投影來(lái)建立對(duì)應(yīng)的方法稱作“球極投影”；把添加了無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)進(jìn)去的直線稱作“射影直線”。上面的討論換成這些花俏的名詞，就是說(shuō)：射影直線和圓圈在球極投影下可看成相同的事物。

此時(shí)的投影和之前的有點(diǎn)差別。首先，點(diǎn)E此時(shí)也可以投影到直線上的普通點(diǎn)E'(通過(guò)它的光線恰好和圓圈相切于E)。其次，E的對(duì)徑點(diǎn)W無(wú)法投影到直線上的普通點(diǎn)。這是因?yàn)榻?jīng)過(guò)它的光線EW與直線平行，所以光線的投影點(diǎn)實(shí)際上是在直線外的無(wú)窮遠(yuǎn)處。 除W外，圓圈上每個(gè)點(diǎn)都可直線上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；而W則對(duì)應(yīng)直線的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。

上述例子告訴我們，每個(gè)點(diǎn)都可以在你的事先指定下成為射影直線上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)（如果你把射影直線看成圓圈的話）。因此它不具有特殊性。這有點(diǎn)類似于俗語(yǔ)“眾生平等”的意思。

3.舉一反三：平面和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)

上面的例子很富有啟發(fā)性。你也可以嘗試在平面外添入無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。我們有兩種不同的添入無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的方式，通過(guò)它們得到的擴(kuò)充平面卻是兩類非常不同的幾何物體。

第一類方式就是類比直線情形：把直線替換成平面，圓圈替換成球面。我們把燈泡放在球的北極點(diǎn)，然后做光線投影。

和直線情形類似，球面上除了N外每個(gè)點(diǎn)都唯一對(duì)應(yīng)了平面上的一個(gè)點(diǎn)，反之亦然。然后我們把N對(duì)應(yīng)平面外的一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)∞。用這種球極投影的方式，我們得到一個(gè)擴(kuò)充的平面，它是由原始的平面添上一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)得到的。

另一方面，平面上的點(diǎn)又可以看成一個(gè)復(fù)數(shù), 反之亦然，因此有時(shí)我們也把平面看成復(fù)數(shù)全體構(gòu)成的集合, 也叫做復(fù)平面。這樣，上面的擴(kuò)充平面也相當(dāng)于復(fù)數(shù)集合添上了一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)∞。如果你把復(fù)數(shù)想象成類似實(shí)數(shù)那樣可以排成一條直線—形象上叫做“復(fù)直線”，那么它添上∞后就像是一條擴(kuò)充的直線，我們通常把它形象上叫做“復(fù)射影直線”。上面的討論相當(dāng)于告訴你，復(fù)射影直線可以看成球面。因此也同樣可以看到這樣的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)其實(shí)和其他點(diǎn)完全一樣，他們的差別僅在于位置的不同。你同樣可以事先指定其他點(diǎn)作為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。

第二種添加無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的方式如下： 我們考慮經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的所有直線，每條直線外都對(duì)應(yīng)了一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)（上一節(jié)討論過(guò)了）。這些無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)兩兩不同—因而我們得到無(wú)數(shù)多個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)—它們?nèi)刻砣肫矫婧?，即得到擴(kuò)充的平面。 我們通常將它稱做射影平面。

所有這些無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)其實(shí)構(gòu)成了一個(gè)大圓圈—有時(shí)我們把它叫做無(wú)窮遠(yuǎn)直線（因?yàn)樗部梢岳蒙弦还?jié)的方法看作一條射影直線）。如果你想象一下的話：這個(gè)大圓圈看上去就像是普通平面外面扎的大籬笆。

當(dāng)然，這種想象是不嚴(yán)格的，但是它可以幫助我們體會(huì)射影平面的概念。數(shù)學(xué)上有很多不同的辦法可以等價(jià)地描繪射影平面。比如一種辦法是將下面的半球的截口上每一對(duì)對(duì)徑點(diǎn)粘合起來(lái)—這在現(xiàn)實(shí)中是做不到的。

不管你采用何種方式，你都會(huì)發(fā)現(xiàn)仍然很難清楚準(zhǔn)確地將射影平面構(gòu)造出來(lái)。這是為什么呢？本質(zhì)的原因在于，射影平面根本不是三維空間中的幾何物體！也就是說(shuō)它不能通過(guò)三維空間的圖像完整無(wú)誤地顯示出來(lái)。我們只有將它放在高維空間中，才能準(zhǔn)確無(wú)誤地搞清楚其結(jié)構(gòu)。這就需要一些數(shù)學(xué)上的手段了。

盡管這多少有點(diǎn)讓人失望，但我們可以通過(guò)投影的手段，把它壓縮投影到三維空間中來(lái)看。這有點(diǎn)類似于拍照片，把三維的物體壓縮到二維平面上看，雖然這么做會(huì)損失到一部分信息。射影平面在三維中的一種投影圖像如下：

你可能同樣會(huì)問(wèn)：無(wú)窮遠(yuǎn)直線（也就是所有無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的集合）是否很特殊呢？答案同樣是否定的。其實(shí)在射影平面中，任何一條射影直線都能被事先指定為無(wú)窮遠(yuǎn)直線。這樣一來(lái)，平面外的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)其實(shí)和普通點(diǎn)仍然沒(méi)有什么特殊差別，僅僅是位置不同而已！當(dāng)然，要嚴(yán)格說(shuō)清楚這些事并不是那么輕而易舉。我們?nèi)匀恍枰柚鷶?shù)學(xué)手段才能做到。

4.為什么我們需要無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)？

接下來(lái)的問(wèn)題是：為什么我們要引入無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)呢？ 實(shí)際上，我們傳統(tǒng)意義上研究的直線、平面等等幾何空間都是不完整的，添入無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)后，這些空間才變得完整無(wú)缺。無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)本來(lái)就是空間的一部分，它和其他點(diǎn)除了位置不同外，沒(méi)有什么不同。因此，如果我們?nèi)藶榈夭唤邮苌趸蜻z棄它們，顯然是不理智的。這樣做甚至?xí)o討論帶來(lái)很多人為的障礙--只要想想復(fù)數(shù)的發(fā)展歷史你就明白了。

此外，有很多幾何現(xiàn)象，在這些通常的空間中看似乎很不一樣，甚或沒(méi)有什么聯(lián)系，但是當(dāng)你把它們放在更大的背景舞臺(tái)--射影空間--中看，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些現(xiàn)象其實(shí)只不過(guò)是同一事物在不同位置上的表現(xiàn)而已。

舉個(gè)最簡(jiǎn)單的例子：在平面幾何中，我們討論兩條直線相交情況，需要人為地區(qū)分為“相交”和“平行”。但是如果我們?cè)谏溆捌矫嬷杏懻撨@個(gè)問(wèn)題，事情就很簡(jiǎn)單，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)任何兩條直線都恰好交一個(gè)點(diǎn)。這個(gè)交點(diǎn)是不是無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)根本不重要，因?yàn)闊o(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和其他點(diǎn)在射影平面中沒(méi)什么差別。我們通常所認(rèn)為的差別實(shí)際上是人為造成的不必要的思維枷鎖。

最后，我們?cè)倥e一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明：引入無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為什么是有用的。在平面幾何中，我們研究橢圓、雙曲線和拋物線。通常的觀點(diǎn)會(huì)認(rèn)為這三者是很不一樣的---在中學(xué)里我們也是分別來(lái)討論它們的。

但是在射影平面中，你會(huì)驚訝地發(fā)現(xiàn)， 這三者其實(shí)是同一樣?xùn)|西！它們之所以在坐標(biāo)平面中顯得不一樣，只是因?yàn)樗鼈兒蜔o(wú)窮遠(yuǎn)直線相處的位置不同（回顧上一節(jié)討論，無(wú)窮遠(yuǎn)直線就是平面外全體無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)構(gòu)成的“籬笆”）。這可以從下面的示意圖看出來(lái)：

這個(gè)例子再一次印證了成語(yǔ)“盲人摸象”的道理。我們之所以看到三種不同的二次曲線圖像，僅僅是因?yàn)槲覀冎豢吹搅送暾麍D像的一部分！