（答案在相應的“適合三個年級上學期的尖子生培優(yōu)系列”文章中）

系列（1）：

試探討關(guān)于x的方程（k－1）x² kx 1=0的根的情況。（試題來源于網(wǎng)絡）

系列（2）：

若a，b，c分別為△ABC的三條邊，且滿足a² b²=c²=25，求2a b的最大值.

系列（3）：

若k為任意實數(shù)，則拋物線y=a(x－2k 1)² k－2的頂點一定在什么樣的圖象上運動？

系列（4）：

如圖，拋物線y＝ax²＋bx＋c與x軸的一個交點A在點(－2，0)和(－1，0)之間(包括這兩點)，頂點 C是矩形DEFG內(nèi)(包括邊界和內(nèi)部)的一個動點，則a的取值范圍是_____.

系列（5）：

若對稱軸與y軸平行的拋物線經(jīng)過(2，5)、(4，5)和（1，－1）三點，求該拋物線的解析式。

系列（6）：

有：當1＜x＜2時，y＜0，當5＜x＜6時，y＞0，求a:b的值.

系列（7）：

已知a≥2，m²－2am 2=0，n²－2an 2=0，求(m－1)² (n－1)²的最小值.（試題來源于網(wǎng)絡）

系列（11）：

若關(guān)于x的方程ax²－3x－1=0的兩不相等實數(shù)根均大于－1且小于0，求a的取值范圍.

系列（12）：

已知拋物線y=ax² bx c的對稱軸為直線x=2，且與x軸交于A、B兩點．與y軸交于點C．其中A(1，0)，C(0，－3)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P在拋物線上運動（點P異于點A）；

    ①當△PBC面積與△ABC面積相等時．求點P的坐標；

②當∠PCB=∠BCA時，求直線CP的解析式．

系列（13）：

如圖所示，二次函數(shù)y=ax² bx c的圖象與x軸負半軸相交于A、B兩點，Q（n，1/2）是二次函數(shù)y=ax² bx c圖象上一點，且AQ⊥BQ，求a的值.

系列（14）：

已知拋物線y=x²﹣2ax a²﹣2的頂點為A，P點在該拋物線的對稱軸上，且在A點上方，PA=3．

（1）求A、P點的坐標（用含a的代數(shù)式表示）；

（2）點Q在拋物線上，求線段PQ的最小值；

（3）若直線y=x a﹣2與該拋物線交于B、C兩點，M點是線段BC的中點．當a的值在某范圍內(nèi)變化時，M點的運動軌跡是一條直線的一部分，請求出該直線的解析式，并寫出自變量的取值范圍．

系列（15）：

如圖是拋物線y=ax² bx c（a≠0），其頂點坐標為（1，n），且與x軸的一個交點在點（3，0）和（4，0）之間，下列結(jié)論：

①c﹣a=n；

②拋物線與x軸的另一個交點為（m，0），則﹣2＜m＜﹣1；

③當x＜0時，ax² （b 2）x＜0；

④一元二次方程ax² （b﹣1/2）x c=0有兩個不相等的實數(shù)根．

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（?。?/span>

系列（16）：

定義感知：我們把具有對稱軸和開口方向都相同的拋物線稱作“同向共軸拋物線”．例如拋物線y=﹣3（x﹣2）² 3與y=﹣1/3(x﹣2)²﹣1的對稱軸都是直線x=2，且開口方向都向下，則這兩條拋物線稱作“同向共軸拋物線”．

初步運用：

（1）若拋物線y=3x² mx﹣3與y=1/2x²﹣3x 5是“同向共軸拋物線”，則m=；

（2）若拋物線y=a₁x² b₁x c₁與y=a₂x² b₂x c₂是“同向共軸拋物線”，則下列結(jié)論正確的是　　．（只須填上正確結(jié)論的順序號即可）

系列（17）：

如圖，已知二次函數(shù)L₁：y=ax²﹣2ax a 3（a＞0）和二次函數(shù)L₂：y=﹣a（x 1）² 1（a＞0）的圖象的頂點分別為M，N，與y軸分別交于點E，F．

（1）函數(shù)y=ax²﹣2ax a 3（a＞0）的最小值為　　，當二次函數(shù)L₁，L₂的y值同時隨著x的增大而減小時，x的取值范圍是　　．

（2）當EF=MN時，求a的值，并判斷四邊形ENFM的形狀（直接寫出，不必證明）．

（3）若二次函數(shù)L₂的圖象與x軸的右交點為A（m，0），當△AMN為等腰三角形時，求方程﹣a（x 1）² 1=0的解．

系列（18）：

如圖1，對于平面內(nèi)小于等于90°的∠MON，我們給出如下定義：若點P在∠MON的內(nèi)部或邊上，作PE⊥OM于點E，PF⊥ON于點F，則將PE PF稱為點P與∠MON的“點角距”，記作d（∠MON，P）．如圖2，在平面直角坐標系xOy中，x、y正半軸所組成的角為∠xOy．

（1）已知點A（5，0）、點B（3，2），則d（∠xOy，A）=，d（∠xOy，B）=．

（2）若點P為∠xOy內(nèi)部或邊上的動點，且滿足d（∠xOy，P）=5，在圖2中畫出點P運動所形成的圖形．

（3）如圖3，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=﹣1/2x² mx n經(jīng)過A（5，0）與點D（3，4）兩點，點Q是A、D兩點之間的拋物線上的動點（點Q可與A、D兩點重合），求當d（∠xOD，Q）取最大值時點Q的坐標．

系列（19）：

已知二次函數(shù)y=1/2(x－h)²，當且僅當2＜x＜m時，y<x，求h及m的值.

系列（30）：

已知：正方形ABCD，等腰直角三角形BEF，AD、BE交于點M，CD、BF交于點N，將△BEF繞點B旋轉(zhuǎn).

（1）如圖1，若點M、N分別在AD，CD上（不與點A，D，C重合）時，寫出線段AM、MN、NC之間的一個等量關(guān)系式，并證明你的結(jié)論；

（2）如圖2，若點M，N分別在AD，DC的延長線上時，判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若不成立，寫出相應的結(jié)論并證明；

（3）若點M、N分別在AD、DC的反向延長線上時，請完成圖3并判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若不成立，寫出相應的結(jié)論（所寫結(jié)論不必證明）.