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本文用Hilbert空間的語(yǔ)言解釋要求的微分算符（微分方程） 和力學(xué)量（量子力學(xué)）的問(wèn)題。 也許你已經(jīng)期待下篇良久了吧。否則你可以先回顧上篇。再否則，看看本文的手繪大概也挺有趣的。 當(dāng)然，理解本文不需要糾結(jié)于個(gè)別定理或章節(jié)。 仍然先將結(jié)論展示如下： 【定理0】 給定Hilbert空間上： (1)函數(shù)可用某一微分算符的本征函數(shù)展開（微分方程情形） 或 (2)某一算符是力學(xué)量（量子力學(xué)情形） 的充分條件是，此算符是厄米算符，且滿足以下3個(gè)條件中的任一個(gè)： (1)是緊算符 (2)逆為緊算符[注] (3)存在 子空間列 上的力學(xué)量列 s.t. B_k “趨于”此算符，且V_k“趨于”原Hilbert空間 [注]或模掉一個(gè)有限維子空間后的逆。一個(gè)有限維的核空間(Kernal)是無(wú)關(guān)緊要的，因?yàn)槲覀兛梢园阉c它的正交補(bǔ)分別討論，而有限維總是簡(jiǎn)單的。 上篇搭了數(shù)學(xué)框架，包括以下概念： -內(nèi)積，距離，長(zhǎng)度，正交 -Hilbert空間 -厄米算符 -標(biāo)準(zhǔn)正交基 -有界算符 -列緊集，緊集 為方便論述，先將3個(gè)典型的Hilbert空間列舉如下：  在下文，我們主要目的是利用已有的數(shù)學(xué)框架解釋物理問(wèn)題。 目錄 下篇 -7.緊算符與力學(xué)量 -8.連續(xù)譜的力學(xué)量 -9.多維情形 結(jié)論、參考文獻(xiàn)、致謝 7.緊算符與力學(xué)量 （1)緊算符  【定義5.4.3】像空間有限維的算符稱為有限秩算符，記為F(H) [注]有限秩算符都是緊算符   此處我們可以看出，如果Sturm-Liouville型方程有Green函數(shù)解，且Green函數(shù)平方可積（未證明），則命題4成立。在本節(jié)的后面部分，我們將用另一種方法證明此命題。 (2)緊算符與空間    參考書中的證明過(guò)程：首先證明緊算符一定有本征值，余下的部分與有限維的情形大同小異。 注意推論相當(dāng)于強(qiáng)收斂。實(shí)際我們需要的就是這種強(qiáng)收斂。也即這樣就證明了：(i)緊厄米算符是力學(xué)量 互逆的算符有相同的本征矢，且本征值互為倒數(shù)。因此(ii)緊厄米算符的逆是力學(xué)量 （注意厄米算符的逆一定是厄米算符；緊算符的逆一定無(wú)界） (3)應(yīng)用   【例6(iii)】包括了有限區(qū)間的大部分哈密頓量，故已經(jīng)解決了量子力學(xué)的一大類問(wèn)題。 然而，無(wú)限區(qū)間的情況并不相同。事實(shí)上，緊厄米算符的逆若有可數(shù)無(wú)窮個(gè)本征值，本征值一定趨于無(wú)窮（或者說(shuō)，有絕對(duì)值大于任意正實(shí)數(shù)的本征值）。然而，在3維無(wú)窮空間的氫原子的本征能量(-1/n^2)趨于0，這說(shuō)明【例6(iii)】的論斷一定不適用。這個(gè)問(wèn)題要在下一節(jié)解釋了“箱歸一化”后再討論。 8.連續(xù)譜的力學(xué)量 (1)用“極限”解釋 上文沒(méi)有討論坐標(biāo)算符x，和無(wú)窮區(qū)間的動(dòng)量算符p（只要有一些合理的限定，它們都是厄米算符）。事實(shí)上，嚴(yán)格地說(shuō)，它們并沒(méi)有本征函數(shù)：  需要指出，這些函數(shù)不可能通過(guò)空間內(nèi)的函數(shù)的極限得到，因?yàn)镠ilbert空間是完備的，所有極限都在空間內(nèi)。 然而，量子力學(xué)中要求坐標(biāo)和動(dòng)量都是力學(xué)量，即通常所稱的“連續(xù)譜的力學(xué)量”（叫這個(gè)名字是因?yàn)楸菊髦凳沁B續(xù)取值的，實(shí)際上基本上是全體實(shí)數(shù)）。我們可以用數(shù)學(xué)上不甚嚴(yán)格，但物理上可以接受的方法給這類力學(xué)量以說(shuō)明。這就是【定理0】的看似有些怪異的條件(3).  我們可以將這2個(gè)例子稍加概括和推廣，即為【定理0】的表述：存在 子空間列 上的力學(xué)量列 s.t. B_k “趨于”此算符，且V_k“趨于”原Hilbert空間 則子空間列的“極限”也是類似強(qiáng)收斂。這種收斂方式對(duì)于物理問(wèn)題來(lái)說(shuō)足夠了。 此處只是給“極限”一種數(shù)學(xué)的說(shuō)明，物理上也可以用其他方式解釋，甚至只有直觀解釋也可以。 某種意義上說(shuō)，連續(xù)譜的力學(xué)量可以就按上述趨近理解，【例8】寫的物理意義看起來(lái)似乎挺對(duì)的。 另一個(gè)連續(xù)譜的力學(xué)量的例子： 至此，我們已對(duì)大部分微分算符和力學(xué)量作了說(shuō)明。 (2)無(wú)窮區(qū)間 在此，我們要回到上節(jié)提出的無(wú)窮區(qū)間（包括氫原子）的問(wèn)題。 在無(wú)窮區(qū)間，動(dòng)量算符p，動(dòng)能算符p^2不是緊算符的逆，而且沒(méi)有本征函數(shù)。此外，根據(jù)氫原子的能級(jí)，如果氫原子的所有能量本征態(tài)構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)正交基，可以證明，氫原子的哈密頓量算符H一定是緊算符。這不能用我們之前的結(jié)論解釋。 如果采取“箱歸一化”，即用很大、周期性邊條件的區(qū)間趨近無(wú)窮區(qū)間，則平面波也是允許態(tài)。換言之，量子態(tài)不再局限于“束縛態(tài)”，所謂“散射態(tài)”也要考慮。p, p^2都是緊算符的逆。在此條件下，氫原子的能量本征態(tài)必將不同。還需指出，氫原子的勢(shì)能V(r)=-1/r不是平方可積函數(shù)。 無(wú)窮區(qū)間的哈密頓量的性質(zhì)是怎樣的？能不能與我們之前的論斷相容？這些問(wèn)題我目前仍未解決。我期待有人能告訴我如何解決這些問(wèn)題。 9.多維情形 從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的角度看，多維函數(shù)與一維（單變量）函數(shù)沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別。此外，有一種常用方法將偏微分方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)個(gè)常微分方程問(wèn)題，即分離變量法： 采用這樣的過(guò)程，就把含x的方程和含y的方程“分離”了。也可采用其他坐標(biāo)，比如極坐標(biāo)，這樣得到的方程具有不同的形式。 我們可以用一些數(shù)學(xué)技巧解釋分離變量法的合理性。這部分的數(shù)學(xué)可參考[2]。 換言之，一般可以用分離變量法找到二維函數(shù)的一組基，因此把待定函數(shù)寫成這組基的級(jí)數(shù)是合理的。原則上，變量（坐標(biāo)）的選取有很大的任意性。 雖然這里用的是“力學(xué)量”一詞，但容易將其換為其他情形（如微分方程）的語(yǔ)言。 類似的說(shuō)明可以簡(jiǎn)單地推廣到更高維。 此處是先有方法，后找數(shù)學(xué)說(shuō)明，因此張量積等數(shù)學(xué)技巧的運(yùn)用都是以分離變量法為基礎(chǔ)構(gòu)造的。注意此處的說(shuō)明不一定是唯一的，也不一定是必要的。 總結(jié) 此處，重新將結(jié)論敘述如下： 【定理0】 給定Hilbert空間上： (1)函數(shù)可用某一微分算符的本征函數(shù)展開（微分方程情形） 或 (2)某一算符是力學(xué)量（量子力學(xué)情形） 的充分條件是，此算符是厄米算符，且滿足以下3個(gè)條件中的任一個(gè)： (1)是緊算符 (2)逆為緊算符[注] (3)存在 子空間列 上的力學(xué)量列 s.t. B_k “趨于”此算符，且V_k“趨于”原Hilbert空間 [注]或模掉一個(gè)有限維子空間后的逆。 這一結(jié)論適用于相當(dāng)多的情形，包括以下幾類： (i)積分方程的本征值問(wèn)題 (ii)有限區(qū)間的Sturm-Liouville型本征值問(wèn)題 (iii)有限區(qū)間上的哈密頓量算符 (iv)x,p等連續(xù)譜的力學(xué)量 同時(shí)，仍有一些問(wèn)題沒(méi)有解決，比如氫原子的哈密頓量等無(wú)窮區(qū)間的力學(xué)量。 總之，本文較完整地補(bǔ)充了 大多數(shù)《數(shù)學(xué)物理方法》《量子力學(xué)》的課本 省略的步驟。 參考文獻(xiàn) [1]郭懋正 2005,實(shí)變函數(shù)與泛函分析,北京大學(xué)出版社, 北京. [2]https://en./wiki/Tensor_product 致謝 |
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