數(shù)學分支之十：射影幾何學

射影幾何是研究圖形的射影性質，即它們經(jīng)過射影變換后，依然保持不變的圖形性質的幾何學分支學科。一度也叫做投影幾何學，在經(jīng)典幾何學中，射影幾何處于一種特殊的地位，通過它可以把其他一些幾何學聯(lián)系起來。概括的說，射影幾何學是幾何學的一個重要分支學科，它是專門研究圖形的位置關系的，也是專門用來討論在把點投影到直線或者平面上的時候，圖形的不變性質的科學。

十七世紀，當笛卡兒和費爾馬創(chuàng)立的解析幾何問世的時候，射影幾何學也同時應運而生。這門幾何學和畫圖有很密切的關系，它的某些概念早在古希臘時期就曾經(jīng)引起一些學者的注意，歐洲文藝復興時期透視學的興起，給這門幾何學的產(chǎn)生和成長準備了充分的條件。

射影幾何真正成為獨立的學科、成為幾何學的一個重要分支，主要是在十七世紀。在17世紀初期，開普勒最早引進了無窮遠點概念。稍后，為這門學科建立而做出了重要貢獻的是兩位法國數(shù)學家——笛沙格和帕斯卡。

在射影幾何學中，把無窮遠點看作是“理想點”。通常的直線再加上一個無窮點就是無窮遠直線，如果一個平面內(nèi)兩條直線平行，那么這兩條直線就交于這兩條直線共有的無窮遠點。通過同一無窮遠點的所有直線平行。

在引入無窮遠點和無窮遠直線后，原來普通點和普通直線的結合關系依然成立，而過去只有兩條直線不平行的時候才能求交點的限制就消失了。

    由于經(jīng)過同一個無窮遠點的直線都平行，因此中心射影和平行射影兩者就可以統(tǒng)一了。平行射影可以看作是經(jīng)過無窮遠點的中心投影了。這樣凡是利用中心投影或者平行投影把一個圖形映成另一個圖形的映射，就都可以叫做射影變換了。

    射影變換有兩個重要的性質：首先，射影變換使點列變點列，直線變直線，線束變線束，點和直線的結合性是射影變換的不變性；其次，射影變換下，交比不變。交比是射影幾何中重要的概念，用它可以說明兩個平面點之間的射影對應。

    在射影幾何里，把點和直線叫做對偶元素，把“過一點作一直線”和“在一直線上取一點”叫做對偶運算。在兩個圖形中，它們?nèi)绻际怯牲c和直線組成，把其中一圖形里的各元素改為它的對偶元素，各運算改為它的對偶運算，結果就得到另一個圖形。

     1872年，德國數(shù)學家克萊因在愛爾朗根大學提出著名的《愛爾朗根計劃書》中提出用變換群對幾何學進行分類，就是凡是一種變換，它的全體能組成“群”，就有相應的幾何學，而在每一種幾何學里，主要研究在相應的變換下的不變量和不變性。