瑞士數(shù)學(xué)家雅各布. 伯努利在研究復(fù)利的時候發(fā)現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象: 

• 假設(shè)在銀行存了 1 塊錢 , 而銀行提供的年利率是 100%, 也就是說 1 年后連本帶息, 你會得到 2 塊錢;  

• 現(xiàn)在假設(shè)半年就計算一次利息, 半年利率為 50% , 這種方案最終的收益會不會比上面更好呢? 

計算一年后共會獲得 2.25 塊錢. 恩, 看起來不錯啊. 那現(xiàn)在計算利率周期再短一些會怎么呢? 假設(shè)每個月結(jié)算一次呢? 月利率為 1/12 , 一年后最終得到大約 2.61304 塊錢, 這個方案變得更好一些. 

現(xiàn)在可以看出這樣的規(guī)律, 利息的周期越短, 收益就更好. 那就讓我們繼續(xù)縮短計息的周期, 變?yōu)槊恐苡嬎? 利率為 1/52  . 

甚至可以計算天利率, 或者小時, 秒來計算. 所獲得的錢會越來越多. 隨著 n 趨于無窮, 對于這樣的連續(xù)復(fù)利, 那會是什么樣子呢? 

針對這個式子的極限值到底是什么呢?  

伯努利知道會是一個 2~ 3 之間的數(shù), 但最終的結(jié)果很可惜他并沒有計算出來. 這個問題還是由 50 年后的歐拉搞定. 

歐拉大神借助下面的公式計算出來小數(shù)點(diǎn)后 18 位.  

也就是下面的展開形式進(jìn)行了計算: 

并且歐拉借助連分式的形式證明了 E 是一個無理數(shù), 觀察這個連分?jǐn)?shù)的形式

注意連分式中 2,1,2 之后出現(xiàn)的很規(guī)律出現(xiàn)的1,1,4,1,1,6,1,1,8,....

也就是說這是能夠一直被處下去的連分?jǐn)?shù), 那就意味著它是個無理數(shù). 否則就是有理數(shù).  

e 是描述增長率的自然常量, 并且 e^x 還是唯一具有下面性質(zhì)的函數(shù):  

這個函數(shù)曲線上的每一個點(diǎn)的 y 值, 在該點(diǎn)的斜率和曲線下面積三者都是相同值.  

• 特別是當(dāng) x =1 時, 函數(shù)值就等于 e. 斜率也是 e, 而曲線下的面積也是 e.

也正是因?yàn)檫@主要性質(zhì), 使得它成為了微積分中最喜聞樂見的符號(微積分也正是描述變化率, 極限求和的數(shù)學(xué)). 所以當(dāng)在微積分課程中, 每每遇到 e 的計算, 你覺得計算應(yīng)該會簡單很多. 

既然提到了 e , 通常也會提到 - 歐拉恒等式(Euler's identity):

這個公式被視為為數(shù)學(xué)中最美麗的方程, 因?yàn)?e, π, i, 1, 0 這些數(shù)學(xué)中最重要的常數(shù)數(shù)量同時出現(xiàn)在一個方程中, 在未來的某個時刻我們會單獨(dú)在一篇文章中單獨(dú)介紹它.