等這個(gè) A273916 數(shù)列 (0, 4, 7, 9, 11, 12, 12, 14, 15, 16, 16, 18, 19, 20, 22, 24, …) 通過申請(qǐng)真是一段漫長(zhǎng)的時(shí)間，現(xiàn)在終于通過申請(qǐng)，那就留下它的故事，激勵(lì)有研究興趣的朋友繼續(xù)努力。 

話說從頭……

今（2016）年二月我提出一個(gè)數(shù)學(xué)考題四子三聯(lián)機(jī)：

像五子棋一樣，在圍棋盤上只要四子就可以一聯(lián)機(jī)，可以直線、橫線、45 度斜線，請(qǐng)問最少需要幾顆子可以排列三聯(lián)機(jī)？

這個(gè)考題的由來是我的小朋友在小學(xué)時(shí)，與同學(xué)玩 4 x 4 賓果游戲，當(dāng)時(shí)他認(rèn)為產(chǎn)生三條聯(lián)機(jī)最少需要十個(gè)棋子才能達(dá)成。事隔多年后，他突然想通其實(shí)只要九顆棋子就可以三聯(lián)機(jī)，然后就考問我這個(gè)問題。當(dāng)這問題被貼文到研發(fā)養(yǎng)成所的訓(xùn)練數(shù)學(xué)感系列文章，經(jīng)過熱烈討論之后，發(fā)現(xiàn)四子聯(lián)機(jī)問題隱藏著一個(gè)還未被發(fā)現(xiàn)的數(shù)列，因而這系列數(shù)列研究從此展開。 

個(gè)人覺得，像我們業(yè)余愛好者找數(shù)列，采一起合作方式比較有趣，每個(gè)人可以利用自己的專長(zhǎng)來幫忙，比單打獨(dú)斗好多了，因此邀請(qǐng)參與討論的香港孫老師及臺(tái)灣國(guó)中生赤子西瓜一起進(jìn)行后續(xù)的研究，可惜我的小朋友沒興趣。

申請(qǐng)整數(shù)數(shù)列在線大全OEIS

整數(shù)數(shù)列在線大全（OEIS）的數(shù)列申請(qǐng)基本流程如下：

求解數(shù)學(xué)問題，發(fā)現(xiàn)數(shù)列

于 OEIS 查詢這數(shù)列是否被登記

如果還未被登記，你必須以真實(shí)姓名注冊(cè)一個(gè)賬號(hào)

有賬號(hào)后就可以登記新數(shù)列

填寫新數(shù)列相關(guān)數(shù)據(jù)字段，如 Name, Data, Offset, Comments, Links, Example, Prog 等

填好數(shù)據(jù)后要儲(chǔ)存，確認(rèn)沒問題后再提交公告

提交公告后，就有許多數(shù)學(xué)專家?guī)兔磧?nèi)容有無錯(cuò)誤，并提出改善意見

更正及補(bǔ)充內(nèi)容后，儲(chǔ)存好后再次提交

如果內(nèi)容無人提出異議，就等 N. J. A. Sloane（OEIS 創(chuàng)始人）最后核可公告

任何會(huì)員皆可對(duì)自己及他人已經(jīng)核可的數(shù)列內(nèi)容補(bǔ)充或修改，流程同上述 5 ~ 9

首先，我在 Google 云端硬盤開一個(gè)電子表格，大家有空就上線加內(nèi)容，其實(shí)老師及西瓜兩人的貢獻(xiàn)較多，因此作者就決定以他們排名前面。由于剛好那陣子遇到 A274119 等數(shù)列陸續(xù)申請(qǐng)，于是就先將 A273916 登記上去，想等研究比較完備后再提交公開，不過 OEIS 服務(wù)器發(fā)現(xiàn)登記者沒有提交公告時(shí)，超過一個(gè)禮拜就會(huì)自動(dòng)發(fā)出通知一再提醒你去處理，我就是這樣受不了 OEIS 系統(tǒng)一再催促，而提交一個(gè)未完備的數(shù)列。

Sloane 也對(duì)這個(gè)數(shù)列額外提出兩個(gè) Keyword 當(dāng)作評(píng)語：more 及 nice。

more 就是前面講過的未完備數(shù)列，需要再補(bǔ)充后續(xù)數(shù)值。會(huì)出現(xiàn)這樣情形，是因?yàn)檎疫@數(shù)列有其難度，還找不到規(guī)則性，無法依序推導(dǎo)后面的數(shù)值，看上圖就會(huì)明了，這個(gè)最少棋子的 Bingo 游戲，可以二維拓展，更增加它的困難性，找不出規(guī)則程序當(dāng)然就很難寫，因此 PROG 欄也是空白的。

nice 評(píng)語表示這個(gè)數(shù)列讓 Sloane 驚訝，因?yàn)闆]有人想過最少賓果棋子的問題隱藏一個(gè)未知的數(shù)列，而且多變難解，這可能是一個(gè)新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，它也符合 Riordan Prize 有獎(jiǎng)金的待解難題類型，不知道今年還會(huì)不會(huì)有這樣的好康。

從這題目可以了解，數(shù)列會(huì)以各類型式存在，只要有心尋找一定會(huì)發(fā)現(xiàn)它的蹤跡，通常以排列組合型態(tài)最常見。對(duì)于這個(gè)未完備的利豪發(fā)棋牌游戲數(shù)列，我想留給大家把它完成，各位可以參考電子表格研究?jī)?nèi)容，如果想編輯內(nèi)容，請(qǐng)留下姓名及 Gmail 才會(huì)開放。

孫老師已經(jīng)研究出這賓果棋子的最終型式，是每加四子可以增加三條線，關(guān)于這點(diǎn) IBM 的研究員 Chai Wah Wu 以 Fekete’s subadditive lemma 證明，而且他還補(bǔ)充了這數(shù)列重要特性，a(n) >= n and a(n+m) <= a(n)+a(m), i.e., a(16) <= a(10)+a(6) = 28。但是中間空缺的部分還需要大家找找看。

關(guān)于程序，我想有兩種方法解，一個(gè)是采排列組合布局，另一個(gè)是具有某種層度的人工智能下棋程序來求解這最少賓果棋子問題，留給程序高手來表現(xiàn)。另外數(shù)學(xué)公式也缺乏，不論解出哪一部分的人不要忘記在 OEIS 留名，數(shù)學(xué)史將記錄這一切。