作者：陳天權(quán)(清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系．北京，100084)

摘要：近代數(shù)學(xué)分析的教學(xué)有將傳統(tǒng)的微積分，測度論．復(fù)分析和流形上的微積分統(tǒng)一起來講的趨勢；近代數(shù)學(xué)分析的教學(xué)有將數(shù)學(xué)及其應(yīng)用。特別是數(shù)學(xué)在物理中的應(yīng)用結(jié)合起來講的趨勢．

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析；教學(xué)；數(shù)學(xué)分析在物理中的應(yīng)用

1987年當(dāng)我在清華接下數(shù)學(xué)分析課的教學(xué)任務(wù)時，因為我從未教過數(shù)學(xué)分析，不得不查閱有關(guān)文獻(xiàn)以確定數(shù)學(xué)分析的教學(xué)內(nèi)容．我發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)分析的教學(xué)內(nèi)容已和我五十年代當(dāng)學(xué)生時學(xué)的很不一樣了．這使我想起了法國數(shù)學(xué)家André Weil于1954年寫的一篇文章中的一段話：

……傳統(tǒng)的(二十世紀(jì)初期的)數(shù)學(xué)課程設(shè)置比較簡單：二維和三維的解析幾何，初等代數(shù)，即，初等方程式論，……，然后便是微積分及其在曲線及曲面理論上的應(yīng)用．微積分課程最終延伸和發(fā)展成復(fù)變函數(shù)論，……，也許還要討論一下橢圓函數(shù)的定義及它的一些公式，這樣，學(xué)生便被認(rèn)為是個可以進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的成熟的數(shù)學(xué)家了．

André Weil繼續(xù)寫道：

很不幸，當(dāng)今(指作者寫該文的1954年)的數(shù)學(xué)教師和攻讀數(shù)學(xué)的學(xué)生就不那么輕松了．上述的課題仍然是基本的，但已是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的了．因此，必須想方設(shè)法地在較短的時間內(nèi)完成較多的教學(xué)任務(wù)．約半個世紀(jì)以來，抽象數(shù)學(xué)，或稱公理化方法的發(fā)展清楚地告訴我們：數(shù)學(xué)，部分地說，是種語言．這種語言必須趕上科學(xué)發(fā)展對它的需求，它有自己的必須學(xué)習(xí)的語法和詞匯．近代數(shù)學(xué)的語法和詞匯主要是由集合論，一般拓?fù)浜痛鷶?shù)提供的．……．雖然，這些內(nèi)容也曾滲透到傳統(tǒng)的微積分與幾何學(xué)的課程中，但因支離破碎地分散在不同數(shù)學(xué)分支的課文中而浪費(fèi)大量時間．

在André Weil寫完這篇文章后的半個多世紀(jì)中，數(shù)學(xué)的理論與應(yīng)用又有了迅猛發(fā)展．因此，二十一世紀(jì)的數(shù)學(xué)教師和攻讀數(shù)學(xué)的學(xué)生比之半世紀(jì)前就更不輕松了．想方設(shè)法地在較短的時間內(nèi)完成更多的教學(xué)任務(wù)就成為二十一世紀(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)所面臨的，更為嚴(yán)峻的課題．

下面我愿意簡略地介紹我所找到的(當(dāng)然是極不完全的)數(shù)學(xué)分析教材的情況：

五十年代前期在我國曾廣為流行的蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)分析教材是斯米爾諾夫，菲赫金哥爾茨與辛欽等寫的書．

(1) 1960年左右，在莫斯科大學(xué)講授數(shù)學(xué)分析課的希洛夫著有“數(shù)學(xué)分析I，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ”，其中“數(shù)學(xué)分析I和Ⅱ”的內(nèi)容和斯米爾諾夫等的書差不多，“數(shù)學(xué)分析Ⅲ”用Riesz-Daniell的方法講積分與測度，還介紹了一些Hilbert空間的知識．“數(shù)學(xué)分析Ⅳ”介紹了廣義函數(shù)及其在常系數(shù)偏微分方程中的應(yīng)用．

(2) 上世紀(jì)六十年代末尼科爾斯基編著的“數(shù)學(xué)分析教程I，II”(在前蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)分析教材中)第一次用微分形式講授多元微積分．

(3) 上世紀(jì)七十年代末在莫斯科大學(xué)講授數(shù)學(xué)分析課的卓里奇編著的“數(shù)學(xué)分析I，Ⅱ”比較全面地改革數(shù)學(xué)分析的教學(xué)內(nèi)容．它含有點(diǎn)集拓?fù)洌瑹o窮維賦范線性空間上的微分學(xué)(含變分法初步)，微分流形及微分形式，廣義函數(shù)，積分的漸近理論等(在前蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)分析教材中)從未涉及的內(nèi)容．

(4) 上世紀(jì)八十年代初在基輔出版了李亞史科等編著的“數(shù)學(xué)分析I，Ⅱ”，所包含的內(nèi)容與卓里奇編著的“數(shù)學(xué)分析I，Ⅱ”基本相同，但還包含了Lebesgue積分理論．

再往后的俄羅斯與烏克蘭的數(shù)學(xué)分析教材我無法找到．

(1) 上世紀(jì)五十年代，H．Nickerson，D．Spencer和N．Steenrod三人合作編寫的在Princeton大學(xué)的講義“Advanced Calculus”也許是用微分形式的語言講授多元微積分的最早的教材．它只以講義的形式流傳，從未以書的形式出版．

(2) 上世紀(jì)六十年代，L．H．Loomis和S．Steinberg在Harvard大學(xué)的講義“Advanced Calculus”詳細(xì)地介紹了點(diǎn)集拓?fù)?，重線性代數(shù)，微分流形和微分流形上的微積分．

(3) 上世紀(jì)在Brown大學(xué)講授數(shù)學(xué)分析課的A．Browder編著的“Mathematical Analysis，An Introduction”在不大的篇幅中比較均衡地介紹了點(diǎn)集拓?fù)洌鼐€性代數(shù)，測度和積分，微分流形和微分流形上的微積分等內(nèi)容．

(4) 本世紀(jì)初出版的University of California at Berkeley的C．C．Pugh編著的“Real Mathematical Analysis”的內(nèi)容與Browder編著的“Mathematical Analysis，An Introduction”相仿．

(1) 上世紀(jì)六十年代，哥廷根大學(xué)的H．Grauert，I．Lieb和W．Fischer三人合作編寫的“Differential und Integralrechnung，I，Ⅱ，Ⅲ”緊湊地用近代的語言介紹微積分．該書只用一小節(jié)介紹了一元Riemann積分及Riemann可積性的充分必要條件．第Ⅲ冊前半本介紹了高維歐氏空間的積分，后半本介紹了Grassmann代數(shù)，微分形式和Stokes定理等．

(2) 上世紀(jì)七十年代末德國Karlsruhe大學(xué)的H．Heuser的“Lehrbuchder Analysis，I，Ⅱ”詳細(xì)地介紹了數(shù)學(xué)分析的理論及其應(yīng)用．包含的內(nèi)容有：點(diǎn)集拓?fù)?，Banach空間和Banach代數(shù)，Lebesgue積分，Brouwer不動點(diǎn)和Schauder不動點(diǎn)，復(fù)分析初步等．因篇幅巨大(兩冊共有1300余頁)，全書有許多例題及應(yīng)用．

(3) 上世紀(jì)末到本世紀(jì)初(1998—2001)出版的三卷“Analysis，I，Ⅱ，Ⅲ”是瑞士Zürich大學(xué)的H．Amann和德國Hannoyer大學(xué)的J．Escher分別在瑞士和德國多所大學(xué)的講授數(shù)學(xué)分析的結(jié)果．三卷共占1300余頁．選材較Heuser的分析教程更為均衡．除了詳細(xì)介紹了傳統(tǒng)微積分的內(nèi)容外，它很嚴(yán)格地介紹了流形，微分形式和流形上的微積分．還很嚴(yán)格地介紹了一般的測度與積分理論．作為平面上曲線積分的應(yīng)用相當(dāng)充分地介紹了全純函數(shù)與半純函數(shù)的理論．作者在序言中說，這三卷分析既可作為教學(xué)用的教材，也可作為自學(xué)教材．

(1) 上世紀(jì)八十年代出版的A．Avez的“Calcul Differentiel”是作者按居里夫婦大學(xué)的課程委員會制定的微分學(xué)教學(xué)大綱的最低要求編寫的．這個最低要求包含：導(dǎo)數(shù)概念，Cr和C∞類；二階導(dǎo)數(shù)的對稱性；多元Taylor公式；隱函數(shù)定理；常微分方程的解的存在與唯一，解對初值與參數(shù)的連續(xù)依賴．作者寫得極為簡練．

(2) 上世紀(jì)末出版的R．Godement的四卷本的“Analyse Mathématique，I，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ”是非常有特色的數(shù)學(xué)分析教材．作者力圖向讀者介紹“數(shù)學(xué)分析是什么?它是怎樣發(fā)展成這樣的?”所以書中有許多有趣的歷史故事．第一卷介紹集合，收斂等概念．第二卷介紹微積分時便涉及Schwartz廣義函數(shù)和Lebesgue積分等概念，又介紹了漸近分析(主要是Euler—Maclaurin求和公式)，最后把調(diào)和分析與全純函數(shù)結(jié)合起來介紹．第三和第四卷介紹微分流形和Riemann面，一般的積分理論，Hilbert空間及抽象調(diào)和分析．在法語的數(shù)學(xué)分析文獻(xiàn)中，H．Caftan的“Cours de Calcul Differentiel”是起到重要影響的一本．可惜我未能查到．當(dāng)然還有許多重要的數(shù)學(xué)分析教材，在我能查到的材料中，例如，波蘭數(shù)學(xué)家K．Maurin的“Analysis，I，Ⅱ”和菏蘭數(shù)學(xué)家J．J．Duistermaat與J．A．C．Kolk的“Multidimensinal RealAnalysis，I，Ⅱ”等都各有各的特色．我想比我了解更多的數(shù)學(xué)分析教師將會舉出更多的材料．僅從以上所舉的材料可知，在世界各國的較好的大學(xué)中數(shù)學(xué)分析的教學(xué)內(nèi)容已較半世紀(jì)前有了很大變化：例如用微分形式介紹多元微積分似乎已是不可逆轉(zhuǎn)的趨勢．又如把測度與積分理論放進(jìn)數(shù)學(xué)分析的教學(xué)內(nèi)容已為愈來愈多的較好的大學(xué)所采納．雖然，不同的大學(xué)所作的改變不全相同，但是將數(shù)學(xué)分析教學(xué)內(nèi)容分散到許多小課中使其支離破碎的狀況正在緩慢的改變中．

事實上，早在半個世紀(jì)前，法國數(shù)學(xué)家J．Dieudonné在他的《現(xiàn)代分析基礎(chǔ)》中就已說過：

盲目地遵從一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是個數(shù)這一陳舊的解釋，在多元微分學(xué)中將不得不付出代價．

J．Dieudonné接著說，

無疑地，由于它(微分形式)的抽象性，以及我們不得不離開原有的空間而進(jìn)入越來越復(fù)雜的函數(shù)空間，和比較舒適的學(xué)習(xí)微積分傳統(tǒng)的表述相比，學(xué)習(xí)微積分的內(nèi)蘊(yùn)表述將要求同學(xué)們付出大得多的腦力勞動，不過，這是值得的，因為它將鋪平進(jìn)入微分流形學(xué)習(xí)的道路．

J．Dieudonné也還說過如下的話：

假若不是由于Riemann顯赫的名聲，Riemann積分早就被淘汰了．

之所以在半個世紀(jì)中數(shù)學(xué)分析教學(xué)內(nèi)容的改變?nèi)绱司徛?，?dāng)然有它的客觀原因．阻滯數(shù)學(xué)分析教學(xué)內(nèi)容改變的原因短時間內(nèi)很難有大幅度的變化，因而數(shù)學(xué)分析教學(xué)內(nèi)容的改變今后仍然將是緩慢而局部的．由于數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)應(yīng)用的發(fā)展將以很高的速度進(jìn)行下去，對今后攻讀數(shù)學(xué)的學(xué)生的要求將會愈來愈高，數(shù)學(xué)分析教學(xué)內(nèi)容的改變，雖很緩慢，但將不依人們的意志為轉(zhuǎn)移地繼續(xù)進(jìn)行下去．無論如何，極難想象的是，在已經(jīng)開始改變的好的或較好的大學(xué)中這種數(shù)學(xué)分析教學(xué)內(nèi)容緩慢改變的趨勢會突然來個逆轉(zhuǎn)．

十九世紀(jì)偉大的英國物理學(xué)家J．C．Maxwell在給Tait著的“熱力學(xué)”一書的書評中寫下的下面的話也許對于我們面臨的數(shù)學(xué)分析教學(xué)內(nèi)容的改革也值得借鑒：

在通俗讀物中，任何科學(xué)知識都可以見到，但總是以一種十分粗略而含混的形式展現(xiàn)出來．當(dāng)然，這是基于這樣的希望：將科學(xué)概念用大量的通俗語言稀釋后，那些無法接受復(fù)雜概念的讀者也會被科學(xué)詞匯的填飽而心滿意足。這樣，通過粗糙的閱讀，學(xué)生可以不費(fèi)思索地占有許多科學(xué)述語．這種傳授知識的方法給學(xué)生造成的傷害，只有當(dāng)他(她)不得不放棄學(xué)習(xí)一門本來可以很好地學(xué)下去的科學(xué)時才會顯示出來．

專業(yè)著述給人造成的傷害要小得多，因為人們只在必要時才會認(rèn)真閱讀它．在那里，從基本方程的建立到書的結(jié)尾，每一頁都布滿了帶有上標(biāo)和下標(biāo)的符號，沒有一段易懂的英語可以讓讀者喘口氣的．

在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中我學(xué)到的另一點(diǎn)想法是，數(shù)學(xué)分析的發(fā)展是與它的應(yīng)用(特別是在物理學(xué)中的應(yīng)用)的發(fā)展密不可分的．

1972年，美國物理學(xué)家Freeman Dyson在美國數(shù)學(xué)學(xué)會的年會上應(yīng)邀作了題為“錯失的機(jī)遇”的Josiah willard Gibbs講演(Josiah WilIard Gibbs講演是每次美國數(shù)學(xué)學(xué)會的年會上最受人注目的講演，它總是邀請在數(shù)學(xué)或數(shù)學(xué)以外某領(lǐng)域有卓越貢獻(xiàn)的學(xué)者展望他所熟悉的領(lǐng)域未來可能的發(fā)展)．他的講演中的下面這一段話給我留下了深刻印象：

在1687年Newton發(fā)表他的引力動力學(xué)的定律以后，十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家抓住了這些定律，并耙它們發(fā)展成分析動力學(xué)的深刻的數(shù)學(xué)理論．通過Euler，Lagrange和Hamilton的工作，Newton的方程組得到了精辟的分析和理解．在對Newton物理的深入探討中，新的純數(shù)學(xué)分支誕生了．為了研究力學(xué)的極值原理，Lagrange提煉出了變分法．在Euler關(guān)于測地運(yùn)動的工作發(fā)表五十年后，Gauss的微分幾何誕生了．動力學(xué)的Hamihon-Jacobi表述導(dǎo)致Sophus Lie建立了Lie群理論．Newton物理給純數(shù)學(xué)的最后一個禮物是Poincaré對運(yùn)動軌道定性理論的研究催生了近代拓?fù)鋵W(xué)。

遺憾的是十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)家錯失了1865年Maxwell給他們提供的機(jī)遇．假若能像Euler對待Newton力學(xué)方程組那樣專心致志地研究Maxwell方程組的話，他們也許在十九世紀(jì)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了狹義相對論，拓?fù)淙杭捌渚€性表示理論，或者還有雙曲型微分方程組及泛函分析的很大一部分．只要深入研究由Maxwell方程組可能引出的數(shù)學(xué)概念，相當(dāng)一部分二十世紀(jì)的物理學(xué)和數(shù)學(xué)也許已經(jīng)在十九世紀(jì)誕生了．

(1) 1974—1979前民主德國數(shù)學(xué)家H．Triebel在Friedrich—Schiller大學(xué)對同一個班級(跟班)連教五年，講授的內(nèi)容是數(shù)學(xué)分析和它在物理中的應(yīng)用．1981年出版了“Analysis und mathematische Physik”一書，這是H．Triebel五年教學(xué)內(nèi)容的詳細(xì)大綱，包含了全部講授的定義，定理，注解，只不過沒有定理的證明．它的數(shù)學(xué)內(nèi)容有：一元微積分，多元微積分，常微分方程理論，變分法，測度與積分的理論，復(fù)分析，三維空間的曲線與曲面，Banach空間與Hilbert空間，Banach空間上的緊算子，Riesz-Schauder理論，F(xiàn)redholm積分方程，Hilbert空問上的自伴算子的譜理論，廣義函數(shù)及其Fourier變換，正交級數(shù)及正交多項式，Laplace-Poisson方程，波方程，熱傳導(dǎo)方程的分離變量法，偏微分方程的基本解，微分流形，微分形式，流形上的微積分，流形上的廣義函數(shù)，奇點(diǎn)理論等．它的物理內(nèi)容有：經(jīng)典力學(xué)原理，平面流的流體力學(xué)，經(jīng)典場論，電動力學(xué)的Maxwell方程組，時空的Lorentz群，狹義相對論，量子力學(xué)原理(包括，Hilbert空間模型，量子力學(xué)的統(tǒng)計解釋，氫原子等)，廣義相對論(包括極值原理，運(yùn)動方程，Sehwarzschild解，奇異流形，黑洞，宇宙等)，突變理論在物理中的應(yīng)用等．

(2) D．M．Bressoud：“Second Year Calculus．From Celestial Mechanics to Special Relativity”是作者在Pennsylvania州立大學(xué)的講義．作者在FreemanDyson的鼓勵下寫成了這本多元微積分．它的數(shù)學(xué)內(nèi)容并不深，但是它與力學(xué)，電動力學(xué)及狹義相對論結(jié)合在一起講．使得數(shù)學(xué)與物理的相互影響歷歷在目．

(3)P．Bamberg and S．Sternberg：“A Coursein Mathematics：for Students of Physics”是兩位作者于上世紀(jì)八十年代在Harvard大學(xué)給物理系學(xué)生講的數(shù)學(xué)課的講義．它以微分形式的語言講述多元微積分．雖然有時它并不拘泥于形式邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)，但是它包含的內(nèi)容相當(dāng)豐富，例如上同調(diào)及下同調(diào)理論，Clifford代數(shù)，Hodge星算子等．在物理內(nèi)容方面，它有用微分形式的語言表述靜電場，靜磁場和Maxwell的電磁理論，熱力學(xué)等．這是一本極佳的將數(shù)學(xué)與物理結(jié)合起來講的教科書．雖然它是為學(xué)物理的學(xué)生寫的，對于學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生也具有極高的可讀性．

(4)G?ttingen大學(xué)的H．Grauert，I．Lieb和W．Fischer三人合作編寫的“Differential — und Integralrechnung”的第三冊的最后用微分形式的語言介紹了電磁理論及狹義相對論．

(5) 波蘭數(shù)學(xué)家K．Maurin的“Analysis”的第二冊的“張量分析”這一章中也用微分形式的語言介紹了電磁理論及狹義相對論．

數(shù)學(xué)發(fā)展的途徑多種多樣．有從大量的已有的數(shù)學(xué)內(nèi)容中綜合，分析而提煉出新的數(shù)學(xué)的路．Bourbaki寫的“分析的基本結(jié)構(gòu)”也許就是一例．自從Galois為了研究五次方程的根能否被系數(shù)通過加減乘除和開方等運(yùn)算表示的問題而引進(jìn)群的概念后，人們認(rèn)為做難題是發(fā)現(xiàn)新數(shù)學(xué)的一條道路．努力攻克難題在數(shù)學(xué)界已成為時尚．一個也許更古老的途徑就是從現(xiàn)實世界中，例如物理及力學(xué)中，尋覓數(shù)學(xué)發(fā)展的源泉．生于十六世紀(jì)卒于十七世紀(jì)的偉大的意大利科學(xué)家Galilei Galileo說過：

大自然這部巨著是用數(shù)學(xué)的語言寫成的．

十七世紀(jì)前半葉的法國科學(xué)家Blaise Pascal也說過：

與大自然提供的素材的廣度與深度相比，人類的想象力常顯得那樣蒼白．

Galilei Galileo和Blaise Pascal的這兩句話也許代表文藝復(fù)興時代近代科學(xué)剛剛起步時的科學(xué)家樸素的思維．上面舉到的Triebel等在教學(xué)中的努力也許就是想讓年輕的攻讀數(shù)學(xué)的學(xué)生不要忘卻這個樸素的思維．當(dāng)然這不是那樣容易成功的．這需要很多其它工作的配合，而且這種成功的到來有時需要耐心地等待好幾代．

本文摘自《高等數(shù)學(xué)研究》2010年13期