一、學習目標

通過本章的學習，力求達到如下目標：

領會基本活動經驗的含義，能夠例舉中小學數(shù)學課程教學中的一些基本活動經驗；識記基本活動經驗與相關概念之間的關系，能夠識別基本活動經驗的主要成分和主要功能； 領會基本活動經驗的功能和教育價值，并能識別基本活動經驗在中小學數(shù)學課程教材中的具體體現(xiàn)；領會基本活動經驗的主要類別，能結合中小學數(shù)學課程內容不同領域的特點，在數(shù)學日常教學中，應用有關的知識技能，幫助學生形成和積累基本活動經驗。

在此基礎上，運用基本活動經驗的有關理論，分析和處理初中數(shù)學的問題。

二、內容提要

基本活動經驗是近年來在《全日制義務教育數(shù)學課程標準》的修訂過程中提出的新觀點、新概念，目前已經變成支撐我國初中數(shù)學課程的“四基”之一，即基礎知識、基本技能、基本活動經驗和基本思想。

本章主要分析基本活動經驗的含義、主要成分和主要功能，討論基本活動經驗的功能和教育價值，識別基本活動經驗在中小學數(shù)學課程教學中的具體體現(xiàn)，進而揭示基本活動經驗在初中數(shù)學不同領域中的具體表現(xiàn)形式，以便于將來能在初中數(shù)學教學中主動培養(yǎng)學生的基本活動經驗。

三、 學法指導

基本活動經驗是近年來才出現(xiàn)在義務教育階段數(shù)學課程教學中的新概念，但是，業(yè)已成為義務教育數(shù)學課程的四個基本內容之一，即基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，成為義務教育階段數(shù)學課程教學的核心概念和需要培養(yǎng)的核心目標之一。

建議學習者結合本章列舉的大量案例，反思小學、初中數(shù)學課程教學實際，尤其是典型的初中數(shù)學課堂教學案例以及數(shù)學教科書典型案例，揣摩基本活動經驗在小學、初中數(shù)學課程中的具體體現(xiàn)形式，進而建構讀者自己的理解和認識。

第一節(jié) 基本活動經驗的基本概念

一、如何里理解“經驗”的基本含義？

在通常意義下，所謂經驗，就是按照事實原樣而感知到的內容。哲學中的“經驗”通常有兩種解釋，即來源于感官、知覺的觀念，和來源于反思的（即我們由內省而知道的）那些觀念?！度罩屏x務教育數(shù)學課程標準》（修訂稿）指出，“義務教育數(shù)學課程的目標在于，獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗?！边@里的基本活動經驗，實際上是指“學生親自或間接經歷了活動過程而獲得的經驗”。

二、 如何理解基本活動經驗的含義？

對于學生而言，所謂數(shù)學的基本活動經驗，是指，圍繞特定的數(shù)學課程教學目標，學生經歷了與數(shù)學課程教學內容密切相關的數(shù)學活動之后，所留下的、有關數(shù)學活動的直接感受、體驗和個人感悟。

基本活動經驗是經驗的一種，屬于學習數(shù)學課程過程中，學生與數(shù)學學習活動相互作用的結果。由于經驗的層次、水平（特別是，由于經驗獲得者的抽象、概括和反思的水平）所限，個體之間的數(shù)學活動經驗有較大差異，即使在同一個活動中，不同的個體所獲得的基本活動經驗也會有所不同，這往往取決于個體對活動的感知水平與反思能力。

學生的基本活動經驗包含三類基本內容：

1 ．一種體驗性的內容

這種經驗成分更多地表現(xiàn)為，學生在經歷了活動之后在自己的情感、意志世界所形成的有關數(shù)學學科活動的、穩(wěn)定的心理傾向。

在初中數(shù)據(jù)統(tǒng)計活動初步中，《課程標準》（實驗稿）明確提出：“（ 1 ）能按照給定的標準或選擇某個標準（如數(shù)量、形狀、顏色）對物體進行比較、排列和分類；在比較、排列、分類的活動中，體驗活動結果在同一標準下的一致性、不同標準下的多樣性。（ 2 ）對數(shù)據(jù)的收集、整理、描述和分析過程有所體驗．”，在這里，體驗性的內容一方面包含在“體驗活動結果在同一標準下的一致性、不同標準下的多樣性”，另一方面表現(xiàn)在“體驗數(shù)據(jù)的收集、整理、描述和分析過程”。

作為“基本活動經驗”的一個重要成分，“體驗性的內容”屬于一種典型的情感、意志成分，有時甚至帶有個人的人格色彩。其主體是個體對于相應活動而感覺、知覺到的直接內容（屬于直接經驗），部分屬于直接經驗基礎之上經過初步體驗及其簡單加工的結果。

在初中“概率”的學習中，需要學生“體驗事件發(fā)生的等可能性以及游戲規(guī)則的公平性，會求一些簡單事件發(fā)生的可能性”，而在“調查兩支球隊以往比賽的勝負情況，預測下場比賽誰獲勝的可能性大，并說明自己的理由”的活動中，具有典型的體驗性色彩。

在初中課題學習中，需要學生積累“綜合運用數(shù)與運算、空間與圖形、統(tǒng)計與概率等相關知識解決一些簡單實際問題的成功體驗”，進而“初步樹立運用數(shù)學解決問題的自信心”。

2 ．一種方法性內容

即學生獲得了這種活動經驗之后，積累了開展類似活動的一種或幾種基本的方法。這種策略既有方法學知識的意味，更有學生對這些策略、方法的自我詮釋、自我解讀。它屬于典型的 個體知識，而不是作為嚴格的數(shù)學學科知識出現(xiàn)的一般知識。

例如，在下面的活動活動中，不同的學生活的方法性的經驗彼此往往不同：

搭 1個 正方體需要 4根小棒（如圖 9-1所示）。按照圖示的方式，搭 2個正方形需要多少根小棒？搭三個正方形需要幾根小棒？搭 x根，需要幾根小棒？

有的學生是這樣思考的：

搭第一個正方形需要 4根，一個每搭一個需要 3根，因而，搭 x個需要 4+3（ x-1）根。

而有的學生是這樣思考的：

將圖形中的小棒看作三排：第一排有 x個正方形的每個最上面的邊（橫者排的），共 x條邊；第二排是 x個正方形的邊（豎者排的，左右的），共 x+1條邊；第三排有 x個正方形的每個最下面的邊（橫者排的），共 x條邊。因而，共 x+（ x+1） +x條。

而有的學生是這樣思考的：

先放 1根小棒，每搭一個正方形需要 3根，因而，搭 x個需要 1+3x根。

也有的學生是這樣思考的：

每個正方形需要 4根小棒，每兩個這個正方形之間重復一根，因而，重復了 x-1根，從而，總共有 4x-（ x-1）根。

顯然，在這里，不同的學生其經歷這種活動之后所留下的方法性的經驗是有所差異的，有的善于想象（例如，第四種做法），有的善于分類（例如，第二種），而有的善于將總結共性規(guī)律，如第一種、第三種方法。幾種思考方法有一個共性的特點，這就是，必須從具體的單元分析，尋找出規(guī)律性的內容。

3 ．一種模式性、策略性的內容

這種內容與第二類類似，都是在學生獲得了這種活動的初步經驗之后，經過個人反省而提升出來的、開展類似活動的一種或幾種基本模式、基本策略。它仍屬于典型的 個體知識。

例如，下表是某月的月歷：

（ 1 ）彩色方框中的 9 個數(shù)之和與該方框正中間的數(shù)有什么關系？

（ 2 ）這個關系對其它方框成立嗎？你能用代數(shù)式表示這個關系嗎？

（ 3 ）這個關系對任何一個月的月歷都成立嗎？為什么？

（ 4 ）你還能提出哪些問題？

在解決上面的問題過程中，幾乎所有的學生都會有一種驚奇，這就是，幾乎天天見到的月歷中竟然有這樣奇妙的規(guī)律，這種經驗屬于“體驗性內容”，而計算彩色方框中的 9 個數(shù)之和時，由于九個數(shù)字的平均數(shù)是最中間的數(shù)字，因而，可以直接用這個數(shù)字乘以九，就得到九個數(shù)字的和。而在解決類似問題時，也需要先思考，找到規(guī)律，再動手解決問題，而不需要貿然動手計算，那樣話往往事倍功半，這種經驗就是基本活動經驗的第三成份，即“方法性策略性的內容”。

例如，在月歷中選擇兩行兩列的四個數(shù)字，四個數(shù)字交叉相乘的積再做減法，就得到一個固定的數(shù)字 7 ，譬如， 1 、 2 、 8 、 9 ，交叉相乘再作差的結果是 2 × 8 － 1 × 9 ，即 7 。而更一般的規(guī)律是，對于兩行兩列的四個數(shù) a 、 a+1 、 a+7 、 a+8 ，交叉相乘再作差的結果是 (a+1) × (a+7) － a × (a+8) ，即 7 ，與 a 無關。

從哲學上講，在數(shù)學學科教、學中，讓學生獲得數(shù)學的基本活動經驗，本質上是讓學生獲得數(shù)學學科直觀，這是學生獲得數(shù)學發(fā)展的源泉。無論是作為普適性方法而出現(xiàn)的經驗，還是作為模式性、策略性內容出現(xiàn)的經驗，都是建立在直接的、感性的經驗基礎之上，經過個體的自我反省（反思）而形成的，它們帶有明顯的“再抽象”、再加工痕跡，都是基于個體對活動過程的再現(xiàn)所致。因而，數(shù)學學習必須誘發(fā)學生主動參與，積極思考，教師的使命和責任在于幫助學生建構其數(shù)學理解。

三、關于基本活動經驗的有關理論（學說）

20 世紀 80 年代初期 , 美國組織行為學教授科爾比在總結杜威、勒溫、皮亞杰關于經驗學習研究理論的基礎上提出的經驗學習理論在學習領域中有著廣泛的應用。它的基本觀點是 :

知識是經驗的構成與再構成 , 學習是“始于經驗、然后回歸于經驗”、“改造或者轉化經驗、創(chuàng)造知識”的過程。在這個過程中 , 學習從經驗的“領悟”和“轉化”兩個相互獨立的維度而展開 : 通過參與具體活動直接領悟、創(chuàng)造活動經驗獲得具體經驗 , 然后對所經歷的活動通過回顧、反思等內在的思考 , 內化為能夠理解的合乎邏輯的、抽象的經驗 , 并將之在新情境中進行證實和運用 , 重新領悟和創(chuàng)造新的經驗 , 在這樣不斷循環(huán)往復的連續(xù)過程中實現(xiàn)經驗的創(chuàng)造、領悟與轉化。處于理想狀態(tài)的經驗至少要經過這樣四階段 ( 具體經驗 , 反思性觀察 , 抽象概括 , 主動實踐 ) 的循環(huán)過程才能完成。其中 , 各個階段經驗的獲得或者轉化過程又受到學習者學習風格的影響。經驗學習理論中四階段的依次循環(huán)往復的目的既是強化和提升獲得的經驗 , 也是方便學習者能夠根據(jù)各種學習情境靈活做出“選擇” , 以適應于學習環(huán)境 , 并在各種學習風格領域都得到均衡的發(fā)展 ( 如圖 1 科爾比“經驗學習過程”環(huán)形圖 ) 。

“經驗之塔”理論是關于個體經驗獲得與發(fā)展的理論研究和實踐經驗總結相結合的一種關于學習經驗分類的理論模型 , 同時也是一種具有很強實用性的教學操作指南。

20 世紀上半葉 , 戴爾等提出了關于視聽教育的“經驗之塔”理論 , 并在 20 世紀 60 年代末進一步完善了該理論。他認為，經驗就是學習的途徑 , 一切學習應“從經驗中學習” , 最好是從直接參與的動作性經驗學習開始 , 以獲得直接經驗。當直接經驗無法獲得時 , 應該尋求觀察的經驗作為“替代性經驗”以彌補、替代直接經驗的不足。戴爾進一步指出 , 學習應當盡可能始于具體經驗 , 但不能止于具體經驗 , 教師應當啟發(fā)和引導學生把具體經驗向抽象的、概念性的經驗轉化 , 使其獲得和發(fā)展抽象經驗。從而 , 戴爾著眼于研究提供給學生刺激物的特性 , 依據(jù)學習經驗和教育媒體呈現(xiàn)的基本形態(tài)按照從具體到抽象、從實物到印像和符號的思路 , 把人們獲取經驗的途徑按照從實際操作出發(fā) , 到采用視聽教具、視聽方法直至抽象符號的抽象程度的層級變化和發(fā)展走向的順序 , 形象地描述成一個從塔的底部向上累積的具有十二個層次的“塔”的模型 , 并稱之為“經驗之塔”。在塔的不同層級 , 學生獲得經驗的方式不同 : 從塔底向上的方向 , 在塔的一、二、三層 , 學生是實際經驗的參與者 , 從“做中學”獲得直接經驗 ； 四、五、六層 , 學生作為實際事件的觀察者 ； 七、八、九、十層 , 學生作為實際事件的印像性表象的觀察者 , 學生從四層到十層獲得觀察的經驗 ； 到十一、十二層時 , 學生作為符號世界的參與者和觀察者 , 獲得抽象形態(tài)的經驗 ( 如圖 9.1-9 所示 ) 。該模型中 , 越是靠近“塔”底的經驗越具體 , 越是靠近“塔”頂?shù)慕涷炘健俺橄蟾拍罨薄Ｖ睦韺W家布魯納 (J. S. Bruner) 十分肯定戴爾關于有效的學習應該盡可能從直接經驗的學習開始但又應向抽象的、概念性的經驗提升的觀點 , 他進一步認為學生接觸各種學習材料的順序對達成學習目標有直接的影響 , 并堅持“教學的過程首先應從直接經驗入手 , 然后是經驗的映像性表象 , 再過渡到經驗的符號性表象”的觀點。他著眼于學生的心理操作特性 , 把戴爾的“經驗之塔”中十多個不同層次的學習經驗進一步濃縮為三個類別 , 并從教學活動的角度設計了一個與戴爾“經驗之塔”平行的說明性圖解 ( 如圖 9.1-10 所示 ) 。

首先 , 他將各種教學活動歸納為動作性、映像性和抽象性三個類別 , 塔的最下層是動作性學習 , 包括各種直接的、參與性的學習活動 , 學生必須親身經歷去獲得真實的感受 ; 塔的中間層次是映像性學習 , 是指用直觀表象操作代替實物操作的學習 , 包括各種形象直觀、聲音直觀等可用多媒體技術表現(xiàn)出的視聽材料的學習 ; 頂層是抽象性學習 , 它包括“經驗之塔”中最上面兩層所涉及的媒體。

科爾比的經驗學習理論表明 , 經驗學習是指學習者通過經歷各種情境獲得經驗 , 并將其融入自身的經驗之中進行概括化 , 然后再將其應用于新的實踐再獲得新經驗的過程。新經驗獲得的關鍵不僅是通過全身心地投入到活動中搜集信息獲得具體經驗 , 更重要的是對這些具體經驗的評價、反省和再應用。但是 , 在通常的教學中 , 經驗的教學常常并沒有經過上述的完整四階段 : 有時我們只是讓學生經歷了某些活動 , 卻沒有及時對活動進行回顧、觀察、反思和提煉 , 學生并沒有真正從自己經歷的活動中領悟到應該獲得的經驗 ; 有時即使學生對活動過程進行了及時的反思和總結 , 卻對活動的內容又沒有達到理解的程度 , 也很少主動在新情境中去驗證和應用。因此 , 學生獲得的經驗常常是欠缺的、不完整的。科爾比經驗學習理論的不足是 , 過分強調了學習者個體的認知作用 , 相對忽視了活動中的社會因素比如師生關系、生生關系以及學習共同體的相互影響 , 無形之中將獲得經驗的主體絕對化了。反過來看 , 這種不足 , 也啟發(fā)我們在教學中要積極創(chuàng)造條件 , 充分發(fā)揮社會因素和環(huán)境因素在學生獲得經驗過程中的積極作用。

戴爾“經驗之塔”理論對各個層次經驗的特性和獲得途徑以及視覺媒體、視覺教具的分類、視覺教材的使用的分析、尤其是布魯納從學生掌握經驗的心理特性出發(fā)對該模型進行的簡化 , 對教師在操作層面上如何選擇教學媒體的策略和方法具有很強的指導意義。隨著現(xiàn)代計算機技術、多媒體教學手段在基礎教育中的廣泛應用 , “經驗之塔”理論強調的為學生提供直觀、生動、十分接近學生生活現(xiàn)實的多樣化情境、提供豐富的“替代性經驗”等觀點 , 越來越受到教育者尤其是素以較強抽象性著稱的數(shù)學學科的教學工作者的重視。

第二節(jié) 基本活動經驗與相關概念的關系

作為基礎教育數(shù)學課程教學中的重要概念，基本活動經驗已經成為數(shù)學課程教學中的核心概念，并于其他核心概念一起發(fā)揮著主導作用。為此，理清基本活動經驗與相關概念的關聯(lián)，十分必要。

一、 如何理解基本活動經驗與數(shù)學活動、基礎知識、基本技能和基本思想的關系？

在數(shù)學學習中，基本活動經驗是對有關數(shù)學活動過程的個體反映，是個體針對相關數(shù)學活動過程的直接感知及其之上的自我反省的結果。 數(shù)學課程教學不僅要教給學生知識，更要幫助學生形成智慧。知識的主要載體是書本，智慧則形成于經驗的形成和積累的過程之中，形成于經歷的數(shù)學活動之中，諸如教師為學生創(chuàng)造的思考的過程、探究的過程、抽象的過程、預測的過程、推理的過程、反思的過程等。智慧形成于學生應用所學的各類知識，發(fā)現(xiàn)問題、提出數(shù)學問題并加以分析和解決問題的各種教育教學實踐活動之中。

因而，數(shù)學的基本活動經驗直接來源于數(shù)學活動之中。 在經歷同一個數(shù)學活動過程之中，不同的人所獲得的基本活動經驗往往有所不同，往往存在著個體差異。這些差異，一方面來自于個體的感覺、知覺的水平差異，另一方面，這些差異與個體針對感覺、知覺到的內容的自我反省的水平和深廣度密切相關。與其同時，這些差異也與個體參與活動的參與程度有著必然的關聯(lián)。

只有學生親身參與數(shù)學活動，不僅有行為參與，而且有認知參與，更有情感參與，學生才能活動深刻的基本活動經驗。

二、如何理解基本活動經驗與活動過程的關系？

基本活動經驗是對有關數(shù)學活動過程的個體反映，是個體針對相關數(shù)學活動過程的直接感知及其之上的自我反省的結果。

從培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的角度說，數(shù)學課程教學不僅要教給學生知識，更要幫助學生形成智慧。知識的主要載體是書本，智慧則形成于經驗的形成和積累的過程之中，形成于經歷的數(shù)學活動之中，諸如教師為學生創(chuàng)造的思考的過程、探究的過程、抽象的過程、預測的過程、推理的過程、反思的過程等。智慧形成于學生應用所學的各類知識，發(fā)現(xiàn)問題、提出數(shù)學問題并加以分析和解決問題的各種教育教學實踐活動之中。

在經歷同一個數(shù)學活動過程之中，不同的人所獲得的基本活動經驗往往有所不同，往往存在著個體差異。這些差異，一方面來自于個體的感覺、知覺的水平差異，另一方面，這些差異與個體針對感覺、知覺到的內容的自我反省的水平和深廣度密切相關。與其同時，這些差異也與個體參與活動的參與程度有著必然的關聯(lián)。而高層次的參與，既包含著行為參與，也包含著認知參與（思維參與）、情感參與，高層次的參與總與高水平的思維活動相伴。

在這里， 行為參與指學生在數(shù)學教學中的行為努力程度，它包括了課堂表現(xiàn)（努力和鉆研兩個變量）和時間參與（每天完成作業(yè)時間和每周補充學習時間）兩個方面；認知參與是指學生在數(shù)學教學過程中反映其思維水平的學習策略，它分為深層次、淺層次和依賴策略的三種變量；情感參與是學生在數(shù)學教學中的情感體驗，它分為樂趣感、成功感、焦慮感和厭倦感四個變量。

三、如何理解經歷、體驗、經驗的區(qū)別和聯(lián)系？

基本活動經驗與經歷、體驗密切相關，而彼此又有一些區(qū)別和關聯(lián)。

人的經歷可以分兩種，即直接經歷與和間接經歷，其中，前者是主體親身見過、做過或遭遇過某事件的過程而獲得的經歷，后者是主體從他人處聽說或從其他媒介得到他人的經歷。

而體驗是一種感受經歷的過程，是通過主體親身體驗事件發(fā)生的過程，從而獲得經歷，讓主體在實踐中實現(xiàn)自我領域的充實，感受經歷的產生，領悟經歷產生的意義，并在反思中進行情感的升華，因而，體驗必須從直接經歷中得到。

體驗具有很強的、個體的情感色彩，停留在經歷本身的感性的層面。

為了提高到認知層面，形成主體自己的新的認知結構，尚需要主體對體驗、親身感受，進行抽象、去粗取精，提升為具有一般意義的 “模式 ”，這就得到了直接經驗，亦即，直接經驗是從體驗、經歷中總結而來，是理性的、可以推廣、遷移或類比的模式，而間接經驗是主體以他人的間接體驗和經歷為抽象對象而獲得的經驗。因而，經驗既可以從直接經歷中獲得也可以從間接經歷中獲得。

經歷是為了進行體驗，而體驗不是目的，是為了獲得直接的經驗和感受，增強對知識、技能的理解，實現(xiàn)主體在情感、態(tài)度、價值觀上的升華和發(fā)展，同時，能夠對知識技能的理解和認識予以強化。然而，并不是所有的體驗都會抽象提升為經驗，若沒有對體驗抽象提取，也可能只是將情感升華為信念。主體在情感升華過程中，會和其對事件的原有興趣進行對比，如果情感升華與原有興趣一致，那么，其信念將會被強化，反之，則會被弱化。也就是說，體驗其實也不是萬能的。

第三節(jié) 基本活動經驗的教育價值與基本功能

經驗是課程設計的基礎和內容來源，是學生構建理解的直接素材。 在人的可持續(xù)發(fā)展中，直觀能力和思維水平起主要作用。而只有將“先天的存在與后天的經驗”有機結合才能形成人的直觀能力，進而實現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展。這里的“先天的存在”主要是指學生身心的原有的物質基礎，而“后天的經驗”則是指學生在生活中和數(shù)學學習中所獲得的生活經驗和數(shù)學活動經驗。

因而， 讓學生獲得必要的基本活動經驗，就成為基礎教育課程的重要目標之一，也是學生獲得終生可持續(xù)發(fā)展的基本源泉。

一、如何理解基本活動經驗的基本功能？

正如前文所分析的，基本活動經驗是數(shù)學學習的重要目標，也是數(shù)學學習的階段性目標。獲得基本活動經驗，不僅是學生數(shù)學學習的重要目標之一，而且，對于基礎知識、基本技能和基本思想的達成，也具有十分重要的影響。這正是基本活動經驗的基本功能的具體體現(xiàn)。

（一）有些經驗的獲得可以強化對有關知識、技能的理解，個體的基本活動經驗是構建個人理解、形成理解性掌握不可缺少的重要素材

在數(shù)學學習過程中，基本活動經驗是學生對于數(shù)學活動內容、活動形式進行抽象概括的結果，這是構建個人理解、形成理解性掌握不可缺少的重要素材。

一方面，基本活動經驗的獲得，時?？梢源龠M、強化有關知識的理解和掌握。

例如，“利用一張紙，折出一組相互平行的折痕”的折紙活動，可以深化對于平行、垂直概念的理解和認識：如圖 9.3-1，將一張矩形的紙對折，得到一個折痕 AB；在折痕上分別取點 C，點 D，過這點 C、點 D分別將紙對折，使得第一條折痕 AB位于點 C、點 D兩側的部分重合；打開并將其鋪平。

此時，紙上的過點 C、 D的兩條折痕就是一組平行線。

事實上，第一條折痕 AB是一條直線段，沿其上的點 C將折痕對折，等價于將過平角 ∠ACD二等分，也就是，過點 C的折痕相交成 90 0角，從而兩條折痕互相垂直；同理，過 D點的折痕也互相垂直。進而，第二條、第三條折痕互相平行。從初中數(shù)學課堂教學實際來說，有的學生很有可能說“不用折疊了，最初的紙的兩條相對的邊緣線就是相互平行”，但是，此時的他很難說出其充分的理由。事實上，僅僅說“相鄰的兩條邊緣線構成 90度角”是不夠的，這里的“ 90度角 ”僅僅依靠目測是無法確認其真實性的。這也意味著，雖然不同的學生采用不同的操作方式方法，但是，作為數(shù)學教師，我們必須清楚，不同的操作方式其背后的數(shù)學含量往往是不同的。

無論如何，具有這種方式的折紙的直接經驗，對于形成有關“垂直”、平角與直角之間的關系的深刻理解，往往起到明顯的促進作用。

另一方面，基本活動經驗是數(shù)學活動的派生物，對于那些技能性的學習內容而言，技能性的操作活動本身就可以積淀一些經驗，而這些經驗往往與相應的技能密不可分。例如，“利用一根繩子、一個粉筆頭和一個圖釘，在黑板上畫出一個圓”的活動，可以深化對于圓的畫圖技能的理解和把握，其中，活動經驗起主要作用。事實上，在積累“畫圓”經驗的過程中，最為核心的內容就是“要保持粉筆頭與圖釘之間的距離保持不變”，這恰恰是畫圓技能的核心。

（二）基本活動經驗可以強化動機、情感、態(tài)度、價值觀，而有些學科的基本活動經驗有助于凈化心靈、完善人格

基本活動經驗之中含有體驗性成分，而這些體驗性的經驗，對于個體從事相關的活動具有重要的誘導和指向作用，如果個體對于發(fā)現(xiàn)新知所形成的經驗和體驗已經凝聚成穩(wěn)定的情緒特征（如，興趣、愛好），那么，這些情緒特征對于進一步開展類似的活動具有導向作用。因而，讓學生經歷科學研究的基本過程，“重走科學家走過的發(fā)現(xiàn)之路”，這種經驗的積累，對于培養(yǎng)中小學生的創(chuàng)新素養(yǎng)具有不可替代的作用，這正如一個論斷所表明的觀點，“一個人在 18歲之前從來沒有獨立地發(fā)現(xiàn)一個問題、提出一個學科問題，進而深刻地思考過一個問題，這個人在成人階段成為創(chuàng)新人才是不可能的”。

不僅如此，不同學科的基本活動經驗，對于學生良好的人格塑造具有不可替代作用——數(shù)學的基本活動經驗有助于學生形成嚴謹、務實的思維習慣，定性思考、定量把握往往成為數(shù)學活動經驗積淀和升華的結果之一；哲學思考的活動經驗，往往可以誘發(fā)學生慎思、明事理，辯證地處理問題；…。因而，引導學生積累活動經驗并進行及時的積淀升華，就成為基礎教育課程教學的重要目標之一，而不同學科的基本活動經驗的均衡發(fā)展，才有可能實現(xiàn)學生的全面發(fā)展。

二、如何理解基本活動經驗的課程教學價值？

人類的一切知識都是從直觀開始的，從那里進到概念，而以理念結束。直觀能力的存在是先天的，但一個好的直觀能力的養(yǎng)成卻是依賴于經驗的積累。直觀的培養(yǎng)更依賴本人參與其中的活動，包括觀察、思考、判斷等等。如此，積累活動經驗就成為學校教育的一個更加直接的目標和追 求。

（一）獲得必要的學科活動經驗和與學科學習有關的生活經驗，是進行科學建構、實現(xiàn)學生在學科上的全面發(fā)展的基本前提。

一般說來，數(shù)學知識的形成依賴于直觀，數(shù)學知識的確立依賴于推理 ②。不僅僅是數(shù)學，在許多學科中，對于結果的預測和對于原因的探究，起步階段依賴的都是直觀，而數(shù)學 直觀能力的培養(yǎng)依賴于數(shù)學活動經驗的積累。

因而，讓學生獲得必要的數(shù)學活動經驗，以及與數(shù)學學習有關的生活經驗，是建構理解、進而實現(xiàn)學生在數(shù)學學科上的全面發(fā)展的基本前提。這些經驗，不僅是概念、定理、定律等基本內容建構的原始素材，而且也是學生數(shù)學直觀能力發(fā)展的土壤，而其中的基本活動經驗的全面性、準確性，對于學生形成有關數(shù)學學科的基本素養(yǎng)、能力，具有十分重要的影響。

風格等等，對于自我建構起主要作用，而用于建構理解的那些素材性經驗的多寡優(yōu)劣，對于學生學習的效率起重要影響。

（二）一定數(shù)量的基本活動經驗，是實現(xiàn)過程與方法目標的基本載體

自實施基礎教育新課程以來，人們對于“知識與技能”、“過程與方法”、“情感、態(tài)度價值觀”三維目標的認識，基本上停留在這樣的理解，即， “過程與方法 ”突出的是讓學生 “學會學習 ”，使學生獲得知識的過程同時成為獲得學習方法和能力發(fā)展的過程。

這種理解并沒有錯誤，但是，這種理解的深度是不夠的。我們認為，“過程與方法”的確突出“學會學習”，但是，達到“學會學習” 最直接的學習結果就是讓學生積累基本的活動經驗，獲得學習方法和能力發(fā)展。其中，有些活動經驗進一步發(fā)展為學科思維方式、思考模式，有些活動經驗積淀為策略性知識、學科的基本思想，而有些活動經驗則積淀為學科智慧、學科能力。

與其同時，在積累活動經驗的過程中，學生所掌握的學習方法也往往依附于活動經驗而存在，至少具有典型的個性化特征，具有學生對于這些方法的個人詮釋的特征，而這種詮釋往往與活動經驗交織在一起。因而，學生是課程實施中的主體，他們在這一過程中的親身體驗和活動經驗，本身就是一筆財富，將會對其未來發(fā)展起到十分重要的作用。

（三）獲得基本活動經驗，是“實踐與綜合”領域的基本目標之一

眾所周知，各科課程標準將本學科內的“實踐與綜合”領域，以及作為一門課程出現(xiàn)的“綜合實踐”的課程目標定位在“綜合運用所學知識分析問題、解決問題”，因而，多數(shù)人士認為，這個領域僅僅是“綜合應用”而已。

其實不然，這個領域除了 “綜合應用 ”之外，一個十分重要的課程目標就是 “獲得基本活動經驗 ”，這種經驗就是發(fā)現(xiàn)問題、提出（學科）問題，進而分析問題、解決問題的直接經驗，其中，往往既包括了歸納式（即合情推理式）的經驗，也包含了邏輯、演繹推理式的經驗。前者往往體現(xiàn)在將 “現(xiàn)實問題學科化 ”的過程之中，這種建立模型的思維過程積淀下歸納、抽象的經驗；而后者體現(xiàn)在將已經建立的模型、已經發(fā)現(xiàn)的問題，運用本學科的有關原理、方法加以解決的過程，這個過程通常是演繹式的，是從一般到特殊的過程。

在初中數(shù)學中，“ 參與 綜合實踐活動，積累綜合運用數(shù)學知識、技能和方法等解決簡單問題的數(shù)學活動經驗”；不僅如此，初中數(shù)學教學還需要根據(jù)具體的數(shù)學教學內容，注意使學生在獲得間接經驗的同時，也能夠有機會獲得直接經驗，即從學生實際出發(fā)，創(chuàng)設有助于學生自主學習的問題情境，引導學生通過實踐、思考、探索、交流等，獲得數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，促使學生主動地、富有個性地學習 ,不斷提高發(fā)現(xiàn)問題和提出數(shù)學問題的能力，以及分析問題和解決問題的能力。

（四）獲得基本活動經驗，是情感態(tài)度價值觀目標實現(xiàn)的必要前提，也有助于知識技能目標的實現(xiàn)

人的思維過程其實是認知、情感、意志相伴的過程，是“情知對稱”的過程。正如美國學者 B.S.布盧姆指出的，“在一門學程中，每個情感目標都伴隨著一個認知目標”。而基本活動經驗之中含有體驗性的成分，這些成分與學習情感、意志密不可分。不僅如此，基本活動經驗既包含著學生進行知識技能學習過程中“思考的經驗”和體驗，也包含著學生對于知識技能的自我詮釋。因而，獲得基本活動經驗，就成為情感態(tài)度價值觀目標實現(xiàn)的必要前提。

從本質上來說，學生的數(shù)學學習過程是一個自主構建自己對數(shù)學知識的理解的過程：他們帶著自己原有的知識背景、活動經驗和理解走進學習活動，并通過自己的自主與主動的活動，包括獨立思考，與他人交流和反思等，去建構對數(shù)學的理解。 因此，學生數(shù)學學習的過程可以說是一種再創(chuàng)造過程，而且是真正意義上的再創(chuàng)造（指主觀意義上，非客觀意義上）：學生從事對數(shù)學知識的提煉和組織 ---通過對低層次活動本身的分析，把低層次的知識變?yōu)楦咭患墝哟蔚某ＷR，再經過提煉和組織而形成更高一級的知識，如此循環(huán)往復；再把數(shù)學放到現(xiàn)實中去加以使用。在這活動過程之中，獲得數(shù)學活動經驗，對數(shù)學活動經驗的分析與理解，和對獲得過程以及活動方式的反思（元認知），至關重要。

（五）有些經驗直接派生出智慧、方法、思維模式，特別是，積累學生全面的學科活動經驗，有助于全面提高學生的思維水平，更好地培養(yǎng)創(chuàng)新性人才

由思考的經驗、親身探究的經驗，有可能派生出一種思維模式、思維方法。事實上，基本活動經驗之中含有策略性的成分、方法模式性的成分，這些成分對于學生開展創(chuàng)新性活動具有十分重要的奠基作用，特別是，個體已有的關于歸納的活動經驗，對于發(fā)現(xiàn)真理具有重要啟迪作用。相比之下，如果個體已有經驗之中不具備歸納的經驗，那么，他只能習慣于演繹思維方式（即演繹思維的經驗在發(fā)揮作用），讓其發(fā)現(xiàn)新知幾乎是不可能的，真理的發(fā)現(xiàn)畢竟靠歸納思維，而演繹思維的作用在于驗證真理，通常所說的 “一個人 18歲之前沒有獨立思考過一個問題，沒有經歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題進而分析解決問題的全過程，長大以后成為創(chuàng)新人才幾乎是不可能的 ”，正是說明 “思考的經驗 ”的作用和策略性經驗的價值。

從學理上說，一個人創(chuàng)新能力的形成依賴于知識的掌握、思維的訓練和經驗的積累。因而，有計劃地使學生獲得有關歸納思維、演繹思維的基本活動經驗，是培養(yǎng)創(chuàng)新人才所必需的，特別地，全面積累學生的基本活動經驗，將有助于培養(yǎng)和提高學生的歸納思維、演繹思維的水平，進而，提高中小學人才培養(yǎng)的整體水平。

將基本活動經驗確立為基礎教育課程教學的基本目標之一，是對于我國課程理論的進一步完善和現(xiàn)代發(fā)展。

第四節(jié) 基本活動經驗的成分與類別

我們大體上可以把經驗分為感性經驗和邏輯經驗。感性經驗也依賴思考，但更多的是依賴觀察；邏輯經驗也依賴觀察，但更多的是依賴思考。這是關于活動經驗的最基本的分類。

一、如何理解基本活動經驗的“基本”的含義及其具體表現(xiàn)？

基本活動經驗是一個學科、一門課程之中從事相應的學科活動所積淀的經驗，雖然屬于個體知識（即廣義的知識），具有個體特征，但是，這些經驗屬于個體對于這類學科活動的自我詮釋，就群體而言，這些經驗能夠比較全面地反映相應學科活動最基本的活動特征。因而，這里的“基本”是相對于具體的學科而言的，一般而言，每個學科的基本活動經驗都包括 基本的操作經驗、 本學科特有的思維活動經驗、 綜合運用本學科內容進行問題解決的經驗、 思考的經驗等類型。

在義務教育階段數(shù)學課程中，數(shù)學的基本活動經驗具體表現(xiàn)在，基本的幾何操作經驗，基本的數(shù)學思維活動經驗（包括代數(shù)歸納的經驗，數(shù)據(jù)分析、統(tǒng)計推斷的經驗，幾何推理的經驗，類比的經驗等等），發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的經驗，以及思考的經驗等若干方面。

（一）基本的操作經驗

基本的操作經驗是數(shù)學學科所特有的活動經驗的重要組成部分，其核心內容在于，體現(xiàn)本學科基本思維特征，全面反映數(shù)學學科的思維方式和學科屬性。

在義務教育數(shù)學課程中，基本的幾何操作經驗，諸如解代數(shù)方程的直接操作經驗等等，就是義務教育階段基本的操作經驗之一。

圖 8.4-1

例如，學生在經歷了案例 9-1“圖畫還原 ”活動之后，可以獲得有關圖形的平移、旋轉、軸對稱等圖形運動的活動經驗。

例 1 打亂由四塊積木或者圖畫構成的平面畫面，請學生還

原并利用平移和旋轉記錄還原步驟，嘗試尋找步驟最少的還原方案。

在這里，問題中的積木塊相當于方格紙的作用，通過實際操作，

進一步理解平移、旋轉，不僅能增加問題的趣味性，還可以讓學生感悟幾何運動也是可以記錄的，體驗選取最佳方案的過程，獲得有關圖形運動、變換的基本活動經驗。

特別地，恰當?shù)膯栴}情境往往是引發(fā)學生主動獲取操作經驗的催化劑。例如，在案例 9-1中，在實際教學中，如果設計如下的問題情境，往往可以實現(xiàn)更深刻的操作和體驗，進而獲得更深刻的操作經驗：

還原的步驟一定要從簡單到復雜，如先打亂四塊積木中的上面兩塊，讓學生嘗試思考的過程 ——先想再操作；可以分小組進行。為了記錄準確，事先要確定代表符號；小組活動時，可以先討論，確定一個大概的還原路線，然后操作驗證；小組呈現(xiàn)并操作結果，進行討論，比較。

在初中數(shù)學課程教學中，基本的操作經驗，不僅體現(xiàn)在圖形與幾何的學習中，而且，也體現(xiàn)在統(tǒng)計與概率、實踐與綜合等之中，甚至在數(shù)與代數(shù)的學習中，也需要基本的操作經驗。

特別地，九年 義務教育階段的學生認識空間與圖形，是從空間到平面、再到空間的過程，其學習內容不能僅僅局限于二維的平面圖形，有相當一部分內容應當是直觀幾何、實驗幾何。與演繹幾何相比，直觀幾何、實驗幾何更貼近學生的現(xiàn)實生活和日常經驗，更有利于把空間與圖形學習變成一種有趣的、充滿想象和富有推理的活動。為此，必須追求恰當?shù)膯栴}情景，積累學生直接的操作經驗，讓學生認識到多姿多彩的圖形，對于他們形成對圖形的完整而廣泛的認識有良好的促進作用。在初中數(shù)學課程實施中，不僅可以通過傳統(tǒng)的幾何學習內容豐富學生的操作經驗，而且，也可以通過專題的形式，學生了解更多的與圖形相關的知識。

（二）數(shù)學學科特有的思維活動經驗

每個學科都有其特有的思維活動，這些思維活動集中反映了本學科的學科屬性，體現(xiàn)本學科研究的側重點和研究手法。使學生獲得更為豐富的學科思維活動經驗，是實現(xiàn)學生在本學科上的全面、可持續(xù)發(fā)展的關鍵。

在義務教育階段數(shù)學課程中，最具代表性的數(shù)學學科思維活動經驗，主要包括代數(shù)歸納的經驗，數(shù)據(jù)分析、統(tǒng)計推斷的經驗，以及幾何推理的經驗。

1 ．代數(shù)歸納的經驗

在義務教育階段的數(shù)學課程內容中，數(shù)與代數(shù)領域具有突出的特點，這就是代數(shù)思維，其中，代數(shù)歸納的表現(xiàn)尤為突出，例如，

例 2 代數(shù)歸納經驗的一次獲得過程

在代數(shù)計算中，學生思考如下系列問題時會積累一些代數(shù)歸納的經驗：

比較下列每組算式的計算結果，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？能用只含一個字母的式子表達這個規(guī)律嗎？能證明你的規(guī)律嗎？

上面這個過程，恰恰是由具體數(shù)值計算到符號公式表達的過程，即由特殊到一般的過程。

讓學生親身經歷這個過程，學生就可以獲得相應的代數(shù)歸納經驗，即對于有些問題，可以通過特殊情況歸納發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，而后再通過一般性的證明驗證自己的發(fā)現(xiàn)，進而感悟數(shù)學的嚴謹性，增強數(shù)學學習的興趣。

有關這種思維方式的基本經驗，不僅是學生數(shù)學學習所必需的，也是學生終生可持續(xù)發(fā)展所必需的。

2. 數(shù)據(jù)分析、統(tǒng)計推斷的經驗

“統(tǒng)計與概率”是義務教育階段數(shù)學課程的重要內容之一，是不同于其他數(shù)學內容的“不確定性的數(shù)學內容”。其中，經歷數(shù)據(jù)分析、統(tǒng)計推斷的過程，獲得相應的直接經驗，進而發(fā)展其數(shù)據(jù)分析觀念，是統(tǒng)計與概率學習的核心目標，對于學生獲得數(shù)學上的全面發(fā)展，具有其他數(shù)學內容所不能替代的作用。

讓學生體驗和掌握數(shù)據(jù)分析觀念的最有效方法，就是讓他們真正投入到產生和發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念的活動之中，使學生在收集、整理和描述數(shù)據(jù)的活動中，探索如何以簡單而直觀的形式最大限度地描述數(shù)據(jù)，理解加權平均數(shù)、極差、方差、頻數(shù)分布等內容，并據(jù)此做出合理的判斷。正是經歷了猜測、收集、描述和分析處理數(shù)據(jù)的全過程，能夠在新的問題情境中，特別是在具有現(xiàn)實背景的問題情境中，進行數(shù)據(jù)分析，進而做出統(tǒng)計推斷，學生才能真正掌握統(tǒng)計的有關內容。

顯然，在這種活動中，學生在具體的現(xiàn)實問題解決中，能夠體會到統(tǒng)計的思維方式和活動特點，確實積累統(tǒng)計活動的直接經驗，進而極大地促進了數(shù)據(jù)分析意識和能力的形成。

3. 幾何推理的經驗

幾何推理是幾何課程內容的核心內容之一，學生是否獲得了幾何推理的活動經驗，對于掌握幾何推理的技能、形成推理能力，具有十分重要的促進作用。

這里的推理包含兩部分，一是歸納推理（即包括歸納、類比、猜想等在內的推理，也稱之為合情推理），一個是演繹推理。

　　演繹推理又稱三段論推理，是由兩個前提和一個結論組成，大前提是一般原理（規(guī)律），即抽象得出一般性、統(tǒng)一性的成果；小前提是指個別對象，這是從一般到個別的推理，從這個推理，然后得出結論。演繹推理又稱從規(guī)律到現(xiàn)象的推理，是從普通回到特殊再回到個別。演繹推理正確的條件：若大小前提正確，則結論正確；若大前提或小前提錯誤，則結論錯誤。

所謂歸納推理，就是從個別性知識推出一般性結論的推理。一般地，根據(jù)前提所考察對象范圍的不同，把歸納推理分為完全歸納推理和不完全歸納推理。完全歸納推理考察了某類事物的全部對象，不完全歸納推理則僅僅考察了某類事物的部分對象。更進一步，還可以根據(jù)前提是否揭示對象與其屬性間的因果聯(lián)系，把不完全歸納推理分為簡單枚舉歸納推理和科學歸納推理?，F(xiàn)代歸納邏輯則主要研究概率推理和統(tǒng)計推理。歸納推理的前提是其結論的必要條件：首先，歸納推理的前提必須是真實的，否則，歸納就失去了意義。其次，歸納推理的前提是真實的，但結論卻未必真實，而可能為假。

在當前的初中數(shù)學課程教學中，通常有三種推理方式，即，

典型的不完全歸納推理，其結論仍是“猜想”，這種推理常常用來佐證、猜想；

借助圖形直觀的操作（圖形運動），有時可以用來進行不嚴格意義下的證明，在某些條件下也可以用來進行嚴格的證明，這種推理形式常常用來說理；

而第三種屬于典型的演繹證明。

三種活動的直接經驗，對于獲得的有關推理的理解程度是截然不同的，是否經歷過這種推理活動，對于學生關于推理的掌握程度有著顯著影響。

不完全歸納推理是根據(jù)某類事物部分對象都具有某種屬性，從而推出該類事物都具有該種屬性的結論。不完全歸納推理包括簡單枚舉歸納推理、科學歸納推理。在一類事物中，根據(jù)已觀察到的部分對象都具有某種屬性，并且沒有遇到任何反例，從而推出該類事物都具有該種屬性的結論，這就是簡單枚舉歸納推理。

在中小學數(shù)學課程中，許多公式、法則的導入都是通過不完全歸納推理獲得的，例如，小學加法交換率 a+b=b+a，就是通過有限組算式，每一組都是形如“ a+b”與“ b+a”，通過分別計算各自的結果，最后發(fā)現(xiàn)二者的結果總是相同的，由此，就獲得一個有用的法則。這里運用的就是不完全歸納推理。

與其同時，許多小學數(shù)學教師為了讓學生確信無疑，往往通過具體的數(shù)字，在左手中拿 a個物體，而右手中拿 b個物體，問學生一共有多少個物體（列算式計算）？結果是，多數(shù)學生列出了的算式 a+b，這是從左向右數(shù)的結果，而有的學生列出了算式 b+a，這是從右向左數(shù)的結果，而“加”就是將兩者的數(shù)量合在一起，于是，學生們往往確信無疑。其實，這里運用的就是利用實物的說理、佐證。

例 3 下表是某月的月歷：

（ 1）彩色方框中的 9個數(shù)之和與該方框正中間的數(shù)有什么關系？

（ 2）這個關系對其它方框成立嗎？你能用代數(shù)式表示這個關系嗎？

（ 3）這個關系對任何一個月的月歷都成立嗎？為什么？

在上面的問題中，教師引導學生對月歷中的一個三行三列的九個數(shù)組成的方框中的九個數(shù)進行分析，發(fā)現(xiàn)九個數(shù)的和恰好等于最中間的那個數(shù)字的 9倍；換另外一個方框，重新驗證，結論還是這樣；再換一個方框，結論與第一次的仍然相同。于是，可以做出這樣的猜想：是不是月歷中的所有方框都具有這樣的屬性呢？

為此，必須進行一般性的分析、論證。在月歷中任取一個三行三列的九個數(shù)組成的方框，為方便，將第二行第二列的數(shù)設為 a,根據(jù)同一周前后兩天日期的關系，以及相鄰兩周的同一個星期 X的日期數(shù)的關系，我們可以依次發(fā)現(xiàn)，其它的八個數(shù)分別為 a-8,a-7,a-6,a-1,a+1,a+6,a+7,a+8，從而，九個數(shù)組成下表所示的規(guī)律表：

從而，九個數(shù)的和是：

（ a-8） +（ a-7） +（ a-6） +（ a-1） +a+（ a+1） +（ a+6） + （ a+7） +（ a+8） = 9a.

也就是說，九個數(shù)的和是第二行第二列的那個數(shù)字 a的九倍。

由此可見，合情推理與演繹推理是相輔相成的兩種推理形式，都是研究圖形性質、代數(shù)問題的有效工具。讓學生經歷從不完全的歸納或佐證、說理，到嚴格演繹證明的過程，就是讓學生獲得數(shù)學推理的直接經驗，這對于學生的終生可持續(xù)發(fā)展，具有十分重要的意義。

（三）綜合運用數(shù)學學科內容進行數(shù)學問題解決的經驗、思考的經驗

這部分內容主要包含兩層含義：一方面，綜合運用數(shù)學學科內容發(fā)現(xiàn)問題、提出學科問題，并加以分析和解決的經驗。這是問題解決在本學科中的綜合體現(xiàn)；二是作為各個學科所共有的思維方法層面的經驗，諸如類比的經驗、思考的經驗（作思維試驗的經驗等等）。

1 ．發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的直接經驗

“一個人在 18歲之前沒有獨立思考過一個問題，沒有經歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題進而分析解決問題的全過程，長大以后成為創(chuàng)新人才，幾乎是不可能的 ”，這是有道理的。其中的核心問題在于，讓中小學生親身經歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題進而加以分析、解決的全過程，獲得直接的經驗和體驗，這是培養(yǎng)創(chuàng)新人才所必須的。

正如文 ①中所分析的，分析問題與解決問題能力的培養(yǎng)作為中小學教育的基本目標要求，經歷了多年的歷史驗證，無疑是合適的、正確的，但從邏輯層次和難易程度分析，在中小學教學過程，分析問題與解決問題涉及的是已知，而發(fā)現(xiàn)問題、提出問題涉及的是未知。

因此，發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，比分析問題、解決問題更重要，難度也更高。對中小學生來說，發(fā)現(xiàn)問題更多地是指發(fā)現(xiàn)了書本上不曾教過的新方法、新觀點、新途徑以及知道了以前不曾知道的新東西。這種發(fā)現(xiàn)對教師可能是微不足道的，但是對于學生卻是難得的，因為這是一種自我超越，可以獲得成功的體驗和必要的經驗。學生可以在這個發(fā)現(xiàn)的過程中領悟很多東西，可以逐漸積累創(chuàng)新和創(chuàng)造的經驗。更重要的是，可以培養(yǎng)學生學習的興趣，樹立進步的信心，激發(fā)創(chuàng)造的激情。在發(fā)現(xiàn)問題的基礎上提出問題，需要邏輯推理和理論抽象，需要精準的概括。在錯綜復雜的事物中能抓住問題的核心，進行條分縷析的陳述，并給出解決問題的建議，不是一件簡單的事情。提出問題的關鍵是能夠認清問題、概括問題。問題的提出必須進行深入思考和自我組織，因而，可以激發(fā)學生的智慧，調動學生的身心進入活動狀態(tài)。提出問題需要找到疑難，發(fā)現(xiàn)疑難就要動腦思考，這與跟著教師去驗證、推斷既有的結論，是不同的思維方式。學生只有多次在這種思維方式訓練下，才能逐漸形成創(chuàng)新意識、創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力。

2 ．類比的經驗

類比（推理）是人們經常應用的一種推理方法，類比推理是一種由特殊到特殊的推理，即根據(jù)兩個（或兩類）事物的某些相同或相似的性質，判斷它們在別的性質上也可能相同或相似。能否廣泛而又恰當?shù)剡\用類比推理，是衡量一個人創(chuàng)造性思維能力的標志之一，善于思考，舉一反三，觸類旁通，運用類比推理，是鍛煉獨立分析和解決問題能力的有效方式之一。類比作為一種重要的思考方式方法，對其的理解和掌握，僅僅依靠理論上的學習是不夠的，往往需要親身經歷類比的過程，獲得一定的類比經驗，才能逐漸掌握這種思維方法。如，

例 4 分別思考下面的兩個問題，學生所獲得的經驗相同嗎？

（ 1）觀察圓周上 個點之間所連的弦，發(fā)現(xiàn)兩個點可以連一條弦， 3個點可以連 3條弦， 4個點可以連 6條弦， 5個點可以連 10條弦，由此你可以看出什么規(guī)律？

（ 2）平面內有這樣的結論：

如果一條直線和兩條平行直線中的一條相交，則必和另一條相交。如果兩條直線同時垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行。

對于空間中的平面是否有類似的結論呢？如果有，應該是什么？你現(xiàn)有的知識和你的理解，你能證明你得到的結論么？

在上面的問題中，對于第（ 1）問題的思考過程，其實就是從 2點、 3點、 4點、…，逐點進行歸納的過程，而這個歸納的過程其實就是在尋找規(guī)律，由此猜想一般的結論，圓周上的 n個點可以連成 條弦，即 條弦。這個思維過程所獲得的經驗就是歸納的經驗。

對于第（ 2）問題，其思考的過程核心在于類比推理，即從平面上的直線與直線之間的平行關系、垂直關系，類比到空間中的平面之間的平行關系、垂直關系，進而，獲得諸如“如果一個平面和兩個互相平行的平面中的一個相交，則必和另一個平面相交”、“如果兩個平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面互相平行”的推斷，而其中的第一個推斷是正確的，而第二個推斷卻是錯誤的，而應該是“如果兩個平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面互相平行或垂直”。

不難發(fā)現(xiàn)，兩種思考過程，對于學生的思維的訓練和啟發(fā)，是不同的。

3 ．思考的經驗

主要指在思維操作中開展活動而獲得的經驗，即，思維操作的經驗。亦即，不借助任何直觀材料而在頭腦中進行歸納、類比、證明等思維活動而獲得的經驗。它既可以是直接經驗，也可以是間接經驗。

就人的理性而言，思維過程（特別是基于邏輯的思維過程）也能夠積淀一種經驗（這種經驗就屬于思考的經驗）。直觀不是一成不變的，隨著經驗的積累其功能可能逐漸加強。一個經歷豐富并且善于反思的人，他的直觀能力就必然會得到增強。

不僅如此，思考的經驗既可以產生于邏輯地思考的過程，也可以產生于 `歸納地思考的過程，甚至于產生于某些實驗過程之中。下面的案例雖然來自物理學，但是，卻可以很好地體現(xiàn)包括數(shù)學學科在內的眾多學科的“思考的經驗”（其中，主要體現(xiàn)反證法的思考方式）。

例 5 伽利略的思維實驗 傳說中的伽利略先進行了“思考的實驗”，而后才進行實際的拋球實驗，亦即：伽利略所在的那個時代普遍的認識是“重的物體下落的速度更快一些”，對于物體 A、 B而言， A更重一些，于是，按照當時的觀點， A下落的速度應該更快一些；如果將 A、 B兩個物體綁在一起，成為一個新的物體 C，那么，這個物體比 A更重一些，從而， C下落的速度應該比 A下落的速度更快一些；從常理上說，一個速度快的物體綁上一個速度慢的物體，這個 “合成 ”的物體的速度應該比快的慢一些，而比慢的快一些，從而，物體 C的速度應該比 A的慢一些，而比 B的快一些。事實上，這兩種分析方式都是 “合理 ”的，只有一種情況下，才不會產生矛盾，這就是 “將物體 A、 B綁在一起與不綁在一起，其下落的速度不受影響 ”，亦即，物體的下落速度與其重量無關。

正是基于這種“思考的實驗”，伽利略已經從“思維實驗”中預測到實驗的結果，而后只需要在真實的實驗中驗證自己“思維實驗”的結果，從而進行了真實的比薩斜塔實驗——在比薩斜塔上將兩個重量差異較大的鐵球讓其同時自由下落，可以看到二者幾乎同時落地。

顯然，在上面的兩種實驗中，前者的實驗是在思維層面上進行的，而并沒有依附實在的器材、真實的現(xiàn)實物體等，而是在個體的頭腦中進行的；后者的實驗是在真實的狀態(tài)下進行的，是經過個體的直接操作而獲得的。兩種實驗所獲得的經驗是不同的。相比之下，從真實的比薩斜塔實驗獲得更多的是體驗性的經驗（感性的成份更多一些），而從“思維實驗”中獲得的更多的是策略性、方法性的經驗（理性的成份更多一些）。

對于聽眾來說，在聽到上面的故事（案例 3）之后，經過自己的獨立思考，也可以獲得思考的經驗（即一種策略性的經驗），而相對于 “物體下落 ”這件事來說，獲得經驗是間接經驗，而相對于經驗本身來說，這種思考的經驗又是直接的。

二、如何理解基本活動經驗的類別

更進一步地，在開展活動中，人的活動可以區(qū)分為思維的操作活動和行為的操作活動，同時，由于活動對象與現(xiàn)實的距離有別、抽象程度的差異，而導致思維層次有高低之分。因而，可以將基本活動經驗區(qū)分為更細致的若干層次、類別：

（一）（行為）操作的經驗

這里的操作主要是指行為的操作，而不是指思維的操作。這種操作是進行抽象的直接素材，一般是直接經驗。這種操作的直接價值取向不是問題的解決，而是獲得第一手的直接感受、體驗和經驗，亦即，在實際的外顯操作活動中來自感官、知覺的經驗。如，

折紙活動的經驗：如果一位學生親身經歷了如下活動，并且在活動中進行適當?shù)姆此?、回味，那么，他對于“圓”概念的理解一定非常深刻：將一張較軟的紙對折，再對折；而后，不斷對折，從第三次對折開始，每次對折的折痕都經過第一次、第二次折痕的交點；直到對折不能進行為止。將折出的扇形的多余部分撕掉，保證將折疊的每層紙都撕到，而且撕口線盡可能平整。將剩余的部分打開鋪平，就得到一個近似于圓形的紙片。

在日常的課程教學中，我們平時所說的“讓學生親身經歷操作的過程”就是期望學生獲得這種操作的經驗（屬于直接經驗）。

（二）思考的經驗

在思維操作中開展活動而獲得的經驗，即，思維操作的經驗，比如，歸納的經驗、類比的經驗、證明的經驗。它既可以是直接的經驗，也可以是間接的經驗。 就人的理性而言，思維過程（特別是基于邏輯的思維過程）也能夠積淀出一種經驗（這種經驗就屬于思考的經驗），一個經歷豐富并且善于反思的人，他的直觀能力必然會隨著經驗的積累而增強。而直觀能力也不是一成不變的，隨著經驗的積累其功能也可以逐漸加強或拓展。 不僅如此，思考的經驗既可以產生于邏輯地思考的過程，也可以產生于歸納地思考的過程，甚至是產生于某些實驗過程之中。

著名數(shù)學家華羅庚在《數(shù)學歸納法》一書中，對簡單枚舉歸納推理的或然性做了很好的說明，正好體現(xiàn)了思考的經驗：

　　“從一個袋子里摸出來的第一個是紅玻璃球，第二個是紅玻璃球，甚至第三個，第四個，第五個都是紅玻璃球時，我們立刻就會猜想：‘是不是袋子里所有的球都是紅玻璃球’但是，當我們有一次摸出一個白玻璃球時，這個猜想失敗了。這時，我們會出現(xiàn)另一個猜想：‘是不是袋里的東西全都是玻璃球’，當有一次摸出一個木球時，這個猜想又失敗了。那時，我們又會出現(xiàn)第三個猜想：‘是不是袋里的東西都是球’，這個猜想對不對，還必須繼續(xù)加以檢驗，要把袋里的東西全部摸出來，才能見個分曉”。

在上面的實驗中，有的實驗是在思維層面進行的，而沒有依附實在的器材、現(xiàn)實的物體等，僅僅在頭腦中進行的；而有的實驗是在真實狀態(tài)下進行的，是經過個體的直接操作而獲得的。

相比之下，從真實的比薩斜塔實驗中獲得的更多的是體驗性的經驗（感性的成分更多一些），而從“思考的實驗”中獲得的更多的是策略性、方法性的經驗（理性的成分更多一些）。

對于這個故事的聽眾來說，在經過自己的獨立思考之后也可以獲得思考的經驗（即一種策略性的經驗），而這種經驗相對于拋球活動來說是間接經驗。

（三）探究的經驗

這里的“探究”指的是，立足已有的問題，圍繞問題的解決而開展的活動，這里的活動既有外顯行為的操作活動，也有思維層面的操作活動，但是，無論如何，這種操作活動并沒有完全脫離行為操作，而是 融行為操作與思維操作于一體。同時，這種探究的直接價值取向是問題解決，而不僅僅為了獲取第一手的直接感受、體驗和經驗，但是，探索所獲得的經驗一般是直接經驗。

探究的經驗不僅表現(xiàn)在某個具體的學科領域，而且也表現(xiàn)在，綜合運用多學科知識解決一個綜合的課題而獲得的直接經驗。這些經驗既可以是在探索直接源于生活、社會中的活動而獲得的經驗，也可以是探索間接來源于生活、社會的活動中獲得的經驗；這里的活動，既可以是為了學生的學習而設計的純粹的學科活動，也可以是源于學科本身的活動。但是，無論如何，在這里， 供探索的活動都有直接的活動材料、內容（情境一般比較真實，相對具體），而不是間接的、純粹思維層面的活動。例如，

在高速公路上行駛的汽車中，如何估計汽車行駛的平均速度？對于這個問題的探究，就是一個很好的綜合課題。對此，學生有很多種方案，如，借助自己脈搏的跳動次數(shù)，當汽車行駛到兩個里程標志之間時，測量出自己的脈搏在其間跳動的次數(shù)，將其換算成時間，就可測算出汽車行駛的平均速度。如，平時自己的脈搏每分鐘跳動 63次，而在第 352千米與 353千米之間行駛時，脈搏跳動了 32次，也就是說，在大約 30秒的時間內汽車行駛了 1千米，從而，車速大約是 2千米 /分鐘，即 120千米 /小時。其間，不僅用到醫(yī)學、物理學知識，也用到了估算等數(shù)學內容。

（四）復合的經驗

指兼有上面所述的（行為）操作的經驗、思考的經驗、探究的經驗等三種類型中的兩種以上的經驗。

在現(xiàn)實狀態(tài)下，特別是教育教學活動中，活動經驗既有可以是直接操作的經驗，也可以是思考的經驗、探究的經驗，更有可能包含操作、探索、思考等多種成分在內。例如，在諸如購買物品、校園設計等直接的行為操作活動中，對大多數(shù)人來說，活動之初往往需要先進行思維上的深思熟慮而后再操作，這就是“思考的經驗”產生的基礎。在開展預測結果、探究成因等活動中，運用分析、歸納等方法開展活動有時也需要借助部分的實物操作而進行，因而，在一些思考的活動中所獲得的經驗，一般是思考的經驗，有時也混雜著操作的經驗。

總之，在基本活動經驗中，“操作的經驗”中的“操作”實際是廣義的，凡是動手實踐都可以理解成（行為）操作；而“思考的經驗”中的“思考”，既可以是預測性的思考，也可以是反思性的思考，也可以是調查性的思考，只要是依據(jù)思維材料（而不是借助外在的實在物體）而獲得的，都可以理解成思考的經驗。

第五節(jié) 基本活動經驗在課程教材中的地位和作用

隨著基礎教育課程改革研究的不斷深入，課程教材的功能發(fā)生深刻變化，教科書不再僅僅承擔輸送基礎知識、基本技能的任務，也承擔著提供活動載體、讓學生積累必要的基本活動經驗的功能。

一、如何理解基本活動經驗在課程教材中的地位和作用？

（一）使學生獲取基本活動經驗是問題驅動式教材呈現(xiàn)方式的基本目的之一

作為義務教育課程標準實驗教科書的基本結構之一，“問題情境→建立模型→解釋應用→拓展反思”成為問題驅動式教材呈現(xiàn)方式的具體表現(xiàn)形式。其中的問題情境乃至整個活動設計，旨在促進學生在獨立思考、自主探索的過程之中真正理解和掌握相應的知識、技能、思想，同時獲得廣泛的基本活動經驗。例如，某套數(shù)學課程標準實驗教科書是這樣呈現(xiàn)“周長”的內容的：

例 1周長的教科書呈現(xiàn)

Ⅰ．情境引入 ：教材首先通過“一個小螞蟻爬樹葉”、“一個楓葉的邊緣線”兩個情境，引入周長的概念，從學生的生活實際中尋找學生熟悉的例子，使學生對周長有了直觀的認識。

Ⅱ．動手操作： 通過“描樹葉的邊線”以及“摸課桌面和數(shù)學書封面的邊線”，讓學生對周長有更加切身的感知，加深了對周長表象的感性認識，初步認識周長的意義。

Ⅲ .實踐活動： 通過“量一量你的腰圍、頭圍，并與同伴說一說”、“量一量一片樹葉的周長，并與同伴”實踐活動這個環(huán)節(jié)，讓學生再次體驗周長的意義，最主要的是通過學生的自主、合作、探究等學習方式，選擇自己喜歡的測量方法，加深對周長概念的認識和理解。在這一環(huán)節(jié)中，最重要的是讓學生親身體驗周長就在我們身邊，周長的意義重大。

其中，通過從生活中的不規(guī)則圖形中，教科書抽象出數(shù)學中的周長概念，試圖給學生這樣的認識：生活中的不規(guī)則圖形有很多，不只是規(guī)則圖形才有周長。另外，通過讓學生測量周長，感受測量方法的多樣性。如此，教科書更強調從一般性的角度引入周長的概念，體現(xiàn)知識的形成過程，關注學生直接操作經驗和體驗基礎上的自我建構。即從任意圖形（包括不規(guī)則圖形）入手，使學生體會到周長是一個一般概念，避免學生產生“只有長方形、正方形、圓等規(guī)則圖形才能求周長”的思維定勢；與其同時，通過對一般圖形周長求法的探索，使學生經歷長、正方形周長求法的知識形成過程，為進一步學習周長的求法（周長公式）等內容作好鋪墊。其中， 積累必要的操作經驗，就成為“周長”內容呈現(xiàn)的主線和關鍵。

（二）基本活動經驗是學生獲得學科理解的催化劑和粘合劑

基本活動經驗作為學生親自或間接經歷了活動過程而獲得的經驗，它是學生獲得學科理解的重要載體，起到催化劑和粘合劑的作用。例如，

例 2 語文課上的“反對聲”。 語文課上，教師正啟發(fā)同學：“該用怎樣的語氣朗讀《蠶姑娘》最后一段？”同學們回答：“應用高興的語氣?！弊谧詈笈诺囊晃荒猩÷曕絿伭艘痪洌骸皼]什么可高興的?！奔毿牡慕處熉犚娏?，只見她微微一頓，笑著說：“讓我們聽一聽這位同學的想法?！薄靶Q姑娘產下卵后，就要死了，有什么可高興的？還有，這時候還叫蠶姑娘不對，該叫蛾媽媽?！苯處熦Q起大拇指：“你懂得真多，你是從哪里知道的？”這一下，其他同學也插話了：“老師，課外書上有，課文插圖上也有?！苯處煶錆M情意地說：“是呀，同學們，蛾媽媽產下蠶卵后要死了。第二年春天，天氣暖洋洋，蠶卵里又會鉆出可愛的蠶寶寶。蛾媽媽給這個世界帶來了蠶寶寶，還留下了漂亮的蠶繭，她心里怎樣想的呢？”坐在最后排的一位男生若有所思地嚷道，“她對自己很滿意?！卑嗌系钠渌瑢W紛紛回答，“她覺得自己很能干”，“…”，此時，教師微笑著說，“讓我們通過朗讀，把她心里的想法讀出來吧。”

正是在教師的循循善誘下，那位提“反對聲”的小男生親身經歷了關于“蠶”認知的變化，這種變化既尊重了學生的自尊心，又引導學生從積極的視角審視“蠶”的一生，不僅這位同學獲得新的認識，而且，全班的大部分同學都能獲得類似的感受。正是這種思維的碰撞，才能真正促進學生思維水平的提高，而教師對于這種突發(fā)事件的隨機應變恰恰反映了教師良好的專業(yè)素養(yǎng)和教學智慧。

（三）基本活動經驗是過程性目標的內容之一

作為新課程的“知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度價值觀”三維目標之一，“過程與方法”一直未能得到很好的落實，其中的一個重要原因在于，與知識與技能目標相比，這個目標沒有“抓手”，不便于課程實施中的實際把握。

事實上，過程與方法目標實際上體現(xiàn)了課程對于學生學科素養(yǎng)、學科能力的要求，而這些要求完全可以通過積累基本活動經驗來完成。正如一位初中化學教師所體會到的：

例 3 化學實驗中的一次意外 。 在蠟燭燃燒的實驗，我注意引導學生觀察反應前各物質的物理性質、反應過程中的變化，通過用白瓷板壓火焰，續(xù)燃吹滅火焰白煙的走火現(xiàn)象以及送學生禮物“自制蠟燭盆景──勇攀科學高峰”，學生在這一系列的蠟燭變化中，不僅饒有趣味地學習知識，還初步形成了用化學的眼光看待眼前的物質世界，在親身的經歷中體驗學習的樂趣，形成屬于自己的心理品質。學生在學習體會中說到：“嘗到當研究生的滋味，從實驗中獲得有趣的經驗”“就連平時家里不起眼的蠟燭也成了化學家庭小實驗的主要觀察對象，沒想到在這么短短的一節(jié)蠟燭中我們竟然能得到如此多的化學知識！”通過這些“活動與探究”，學生會慢慢地形成從色、態(tài)、味到光澤度、硬度、密度、溶解性、傳熱性、導電性、彈性的研究物質物理性質的一般思路，從看、聞、捏到加熱、加水攪拌、試驗導電性強弱等科學探究方法，更重要的是開啟了探究學習的樂趣大門。

正如這位教師總結到的，“活動與探究”不僅讓學生學到了一些知識，更重要的是，通過一次次的活動，學生學會了動手、動腦，并形成了一種情感、態(tài)度與價值觀，養(yǎng)成了一種探求、思索的好習慣。

我們贊成他的觀點，但是，讓學生活動與探究， 獲得基本活動經驗也是其中的最重要目標之一，而且也是最直接的目的。以往的思考恰恰忽略了這個關鍵點。

二、如何結合初中數(shù)學的不同領域的內容特點，分別培養(yǎng)學生的基本活動經驗？

積累學生的數(shù)學活動經驗，需要教師精心設計，不僅需要深刻體會課程標準的有關規(guī)定要求，而且需要細心揣摩教科書的編寫意圖，在深刻了解學生原有的生活經驗和數(shù)學活動經驗的基礎上，進行恰當?shù)恼n堂教學設計。例如，在初中“生活中的軸對稱現(xiàn)象”的教學中，可以設計如下教學設計：

I ．課題： 義務教育課程標準實驗教科書數(shù)學（ 7-9年級，北京師范大學出版社）七年級下冊第七章第 1節(jié)軸對稱現(xiàn)象

II ．教學內容分析：

軸對稱是現(xiàn)實生活中廣泛存在的一種現(xiàn)象。它不僅是探索一些圖形的性質，認識、描述物體的形狀和空間位置關系的必要手段之一，而且也是解決現(xiàn)實世界中的具體問題，并進行交流的重要工具。學習生活中的軸對稱，欣賞并體驗軸對稱在現(xiàn)實生活中的廣泛應用，不僅可以領略數(shù)學抽象的過程，即“現(xiàn)實問題數(shù)學化”，而且，體會數(shù)學應用的過程，即“數(shù)學內容現(xiàn)實化”；認識和掌握“生活中的軸對稱”，不僅是初中數(shù)學學習的重要目標之一，而且也是密切數(shù)學與現(xiàn)實之間必然聯(lián)系的重要橋梁之一。

直接從生活的角度學習軸對稱，是新課程標準實驗教科數(shù)學“軸對稱”教學內容設置的基本出發(fā)點，這不同于“變換幾何”中的軸對稱變換（即反射變換）。

教學重點：理解軸對稱的概念。

教學難點：對軸對稱有關活動的正確把握和基本定位

III ．教學目標分析

1. 在豐富的現(xiàn)實情景中，讓學生經歷觀察、折疊、剪紙、“扎眼”、印墨跡以及欣賞與分析圖形等數(shù)學活動過程，逐步發(fā)展學生的空間觀念。

2. 通過豐富的生活實例認識軸對稱現(xiàn)象及其共同特征，初步掌握軸對稱圖形、對稱軸、兩個圖形成軸對稱的基本含義，能夠識別簡單的軸對稱圖形極其對稱軸。

3. 欣賞現(xiàn)實生活中的軸對稱圖形，體會軸對稱在現(xiàn)實生活中的廣泛存在性和豐富的文化價值。

4. 通過觀察、折疊、剪紙、“扎眼”、印墨跡以及欣賞與分析圖形等數(shù)學活動過程，培養(yǎng)合作、交流和反思的主動意識。

IV ． 教學過程設計

（ I）情景導入

1. 展現(xiàn)生活中的大量圖片和錄象片段

片段 1：古典建筑的設計過程、建造過程。

片段 2：山東濰坊風箏藝人正在扎制風箏，畫外音介紹“風箏”的對稱性。

片段 3：風箏在空中隨風翩翩起舞，飛機在凌空翱翔，畫外音“飛機、輪船的平衡”。

片段 4：一幅漂亮的山水倒影畫，照鏡子正好將鏡子中的影子和人一塊出現(xiàn)，章前圖的主體圖 ----北京某地高速公路所拍攝到的側俯視圖。

評注 ：為學生的學習提供多種思考途徑，是教學設計所必需考慮的，尤其對于落實“不同的人學習不同的數(shù)學，不同的人在數(shù)學上獲得不同的發(fā)展”來說尤其重要，當然，這也是學生學習個性化、數(shù)學學習地域化的基本要求。

（ II）學生思考、討論

（ 1）從上面的片段你有什么收獲？

（ 2）你能舉出生活中的類似現(xiàn)象嗎？

（反映了它反映了現(xiàn)代生活中非常普遍的軸對稱現(xiàn)象）

（ III）分析、歸納、整理、抽象

1 ．教師 收集學生討論中的圖片，增加自己的圖片（其中，有一幅是通過剪紙得到的 ----這個圖案如果學生能提出，更好，否則，教師出示或提供一段錄象“中國民間藝人正在剪紙，一剪下去，立即得到一幅漂亮的軸對稱剪紙圖案”），如，下面的一些圖片

2 ．學生分組討論 ：

• 上面這些圖形有什么共同的特征？
• 有人用“軸對稱”一詞描述上面的這些現(xiàn)象，你認為這個詞是什么含義？
• 你能將上圖中的一些圖案沿某條直線對折，使直線兩旁的部分完全重合嗎？

評注：在這里，不僅要展現(xiàn)對稱（二維圖形的對稱和三維圖形的對稱）給人以視覺上的美感，而且也應當反映其中的一些科學道理（如飛機、輪船的對稱能使飛機、輪船在航行中保持平衡；建筑上的對稱多半是為了美觀，但有時也考慮到使用上的方便和受力平衡等問題。

（ IV）明晰

教師 給出 軸對稱圖形的定義以及 對稱軸的概念：

如果某個圖形沿某條直線對折，圖形在直線兩旁的部分能完全

重合，那么，這樣的圖形稱為軸對稱圖形 ，這條直線叫做對稱軸。

注意 ：

1. 強調“如果對折” ----有時可能是假想的對折活動；左右勻

稱、協(xié)調；左右在一定條件下能重合。

2. 討論軸對稱現(xiàn)象，有時并不需要真正的折疊。沿圖中的每個圖形上所畫的直線直立放置一面鏡子，在鏡子所反映出來的一半正好把圖補成完整的（和原來的圖形一樣）。你也可以按照鏡子所示的方式驗證前面的一些圖形是軸對稱圖形。能說明其中的道理嗎？

評注 ：采用不同于概念引入時的問題情境，強化學生對初步獲得的概念的認識，是激發(fā)學生數(shù)學學習興趣、深化認識的重要手段。

（ V）應用與深化

1 ．問題：“如何做出一個軸對稱圖案”

• 分組讓學生先討論做的方案，然后分別合作完成。
• 小組完成后，兩個組之間分別交流。
• 大班交流各自的做法，尤其是，要講明這種做法的道理，以及你的如何想到這樣做的。

2 ．備用方案（萬一學生不能按照上面的路子走，還可以使用如下方案 ：

下圖是在一張質地較軟、吸水性能較好的紙（如，報紙、餐巾紙）上滴一滴墨水，沿紙的中部將紙迅速對折、壓平，并用手指壓出清晰的折痕，將紙打開、鋪平，所得到的圖案。

（ 1）位于折痕兩側的墨水跡圖案彼此之間有什么關系？與你的同學交流、討論。

（ 2）取一張質地較硬的紙，將紙對折，并折出一條比較清晰的折痕，用剪刀沿折痕隨意剪出一個圖案（或用手撕出一個圖案）。將你剪出的圖案與圖示中的墨水跡圖案相比較，你能發(fā)現(xiàn)什么？

（ 3）如果想剪出圖示的小人以及“十字”，你該怎樣剪？你可以先想一想，并說明你設計的做法。也可以親自動手剪一剪。

（ 4）有什么簡單方法（即剪的刀數(shù)盡可能少）剪出每個圖形嗎？

（ 5）在教室里、學校里以及街道兩旁 ，盡可能多地找出具有對稱特征的物體和建筑物，與你的同學交流一下這些物體做成這種形狀的優(yōu)點。

評注 ： “制作出一個軸對稱圖形”，有的學生往往通過“在紙上滴一滴墨水，沿紙的中部將紙對折、壓平、然后打開，通過對折得到一個墨跡” ,有的學生則是通過對折一張紙、用針扎眼的方式得到一張軸對稱圖案，也有的學生是通過將紙對折、利用手撕或剪刀剪等方式得到一個或偶數(shù)個軸對稱的圖案，在這里，不同的學生所依附的生活經驗（墨跡、剪紙、扎眼）有所不同，他們對制作軸對稱紙片的活動經驗也有所差異。

實際的教學顯示，不同的學生從不同的生活背景和生活閱歷出發(fā)，都能得到軸對稱圖形，彼此之間的交流可以實現(xiàn)他們對軸對稱圖形關鍵特性的理解和認識，同時，大家在交流中都能獲的理解、分享成功的快樂！在整個過程中，學生在自主探索和合作交流的過程中，經歷了觀察、實驗、歸納、類比、直覺、數(shù)據(jù)處理等思維過程，而這樣的過程能夠促進學生對數(shù)學的真正理解和把握，從中不僅獲得了數(shù)學知識、技能，而且經歷了數(shù)學活動的過程，體驗了數(shù)學活動的方法，同時，情感、態(tài)度、價值觀都能得到很好的發(fā)展。

3. 教師選擇上面做軸對稱圖形的幾種分別方法，分別請一位同學在班上演示自己的做法。