前方高能

其實(shí)

這篇還是有點(diǎn)燒腦的

康托爾

Are Numbers Real

布賴恩 · 克萊格 著

胡小銳 譯

選自

《數(shù)學(xué)世界的探奇之旅》

無窮大這個(gè)概念一直令人耿耿于懷，其實(shí)并不奇怪。從古希臘時(shí)期開始，人們就開始思考無窮大是否存在、本質(zhì)是什么的問題。古希臘人肯定知道，用于計(jì)數(shù)的正整數(shù)序列沒有盡頭。如果真的有最大的整數(shù)（我們用max來表示這個(gè)數(shù)），就必然有max+1、max+2等更大的數(shù)。但是，無窮大概念讓古希臘人很不舒服，他們用來表示這個(gè)概念的“阿派朗”（apeiron）一詞就有混亂的含義。

哲學(xué)家亞里士多德就曾對(duì)這個(gè)概念進(jìn)行過研究，他的觀點(diǎn)在隨后幾百年時(shí)間里一直占據(jù)主導(dǎo)地位。公元前384年，亞里士多德出生于希臘北部。他認(rèn)為，無窮大具有必然性，但是又無法達(dá)到。他從世間萬物中找到了一些他認(rèn)為屬于無窮的例子，例如，他認(rèn)為整數(shù)（我們已經(jīng)知道整數(shù)是無窮的）和時(shí)間就是無窮的。此外，他還認(rèn)為有的東西是無限可分的。但是，與此同時(shí)，他又提出了幾個(gè)含混不清的觀點(diǎn)，想證明無窮大不可能存在于現(xiàn)實(shí)世界中。例如，他說任何物體都有邊界，如果某個(gè)物體是無窮大的，它就不可能有邊界，也就不可能存在。

在明顯經(jīng)過一番艱苦的心理斗爭之后，亞里士多德最終斷定無窮大不是一種存在于現(xiàn)實(shí)世界的概念，而是一種潛在的可能性，在現(xiàn)實(shí)中永遠(yuǎn)無法實(shí)現(xiàn)。無窮大是存在的，但是不能根據(jù)需要變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)。他以古代奧運(yùn)會(huì)比賽為例，簡單明了地介紹了自己的這個(gè)想法。比賽毫無疑問是存在的，肯定不是一個(gè)虛構(gòu)的概念。但是，一般而言，如果有人請(qǐng)你把奧運(yùn)會(huì)比賽展示給他看，你肯定做不到。因此，奧運(yùn)會(huì)比賽就是一個(gè)潛在的實(shí)體，你沒有辦法仔細(xì)端詳，小心鑒別。亞里士多德小心翼翼地指出，盡管某些潛在實(shí)體在特定時(shí)間或特定空間里會(huì)變成現(xiàn)實(shí)，但是無窮大不包括在內(nèi)。

牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立微積分的時(shí)候，使用的正是潛無窮的概念（參見第9章）。微積分中的無窮大是一種極限。我們非常熟悉的雙紐線符號(hào)（∞），表示的就是這種可望而不可即的目標(biāo)，也就是亞里士多德所講的潛無窮。與牛頓同時(shí)代的約翰·沃利斯在一篇枯燥乏味的論文中第一次使用了這種符號(hào)。但是，沃利斯僅僅說了一句“用∞表示無窮大”，卻沒有解釋這個(gè)符號(hào)從何而來。

直到19世紀(jì)，絕大多數(shù)數(shù)學(xué)家都認(rèn)為亞里士多德的觀點(diǎn)是正確的。他們普遍認(rèn)為，潛無窮這個(gè)概念是正確理解無窮大的唯一可行的途徑。例如，享有盛名的19世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家卡爾·弗里德里希·高斯明確地說：

我反對(duì)將無窮量視為一個(gè)實(shí)體，這在數(shù)學(xué)中從來都是不允許的。所謂無窮，只是一種說話的方式，其真正的意義是指某些比值無限接近于某個(gè)極限，而另一些比值則可以無限增大。

但是，并不是所有數(shù)學(xué)家都被這種思想蒙蔽了雙眼，伽利略就是這些異類中最引人注目的一個(gè)。一說到伽利略，我們首先想到的是他因?yàn)橹С指绨啄岬娜招恼f而受到宗教裁判所的審判并被終身監(jiān)禁。但是，伽利略對(duì)科學(xué)領(lǐng)域做出的最重要的貢獻(xiàn)其實(shí)是他于1638年出版的《兩種新科學(xué)的對(duì)話》。這是他在物理學(xué)領(lǐng)域的代表作，為牛頓成功完成關(guān)于力學(xué)和運(yùn)動(dòng)的研究奠定了基礎(chǔ)。

同他支持哥白尼的日心說、給他帶來無數(shù)麻煩的那部著作一樣，這部新作也采取了三人對(duì)話的形式（這在當(dāng)時(shí)十分流行）。它放棄了古板的拉丁語，改用意大利語，可讀性遠(yuǎn)勝牛頓用專業(yè)術(shù)語撰寫的幾乎無法理解的作品。在此之前，伽利略因?yàn)槌霭嬷饕呀?jīng)被判終身監(jiān)禁，這本書可以成功出版的確不是一件易事。最初，伽利略準(zhǔn)備在威尼斯出版這本書。當(dāng)時(shí)，威尼斯因?yàn)閺牧_馬帝國獨(dú)立出去而自視甚高。但是宗教裁判所發(fā)出了一系列禁令，禁止出版伽利略的所有作品。伽利略只有獲得宗教裁判所的批準(zhǔn)，才能出版自己的這部新作。

頑強(qiáng)不屈是伽利略最顯著的特點(diǎn)。盡管受到禁令的限制，而且間接違反禁令的鉆空子行為將會(huì)為他帶來危險(xiǎn)，但伽利略沒有放棄。1636年，荷蘭出版商洛德韋克·埃爾澤維爾造訪意大利，伽利略想辦法把手稿送給他看。在最終付梓成書時(shí)，人們發(fā)現(xiàn)它的獻(xiàn)詞非常有意思。之前，伽利略每次都會(huì)把他的作品獻(xiàn)給權(quán)勢(shì)人物，而且從不吝嗇他的贊美之詞（很可能是因?yàn)楫?dāng)時(shí)諂媚成風(fēng)）。作為交換，他有可能得到對(duì)方的資助。但是，這本書卻被獻(xiàn)給了他以前的學(xué)生、法國駐羅馬大使弗朗索瓦·德·諾瓦耶，而且他在寫獻(xiàn)詞時(shí)十分小心。顯然，他絕不希望給諾瓦耶惹來麻煩。

從字里行間可以看出伽利略既有簡單直接的一面，又有迂回曲折的一面。宗教裁判所受他蒙騙的可能性非常小，但他們似乎并不是很重視這件事。伽利略稱：

我已經(jīng)決定不再出版任何成果。但是，為了我的研究不被徹底遺忘，我覺得有必要在某個(gè)地方留一份手稿，至少讓那些研究相同內(nèi)容而且方法得當(dāng)?shù)娜擞袡C(jī)會(huì)看到它。因此，我首先想到要將我的研究成果交到閣下手中……

伽利略既感謝諾瓦耶的熱心幫助，又不想讓人們認(rèn)為諾瓦耶是負(fù)責(zé)這本書的出版事宜的人，因此，他拋出了幾個(gè)神秘的中間人：

埃爾澤維爾告訴我他們準(zhǔn)備出版我的這些成果，要求我起草獻(xiàn)詞并且立刻做出答復(fù)。這些出版商曾經(jīng)出版過我的一些成果，因此他們希望繼續(xù)出版我的這項(xiàng)成果，并把它變成漂亮的精裝版書籍。這個(gè)消息讓我深感榮幸，也有些措手不及。我知道，他們能拿到我的手稿，是因?yàn)殚w下為了幫助我恢復(fù)和傳播名聲而把我的成果介紹給了幾位好友。

他對(duì)諾瓦耶心懷感激，同時(shí)又表示，手稿到達(dá)出版商的手里是諾瓦耶的幾位不知名的朋友促成的。很顯然，伽利略在這本書即將付印時(shí)才收到消息的說法是不真實(shí)的。早在埃爾澤維爾造訪意大利時(shí)，伽利略就想盡辦法把書稿送到了他手上。不僅如此，他和埃爾澤維爾還有書信往來，就這本書的內(nèi)容進(jìn)行過深入探討。伽利略是一位令出版商咬牙切齒、捶胸頓足的作者，因?yàn)椴坏阶罱K出版他都不會(huì)停止修改書稿。即使在采用電子印刷技術(shù)的現(xiàn)代，這種行為也會(huì)導(dǎo)致相當(dāng)大的麻煩。而在當(dāng)時(shí)，人們必須利用活字印刷術(shù)小心翼翼地將所有書頁制成一個(gè)個(gè)印刷版，因此，任何修改都是一場可怕的噩夢(mèng)。然而，無論是因?yàn)樽诮滩门兴馐芰嗣杀?，還是因?yàn)樗麄儽犚恢谎坶]一只眼，這本書最后還是成功出版了，但伽利略的祖國意大利并沒有公開發(fā)售。

書名中所說的“兩門新科學(xué)”是指對(duì)固體物質(zhì)的本質(zhì)研究與對(duì)運(yùn)動(dòng)的分析，無窮大的概念出現(xiàn)在這本書的第一部分。在分析固體物質(zhì)緊密結(jié)合在一起的原因（例如，金屬塊為什么難以分割）時(shí)，書中的一位主角認(rèn)為，構(gòu)成這些固體物質(zhì)的粒子之間的真空將它們緊密地吸附在一起。（真正的原因其實(shí)是電磁作用，因此他的這個(gè)觀點(diǎn)是不正確的，但聽起來有些道理。）這個(gè)說法遭到了辛普利西奧（書中三個(gè)人物之一）的質(zhì)疑，辛普利西奧是古希臘思想的信徒，他的任務(wù)就是質(zhì)疑新思想。他認(rèn)為，由于空間十分狹小，即使有真空存在，作用力也會(huì)非常小，遠(yuǎn)不足以讓金屬緊密地吸附在一起。

于是，三個(gè)人繼續(xù)思考。很多微弱的作用力加到一起，是不是可以變成一股異常強(qiáng)大的作用力呢？三人中的薩格雷多說：“也就是說，數(shù)量龐大的螞蟻群可以抬起裝滿谷物的船?！彼J(rèn)為，無數(shù)個(gè)微小的作用力加在一起，就可以克服任何阻力，只要這個(gè)阻力不是無窮大的。薩格雷多的“只要這個(gè)阻力不是無窮大的”這個(gè)條件，遭到了薩爾維亞蒂的嘲笑。薩爾維亞蒂在這本書中主要是扮演伽利略的代言人，他說，即使一個(gè)物體的大小有限，其內(nèi)部也完全有可能存在無窮多個(gè)真空。

這似乎是一種托詞，伽利略的真正目的可能是提出幾個(gè)與無窮大有關(guān)的有趣想法，因?yàn)樗酉聛碛钟么罅科接懥藷o窮大的本質(zhì)。與亞里士多德提出的那個(gè)說服力不足卻令數(shù)學(xué)界認(rèn)可了很多年的潛無窮概念不同，伽利略給出的是一個(gè)實(shí)實(shí)在在、沒有任何掩飾的事實(shí)。他畫了一個(gè)想象出來的奇怪的組合圖形，用來說明無窮大的神奇特性。

這個(gè)組合圖形是由大小不同的兩個(gè)六邊形組成的，小的六邊形貼在大的六邊形前面，6個(gè)角對(duì)齊，都位于水平軌道上。然后，薩爾維亞蒂請(qǐng)另外兩個(gè)人想象著把這兩個(gè)六邊形轉(zhuǎn)動(dòng)1/6圈。這個(gè)六邊形“車輪”向前移動(dòng)的距離應(yīng)該等于大六邊形的邊長，因?yàn)楝F(xiàn)在是第二條邊在最下面。這個(gè)結(jié)果沒有什么稀奇的地方。但是，我們知道小六邊形的邊長要短得多。小六邊形沿著軌道轉(zhuǎn)動(dòng)了1/6圈，因此它移動(dòng)的距離應(yīng)該是小六邊形的邊長，但是實(shí)際上，它前進(jìn)的距離卻等于大六邊形的邊長。

這個(gè)現(xiàn)象并不難解釋。大六邊形轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，小六邊形就會(huì)從軌道上被抬起，向前跳躍，跳躍的距離正好等于這兩個(gè)六邊形邊長的差。因此，小六邊形不僅向前移動(dòng)了一個(gè)邊長的距離，還向前跳躍了一段距離，兩者之和正好等于大六邊形的邊長。

到目前為止，這個(gè)解釋沒有任何問題。接著，伽利略想，如果多邊形的邊數(shù)不斷增加，結(jié)果會(huì)怎么樣呢？隨著邊數(shù)增加，車輪轉(zhuǎn)動(dòng)1/6圈時(shí)，大多邊形就會(huì)有更多的邊參與這個(gè)過程，同時(shí)，小多邊形需要完成更多次的小幅跳躍。在接下來的想象中，伽利略展現(xiàn)了他的聰明才智。他不斷增加多邊形的邊數(shù)，直至車輪變成圓形。此時(shí)，多邊形的邊數(shù)實(shí)際上變成了無窮大。在這種情況下，如果整個(gè)車輪轉(zhuǎn)動(dòng)1/6圈，小車輪也會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)1/6圈，但是它仍然可以與大車輪保持同步，向前移動(dòng)相同的距離。此時(shí)，由于車輪是標(biāo)準(zhǔn)的圓形，因此它應(yīng)該不會(huì)在軌道上跳動(dòng)。

這就令人感到迷惑不解了（辛普利西奧對(duì)此感覺尤為奇怪）。伽利略借薩爾維亞蒂的口說，這是因?yàn)樾≤囕喭瓿闪藷o窮多個(gè)幅度無窮小的跳躍，這些跳躍的總長度，正好彌補(bǔ)了小車輪移動(dòng)距離上的不足。薩爾維亞蒂一面滿懷愧疚地承認(rèn)這個(gè)事實(shí)令人震驚，一面又請(qǐng)求不妨放下該書當(dāng)前討論的內(nèi)容，轉(zhuǎn)而對(duì)無窮大這個(gè)概念加以研究。另外兩個(gè)人也高興地同意了他的請(qǐng)求。

他們先舉了一個(gè)晦澀難懂的例子，并用幾何方法證明了點(diǎn)的集合與圓的圓周有可能大小相同，然后又回過頭來繼續(xù)討論這些車輪。辛普利西奧發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)例子似乎包含兩個(gè)無窮大：大車輪周長的1/6是由無窮多個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的，小車輪周長的1/6也是由無窮多個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的。這兩個(gè)數(shù)都是無窮大，但是一個(gè)無窮大對(duì)應(yīng)的結(jié)果卻大于另一個(gè)。薩爾維亞蒂先是敷衍搪塞，說從有窮的角度去理解無窮的概念，就會(huì)導(dǎo)致這個(gè)問題，但緊接著他又試圖向辛普利西奧證明，這是無窮大的內(nèi)在屬性造成的一種奇怪現(xiàn)象。他的證明使用了正整數(shù)（即自然數(shù)）的平方數(shù)這個(gè)概念。薩爾維亞蒂說，每個(gè)自然數(shù)都對(duì)應(yīng)一個(gè)平方數(shù)。辛普利西奧欣然同意這個(gè)說法。接著，薩爾維亞蒂又問他，自然數(shù)有無窮多個(gè)，而且每個(gè)自然數(shù)都對(duì)應(yīng)一個(gè)平方數(shù)，那么這些平方數(shù)的個(gè)數(shù)是不是等于正整數(shù)的個(gè)數(shù)呢？答案顯然是肯定的。但是，正整數(shù)中還有很多數(shù)本身并不是平方數(shù)，例如2、3、5、6、7等。也就是說，每個(gè)平方數(shù)都會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè)自然數(shù)，而自然數(shù)的個(gè)數(shù)遠(yuǎn)多于平方數(shù)。

伽利略通過這番討論明確地告訴我們，傳統(tǒng)的運(yùn)算法則不適用于處理實(shí)無窮。此時(shí)，“相等”、“小于”、“大于”等概念也會(huì)失去它們的傳統(tǒng)含義。我們可以說一個(gè)無窮集（例如正整數(shù)集）可能包含無窮子集（例如平方數(shù)集）。伽利略筆下的這三個(gè)人之所以遭遇麻煩，原因之一就是他們把無窮大看作一個(gè)數(shù)字（伽利略就是這樣想的）。我們現(xiàn)在不會(huì)把無窮大看作一個(gè)數(shù)字。我們可以說某些事物構(gòu)成了一個(gè)無窮集，但不會(huì)說這是一個(gè)無窮大的數(shù)字。如果伽利略晚出生200年，就會(huì)明白其中的道理。

在伽利略之后，所有人都把眼光投向了更容易讓人接受的潛無窮概念。直到19世紀(jì)，格奧爾格·康托爾決心揭開其中的真相，才改變了這種狀況?？低袪柺且幻麛?shù)學(xué)家，但是由于他堅(jiān)信無窮大是一種真實(shí)的存在，再加上其他數(shù)學(xué)家都認(rèn)為他是在引火燒身，所以，不僅他的職業(yè)生涯充滿了艱辛，他的精神世界最終也轟然倒塌?？低袪栒J(rèn)為，數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家都可以接受無窮大真實(shí)存在這個(gè)赤裸裸的事實(shí)。他試圖證明有比無窮大還大的存在。這項(xiàng)似乎根本不可能取得成功的研究，在現(xiàn)實(shí)世界中沒有明顯的實(shí)用價(jià)值，但康托爾取得的成就并不只是這些?？低袪栠€是集合論的創(chuàng)立人，集合論似乎可以解釋數(shù)學(xué)的作用原理。要感受康托爾在無窮大研究領(lǐng)域中表現(xiàn)出來的杰出天賦，我們有必要對(duì)集合論稍加了解。在本書第1章，我提到了數(shù)字到底是什么以及它們與周圍世界存在什么關(guān)系的問題。集合論對(duì)數(shù)字進(jìn)行了形式上的定義，而且這個(gè)定義顯然是以現(xiàn)實(shí)為基礎(chǔ)的，但它又?jǐn)[脫了現(xiàn)實(shí)的束縛，卓爾不群地屹立在柏拉圖洞穴外面的數(shù)學(xué)世界之中。集合論對(duì)于數(shù)學(xué)的意義就相當(dāng)于原子論對(duì)于科學(xué)的意義。我們?cè)?jīng)懵懂無知地生活了幾千年，但是在接受了原子的存在之后，我們就認(rèn)同它們是構(gòu)成自然界的基本單位。同樣，在幾千年的時(shí)間里，數(shù)學(xué)研究并沒有因?yàn)榧险摰娜笔Ф钗覀兏械饺魏尾贿m。但是，集合論問世后就立刻變成一切數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ)。

所謂集合，是指一系列具體事物或者抽象概念。這些事物或者概念都有一個(gè)共同的特點(diǎn)（例如一組名叫“布賴恩”的事物或者一組看上去像甜甜圈的事物），或者是基于地點(diǎn)或時(shí)間建立起某種聯(lián)系的隨機(jī)組合（例如紐約人行道上的所有事物，或者你今天上午想起來的事情）。集合論的某些表達(dá)還進(jìn)入了人們的日常用語。“子集”是指在一個(gè)集合中擁有另外某個(gè)共同特點(diǎn)的所有元素的集合，是包含在一個(gè)大集合中的集合。例如，“美國人”這個(gè)集合是“人”這個(gè)大集合的一個(gè)子集。集合中的各項(xiàng)稱作該集合的元素，也就是說，只要你不是智能機(jī)器，你就是“人”這個(gè)集合中的一個(gè)元素。

大家可能見過用維恩圖這種直觀的方法表示的集合。用維恩圖來表示集合的相交與合并，這是很容易理解的。例如，我們可以用下圖表示“人”與“在紐約生活的生物”這兩個(gè)集合（除了人以外，后者還包含很多其他元素）相交的情況，其中重疊的部分代表“在紐約生活的人”。

在紐約生活的人

使用搜索引擎時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)不自覺地使用各種集合。借助“與”“或”“非”等布爾代數(shù)術(shù)語，我們可以進(jìn)行集合的合并或者選擇。例如，如果你使用下面這個(gè)搜索項(xiàng)在網(wǎng)上搜索圖片：

（車與美國）（福特或雪佛蘭）（非紅色）

那么你搜索的就是一個(gè)子集：美國車，品牌為福特或雪佛蘭，除紅色以外的其他顏色。至少以前的搜索引擎是這樣工作的?，F(xiàn)在的搜索引擎（例如谷歌、必應(yīng)等）都自視甚高，因此大多不屑于使用這些布爾代數(shù)術(shù)語。

在處理集合時(shí)，數(shù)字有兩種截然不同的用法，使用時(shí)一定要注意區(qū)分。本書中使用的1、2、3等數(shù)字都是“基數(shù)”，這是自然數(shù)的主要用法。但是，我們也可以利用數(shù)字來規(guī)定各子集在集合中所處的位置，此時(shí)這些數(shù)字叫作“序數(shù)”。例如，在考慮橙子集合時(shí)，數(shù)字3可以指集合中橙子的數(shù)量，也可以指集合中的第三個(gè)橙子（“3號(hào)橙子”）。

我們往往認(rèn)為序數(shù)是數(shù)字的一個(gè)有用但不怎么重要的用法，但一些人類學(xué)家指出，序數(shù)的出現(xiàn)早于基數(shù)。如果情況屬實(shí)，我們?cè)诘?章里介紹的數(shù)山羊活動(dòng)就應(yīng)該是另外一種意義了。這些人類學(xué)家認(rèn)為，計(jì)數(shù)首先不是出現(xiàn)在像貿(mào)易這樣平淡的事件之中，而是出現(xiàn)在宗教儀式之中，因?yàn)樽诮虄x式中的重要事物必須以正確的次序出現(xiàn)。也就是說，表示次序的數(shù)字出現(xiàn)在表示物體數(shù)量的數(shù)字之前。這些人類學(xué)家并沒有找到有說服力的證據(jù)，而且人們有足夠的理由認(rèn)為，這些人類學(xué)家提出這個(gè)觀點(diǎn)的目的可能是試圖說明他們的人生觀遠(yuǎn)比會(huì)計(jì)人員的人生觀更重要。當(dāng)然，有序計(jì)數(shù)有可能出現(xiàn)得更早，盡管我們看不出它比掰手指數(shù)山羊的方法更有優(yōu)越性。

描述集合的大?。ㄒ卜Q集合的勢(shì)）非常有用，無論這些集合的大小是否可以表示成數(shù)值的形式，我們都可以通過勢(shì)來比較大小。如果我們?cè)O(shè)想將兩個(gè)集合并排，讓兩個(gè)集合的元素結(jié)成對(duì)，并且形成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系（一個(gè)集合中的每個(gè)元素都能在另一個(gè)集合中找到唯一一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的元素），那么無論我們是否知道這些集合的大小，我們都可以說這兩個(gè)集合等勢(shì)。在研究無窮大的概念時(shí)，上面說的形成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系將發(fā)揮非常重要的作用。

如何利用勢(shì)來比較集合的大小呢？我們可以想象有兩個(gè)集合，一個(gè)是指南針方向構(gòu)成的集合，另一個(gè)是季節(jié)集合。我們可以讓北與冬季、東與春季、南與夏季、西與秋季分別配對(duì)。這樣，我們將所有方向和季節(jié)都包括進(jìn)來，而且一個(gè)集合中的元素分別與另一個(gè)集合中的元素構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。因此，即使我們不知道一共有多少個(gè)不同的季節(jié)，也不知道有多少個(gè)不同的方向，我們也可以說這兩個(gè)集合等勢(shì)。事實(shí)上，在這個(gè)例子中，我們知道集合的元素?cái)?shù)量是4。但是，重要的是我們無須知道這個(gè)數(shù)字。只要可以重復(fù)這個(gè)一一對(duì)應(yīng)的程序，我們就會(huì)知道這兩個(gè)集合等勢(shì)。

請(qǐng)大家回想一下令辛普利西奧感到困惑的那個(gè)奇怪的現(xiàn)象。每個(gè)自然數(shù)都可以與一個(gè)平方數(shù)配對(duì)，因此我們知道，自然數(shù)集與平方數(shù)集等勢(shì)。但是，我們還知道平方數(shù)構(gòu)成了自然數(shù)集的一個(gè)子集。后來，康托爾發(fā)現(xiàn)，無窮集一定包含一個(gè)與自身等勢(shì)的子集。

在康托爾開始研究集合之前，意大利數(shù)學(xué)家朱塞佩·佩亞諾就已經(jīng)利用集合來定義自然數(shù)了。在第2章，我們根據(jù)真實(shí)物體建立了數(shù)字系統(tǒng)，盡管最初是從數(shù)山羊開始的，但是這套數(shù)字系統(tǒng)最后可以應(yīng)用于所有物體。佩亞諾擺脫了真實(shí)物體，單獨(dú)考慮這些數(shù)字，使它們可以僅憑集合的本質(zhì)而獨(dú)立存在。這個(gè)方法在早期數(shù)學(xué)中無法采用的原因之一是，它必須建立在“無”（0的化身）這個(gè)基本概念的基礎(chǔ)上。具體來說，這個(gè)方法的起始點(diǎn)是空集，即不包含任何元素的集合，這為數(shù)字0的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)。

第二個(gè)集合只包含一個(gè)元素——前面定義的那個(gè)空集。通過這個(gè)方法，佩亞諾得到了基數(shù)1。接著，他又創(chuàng)建了一個(gè)集合，將前面的那個(gè)集合包含其中。也就是說，這個(gè)集合包含兩個(gè)集合：空集和包含空集的那個(gè)集合。這樣，他又得到了基數(shù)2。以此類推，只憑一個(gè)個(gè)集合，我們就像俄羅斯套娃那樣，搭建出“自然數(shù)”的完整集合（包括0和正整數(shù)）。

物理學(xué)家羅杰·彭羅斯認(rèn)為，既然可以用這種方法定義數(shù)字，就說明：“只需發(fā)揮想象力，這些數(shù)字就會(huì)栩栩如生地出現(xiàn)在我們的腦海里，我們可以充滿信心地使用它們，而不需要考慮物質(zhì)世界的任何屬性?！比欢?，我認(rèn)為這個(gè)理由包含了不可靠的詭辯術(shù)成分。毫無疑問，我們無法僅憑想象力就讓自然數(shù)“出現(xiàn)”在我們的腦海里，或者說我們無法完全脫離具體物體，憑空想象出這些數(shù)字。

而且，所謂集合，就是一系列實(shí)體。要建立集合的概念，首先必須有這些實(shí)體存在。如果現(xiàn)實(shí)世界中沒有可以計(jì)數(shù)的物體，很難想象我們會(huì)產(chǎn)生集合的概念。比如，我們假設(shè)世界上存在一種有思維能力的生物，它既沒有具體形狀，又與物質(zhì)世界沒有聯(lián)系。既然這個(gè)生物除了自己的存在以外，得不到任何其他體驗(yàn)，那么它怎么能像我們一樣感知到周圍世界的多樣性呢？它又怎么可能產(chǎn)生自然數(shù)、集合等概念呢？

佩亞諾和康托爾借助集合論，使算術(shù)脫離了數(shù)山羊的現(xiàn)實(shí)活動(dòng)，為數(shù)學(xué)中的數(shù)字奠定了理論基礎(chǔ)。從某種意義上看，這個(gè)抽象化過程幫助數(shù)字?jǐn)[脫了計(jì)數(shù)作用，直達(dá)數(shù)字的本質(zhì)，因此具有非常顯著的意義。但是，這個(gè)變化過程也使某些數(shù)學(xué)家感到不安（時(shí)至今日，他們?nèi)匀徊荒茚寫眩?，這是因?yàn)榧险摰暮诵睦碚摪粋€(gè)令人不安的悖論。第一個(gè)指出集合論面臨這種困境的人是英國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家伯特蘭·羅素。

佩亞諾通過創(chuàng)建以其他集合作為自身元素的集合，推導(dǎo)出了自然數(shù)。與之相似，羅素研究的是另一種包含子集的集合，具體地說，他是從集合是不是自身的元素這個(gè)角度展開研究的。這個(gè)說法似乎會(huì)導(dǎo)致棘手的遞歸問題，但是，通過具體實(shí)例，我們就可以洞見其中的奧秘。例如，我們考慮“狗”這個(gè)集合。與這個(gè)集合對(duì)立的是一個(gè)更大的集合——“除了狗以外的所有事物”。假設(shè)我們認(rèn)為“所有事物”不僅僅包含具體事物，那么“除了狗以外的所有事物”就是它自身的一個(gè)元素，因?yàn)樗且粋€(gè)非狗集合。同理可知，“狗”這個(gè)集合不是它自身的元素。

接下來，羅素提出了一個(gè)新穎的問題：考察“不是自身元素的所有集合”這個(gè)集合。這個(gè)集合包含“狗”這個(gè)集合，但是不包含“除了狗以外的所有事物”這個(gè)集合。我們把這個(gè)新的集合稱作“非元素”集合。羅素問道：“非元素”集合是不是它自身的一個(gè)元素？

至此，我們的大腦很可能已經(jīng)陷入困境而難以自拔了，當(dāng)年的羅素就遇到了同樣的麻煩。如果“非元素”集合是自身的一個(gè)元素，那么根據(jù)定義，它就不是自身的一個(gè)元素，因?yàn)檫@個(gè)集合就是這樣定義的。同樣，如果“非元素”集合不是自身的一個(gè)元素，那么它應(yīng)該是自身的一個(gè)元素。從邏輯上講，“我說的這句話是謊言”這句話與“非元素”集合有相同的效果，都會(huì)導(dǎo)致自相矛盾的結(jié)果。事實(shí)上，羅素要告訴我們的是，集合論有一個(gè)固有的內(nèi)在矛盾，這是數(shù)學(xué)家無法容忍的。但是，集合論仍然是數(shù)字本質(zhì)和簡單算術(shù)的基礎(chǔ)。

我們將在下文繼續(xù)討論羅素發(fā)現(xiàn)的集合論問題，但是現(xiàn)在我們先花點(diǎn)兒時(shí)間，看一看康托爾的研究，了解無窮集合的定義。如果將佩亞諾構(gòu)建自然數(shù)的方法發(fā)揮到極致，就會(huì)得到一個(gè)無窮集合。這與用雙紐線符號(hào)表示的潛無窮有所不同，因此康托爾發(fā)明了一個(gè)新的符號(hào)——??，它是由希伯來文的第一個(gè)字母與0構(gòu)成的，表示這是最簡單的無窮集。我們熟悉的那些運(yùn)算法則對(duì)于這個(gè)集合是無效的，這與我們對(duì)無窮大的理解是一致的，伽利略那部著作中的辛普利西奧也發(fā)現(xiàn)了這個(gè)問題。例如，從集合的本質(zhì)我們可以得到下面這些運(yùn)算法則：

利用集合論，我們可以毫不費(fèi)力地解決讓伽利略頭疼不已的那個(gè)平方數(shù)與正整數(shù)的難題。我們知道，可以根據(jù)兩個(gè)集合中的元素是否可以構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系來判斷它們是否等勢(shì)。在解決平方數(shù)和正整數(shù)的這個(gè)難題時(shí)，我們同樣可以利用這個(gè)方法，將它們一一配對(duì)，即每個(gè)平方數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)正整數(shù)。由于我們可以完成這個(gè)步驟，說明這兩個(gè)集合是等勢(shì)的，都是。因此，無窮集與自身的一個(gè)子集等勢(shì)的奇怪現(xiàn)象就可以解釋了。我們?cè)谥改厢樦羔樂较蚺c季節(jié)的例子中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，無須知道集合有多少個(gè)元素，也可以確定它們是否等勢(shì)。

如果我們根據(jù)自己在周圍世界中獲得的體驗(yàn)來理解數(shù)學(xué)過程，就會(huì)導(dǎo)致這樣的問題。我們難以理解無窮集的性質(zhì)，是因?yàn)槲覀円詾樗鼈兙哂信c有窮數(shù)字（尤其是現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量有限的物體）相類似的特點(diǎn)。然而，盡管集合可以幫助我們理解數(shù)字的含義，但是集合不是數(shù)字，而是一種數(shù)學(xué)建構(gòu)。只有清楚地理解集合是一種截然不同的實(shí)體（它與數(shù)字的關(guān)系可以幫助我們理解數(shù)字），我們才能正確理解無窮集的奇怪特性。

在集合論的幫助下，康托爾成功地定義了自然數(shù)的無窮性，即??。我們也許會(huì)認(rèn)為，集合論對(duì)無窮大的研究已經(jīng)到了極致。但是，作為數(shù)學(xué)家，康托爾絕不愿意不加深究就輕信任何結(jié)論，這也是他在“??”后面附上一個(gè)0的初衷。這只是最簡單的無窮，但是他還沒有證明，包含整數(shù)在內(nèi)的所有數(shù)字構(gòu)成的集合，是否也與之等勢(shì)。因此，康托爾決定繼續(xù)研究下去。這一次，他使用的是非常簡單易懂的數(shù)學(xué)證明?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)證明往往包含一頁又一頁的方程式。20世紀(jì)，安德魯·懷爾斯證明著名的費(fèi)馬大定理的過程超過100頁紙的篇幅。然而，不用任何方程，我們也可以基本理解康托爾的無窮集合證明。

證明過程必須注重嚴(yán)謹(jǐn)性，在用數(shù)學(xué)語言描述時(shí)，僅僅使用幾張圖表肯定是不夠的。在介紹康托爾的證明時(shí)，我將對(duì)證明過程略做壓縮處理，但是它們?nèi)匀环浅Ｖ庇^，古希臘幾何學(xué)家肯定也會(huì)欣然接受。不幸的是，與康托爾同時(shí)代的人卻持有不同的看法。

康托爾考慮的第一類數(shù)字是有理分?jǐn)?shù)。他想象把所有正有理分?jǐn)?shù)填入一張表中，使分子從左到右逐項(xiàng)加1，分母自上而下也逐項(xiàng)加1。于是，他得到下面這張表：

顯然，這張表是無法完整畫出來的，因?yàn)樗且粡垷o窮大的表。但是，我們可以看出它的規(guī)律。表中包含所有的有理分?jǐn)?shù)，并且數(shù)字1將沿著對(duì)角線方向出現(xiàn)無數(shù)次。接下來，康托爾需要在表中找出一條可以到達(dá)所有位置的簡單重復(fù)路徑，才能證明表中的有理分?jǐn)?shù)集與自然數(shù)集等勢(shì)。也就是說，他需要制定一些法則，即算法，來幫助他通過一個(gè)簡單的程序覆蓋表中的所有方格，比如：

1.從左上角出發(fā)。

2.向右前進(jìn)一步。

3.向左下方運(yùn)動(dòng)至表的邊緣。

4.向下前進(jìn)一步。

5.向右上方運(yùn)動(dòng)至表的邊緣。

6.重復(fù)第2步及后續(xù)步驟。

通過這個(gè)程序，最終可以走過表中所有有理分?jǐn)?shù)，并且不會(huì)有任何遺漏。

可以采取的路線不止一種，但重要的是，沿著康托爾建立的這條路線，我們可以一步一步地走遍所有方格。我們每邁出一步，就會(huì)走過一個(gè)方格。我們需要做的就是將這些步驟與整數(shù)配對(duì)，從而按部就班地建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。也就是說，總體來看，表中的有理分?jǐn)?shù)集與整數(shù)集等勢(shì)。因此，有理分?jǐn)?shù)集的元素個(gè)數(shù)是??。

這個(gè)結(jié)論自然不會(huì)讓我們大吃一驚。畢竟無窮大非常特殊，而且我們知道下面這個(gè)等式是成立的：

直覺告訴我們，有理分?jǐn)?shù)集符合這個(gè)規(guī)律是有道理的。但是，這并不意味著所有數(shù)學(xué)現(xiàn)象都是合理的。當(dāng)康托爾使用同樣的方法研究另一個(gè)數(shù)集時(shí)，他無比震驚地發(fā)現(xiàn)結(jié)果竟然大相徑庭。

想一想，0—1之間有哪些數(shù)字。（康托爾研究的其實(shí)不是這些數(shù)字，但是0—1的數(shù)字考慮起來最簡單。）這里說的“數(shù)字”指什么呢？不僅僅是整數(shù)（如果我們說的0—1這個(gè)范圍包含邊界，那么共有兩個(gè)整數(shù)），也不僅僅是有理分?jǐn)?shù)（0—1之間的有理分?jǐn)?shù)就是第195頁表格第一列中的所有數(shù)字，也就是分子是1、分母是各個(gè)整數(shù)的所有分?jǐn)?shù)。它們是所有分?jǐn)?shù)的一個(gè)勢(shì)為的子集）。除了這些數(shù)以外，還有無理數(shù)，即與2的平方根相類似的數(shù)，但我們?cè)谶@里討論的無理數(shù)數(shù)值都在0—1之間。

從本質(zhì)上講，康托爾考慮的其實(shí)就是0—1之間的所有小數(shù)（即“實(shí)數(shù)”），而且包含這個(gè)范圍內(nèi)所有可能的數(shù)字。要使用上面那個(gè)方法，我們必須將表格打亂重排，否則小數(shù)的開頭就會(huì)有無數(shù)個(gè)0，無論多大的紙也寫不下這些0。重新排列之后，我們可能會(huì)得到下面這張表格：

下面這個(gè)步驟充分展示了康托爾的天才。他按照每次后移一位的方式，從各個(gè)數(shù)中選出一個(gè)數(shù)位加粗。然后，他把這些加粗的數(shù)字排列起來，再逐項(xiàng)加上1（如果原來的數(shù)字是9，加1之后就會(huì)變成0）。這樣，這些數(shù)字串就可以構(gòu)成一個(gè)0—1之間的小數(shù)。例如，我們可以從上表得到下面這個(gè)小數(shù)：

0.720441784983…

這個(gè)數(shù)字非常有意思。它與康托爾表格中的第一個(gè)數(shù)不同，因?yàn)樗鼈兊牡谝粋€(gè)小數(shù)位不同；它與表格中的第二個(gè)數(shù)不同，因?yàn)樗鼈兊牡诙€(gè)小數(shù)位不同；它與表格中的第三個(gè)數(shù)不同，原因同上。以此類推，它與表格中的所有小數(shù)都不相同。也就是說，我們得到的這個(gè)小數(shù)并不包含在上表中。

如果我們可以成功地寫出0—1之間的所有數(shù)字，我們就可以把這些數(shù)字與正整數(shù)逐個(gè)配對(duì)，從而證明小數(shù)集與自然數(shù)集等勢(shì)。但事實(shí)上，我們無法寫出所有小數(shù)。康托爾告訴我們（并給出了嚴(yán)格證明），0—1之間的數(shù)字比整數(shù)多。這個(gè)集合的勢(shì)更大，是更大的無窮大。

接下來，康托爾把探索的觸角伸向其他維度。他把這個(gè)更大的勢(shì)稱作c，因?yàn)樗?—1之間的連續(xù)統(tǒng)的勢(shì)，也就是數(shù)軸上0—1之間所有點(diǎn)構(gòu)成的集合的大小。然而，我們經(jīng)常描述的是二維平面或者三維空間里的點(diǎn)，而數(shù)學(xué)家通過假設(shè)，可以輕松自如地考慮任意維度。這些無窮大是否適用于這些假設(shè)的維度呢？

我們同樣可以在幾乎不使用數(shù)學(xué)工具的條件下，輕松地把康托爾接下來的證明過程解釋清楚。我們通常會(huì)使用一組坐標(biāo)（也就是我們前面討論過的笛卡兒坐標(biāo)系）來定義二維平面上的點(diǎn)，這些坐標(biāo)可能是坐標(biāo)圖上的x和y，也可能是地圖上的經(jīng)度和緯度。因此，邊長為1的正方形區(qū)域中的所有點(diǎn)都可以用兩個(gè)0—1之間的實(shí)數(shù)來定位。

直覺告訴我們，既然??x??=??，我們似乎就可以將0—1之間的連續(xù)統(tǒng)的勢(shì)按比例增大，從而將同樣的法則應(yīng)用于正方形中的所有點(diǎn)。但是，這并不是一個(gè)有效的證明。康托爾發(fā)現(xiàn)，把表示某個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的兩個(gè)數(shù)放到一起，使它們的各個(gè)數(shù)位交錯(cuò)排列，就可以得到一個(gè)獨(dú)一無二的小數(shù)，而且可以用這個(gè)小數(shù)確定這個(gè)點(diǎn)。這樣一來，正方形區(qū)域內(nèi)所有點(diǎn)的勢(shì)就再次變成了0—1之間所有小數(shù)的勢(shì)。通過交錯(cuò)排列更多的數(shù)位，我們可以延展至任意多的維度。就這樣，連續(xù)統(tǒng)的無窮性再次體現(xiàn)在正方形中的所有點(diǎn)上。

考慮數(shù)軸上0—1之間數(shù)字的無窮性，可以得出一個(gè)在研究無窮大時(shí)經(jīng)常會(huì)讓我們感到頭暈眼花的悖論。根據(jù)康托爾的證明，我們知道有理分?jǐn)?shù)集與整數(shù)集等勢(shì)。接下來，我們讓另外一個(gè)分?jǐn)?shù)集，即1/2，1/4，1/8，1/16…這個(gè)數(shù)列，與有理分?jǐn)?shù)并列，很容易證明它們也等勢(shì)。此外，我們已經(jīng)知道這個(gè)無窮級(jí)數(shù)的和是1。做好這些準(zhǔn)備工作之后，好戲就要開場了。

假設(shè)我們給數(shù)軸上的每個(gè)正有理分?jǐn)?shù)發(fā)一把傘，以防止它們被雨水淋濕。這些傘都是簡單的T形。第一把傘的T形結(jié)構(gòu)在數(shù)軸上占據(jù)1/2個(gè)單位，第二把傘占據(jù)1/4個(gè)單位，以此類推。一旦所有的正有理分?jǐn)?shù)都撐起傘，整個(gè)數(shù)軸就會(huì)全部被遮蓋在雨傘之下。傘的T形結(jié)構(gòu)向兩邊伸出的幅度相同，也就是說，第一把傘將遮擋住左右各1/4個(gè)單位中的所有數(shù)字。請(qǐng)注意，由于傘遮擋的都是有理分?jǐn)?shù)，將第一把傘所在的點(diǎn)（同樣是一個(gè)有理分?jǐn)?shù)）加減1/4都會(huì)到達(dá)另一個(gè)有理分?jǐn)?shù)。

到目前為止，你沒有發(fā)現(xiàn)任何問題吧？每把傘都立在一個(gè)有理分?jǐn)?shù)所在的點(diǎn)上，同時(shí)向兩邊展開，伸到其他有理分?jǐn)?shù)所在的位置。別忘了，我們給每個(gè)正有理分?jǐn)?shù)都發(fā)了一把傘，因此傘與傘之間至少會(huì)相互接觸，大多數(shù)情況下還會(huì)發(fā)生重疊，從而把整個(gè)數(shù)軸都遮擋起來。

也就是說，我們利用雨傘把數(shù)軸上0至無窮大的部分全部遮蓋起來?，F(xiàn)在，再想一想傘的寬度，它們的寬度構(gòu)成了無窮級(jí)數(shù)1/2+1/4+1/8+…。在不發(fā)生重疊的情況下，這些雨傘最多可以覆蓋數(shù)軸的1個(gè)單位，在發(fā)生重疊時(shí)，覆蓋的長度就更小了。總寬度僅為1的物體集合竟然把無限延伸的直線都遮蓋住了，你是不是感到困惑不解啊？這就是無窮大給我們的大腦帶來的沖擊。

然而，盡管康托爾取得了這些成就，他卻始終無法證明一個(gè)發(fā)現(xiàn)的正確性。他最終精神崩潰，或許就是出于這個(gè)原因?？低袪栒J(rèn)為，無窮應(yīng)該是分等級(jí)的，整數(shù)的無窮等級(jí)最低，其次是連續(xù)統(tǒng)的無窮等級(jí)，即?c。這個(gè)觀念在他的心目中幾乎達(dá)到了宗教的高度，事實(shí)上他把終極無窮與上帝聯(lián)系到了一起。但是，他沒有辦法證明連續(xù)統(tǒng)的無窮等級(jí)是??。在??和??之間可能還存在其他無窮等級(jí)。直到去世，康托爾也沒有發(fā)現(xiàn)這是一項(xiàng)毫無意義的研究。后來，有人利用數(shù)學(xué)方法證明，這個(gè)被稱作連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的斷言的正確性根本無法確定。

這個(gè)結(jié)論是由數(shù)學(xué)家?guī)鞝柼亍じ绲聽柾ㄟ^他的不完全性定理證明的。不完全性定理是所有數(shù)學(xué)家的噩夢(mèng)。該定理認(rèn)為，任何一個(gè)形式系統(tǒng)，只要包含了一階謂詞邏輯與初等數(shù)論，就必然存在一個(gè)命題，它在這個(gè)系統(tǒng)內(nèi)既無法被證明為真，也無法被證明為偽。有時(shí)，即使在同一個(gè)世界內(nèi)，我們可以應(yīng)用的法則也可能不止一套。前面討論的平面和曲面上的平行線的特性就是一個(gè)例子。但是，當(dāng)我們?cè)噲D使用數(shù)學(xué)工具探索現(xiàn)實(shí)世界時(shí)，就必須使用一套固定的法則。

哥德爾的研究實(shí)質(zhì)上是要證明任何系統(tǒng)中都會(huì)存在某些結(jié)果無法確定的問題。也就是說，從根本上看，數(shù)學(xué)是不完善的。如果把哥德爾不完全性定理簡化，就與我們?cè)谇拔挠懻摰牧_素悖論非常相似了。羅素悖論給出的命題在應(yīng)用數(shù)學(xué)系統(tǒng)的法則時(shí)會(huì)產(chǎn)生無法解決的問題。哥德爾成功地證明康托爾的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與集合論公理系統(tǒng)不矛盾——這個(gè)假設(shè)有可能是正確的，但是他無法證明。后來，另一位名叫保羅·科恩的數(shù)學(xué)家，證明了集合論與連續(xù)統(tǒng)假設(shè)彼此獨(dú)立。換句話說，即使該假設(shè)不是真的，對(duì)集合論也不會(huì)產(chǎn)生任何影響。

從本質(zhì)上講，他們的研究表明，只要現(xiàn)行的集合論公理系統(tǒng)不做修改，就不可能證明連續(xù)統(tǒng)的無窮級(jí)別就是高于??的??。哥德爾本人也著重強(qiáng)調(diào)了這一點(diǎn)，他說連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的真實(shí)性肯定無法確定。他還說：“根據(jù)現(xiàn)在已知的集合論公理系統(tǒng)無法確定它的真實(shí)性，只能說明這些公理無法完整地描述現(xiàn)實(shí)世界。”

我們知道，公理是為某個(gè)數(shù)學(xué)分支奠定基礎(chǔ)的基本假設(shè)。數(shù)學(xué)家必須假定這些“已知”條件是真實(shí)的，然后以它們?yōu)榛A(chǔ)，開始搭建數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。運(yùn)用數(shù)學(xué)證明時(shí)一定會(huì)使用這些公理，但是這些公理畢竟是假設(shè)，假設(shè)肯定會(huì)引起人們的質(zhì)疑，因此這些公理到底正確與否，難免引發(fā)爭議。

集合論是康托爾所有無窮大研究（更不用說這位數(shù)學(xué)家眼中的數(shù)字基本概念及運(yùn)算法則）的基礎(chǔ)，集合論自身的基礎(chǔ)則是ZFC公理系統(tǒng)。其中Z和F分別指將康托爾的集合論研究成果整理成形的數(shù)學(xué)家策梅洛（Zermelo）和弗倫克爾（Fraenkel），C代表選擇公理（把這條公理單獨(dú)列出的原因馬上就會(huì)揭曉）。系統(tǒng)中的8條公理對(duì)于20世紀(jì)的數(shù)學(xué)界而言非常熟悉：

1.存在性公理。至少存在一個(gè)集合?；鶖?shù)源自空集，即沒有任何元素的集合。但是，首先必須有集合存在。

2.外延公理。當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)集合有同樣的元素時(shí)，這兩個(gè)集合相等。這條公理具有數(shù)學(xué)公理的典型特點(diǎn)：表面上是一個(gè)顯而易見的命題，但是，要讓數(shù)學(xué)有據(jù)可循，它又不可或缺。

3.分類公理。對(duì)于所有集合與所有條件，都有一個(gè)集合與之對(duì)應(yīng)，且該集合的元素正好是原集合中符合該條件的所有元素。換言之，從一個(gè)集合中選擇一些元素，無論如何選取，所選擇的元素都可以構(gòu)成一個(gè)集合。例如，在所有大于1的自然數(shù)這個(gè)集合中，利用“除自身和1以外沒有因數(shù)”這個(gè)條件，就可以得到另外一個(gè)集合，即素?cái)?shù)集。

4.無序?qū)怼?duì)于任意兩個(gè)集合，都存在第三個(gè)集合將前兩個(gè)集合包含其中。也就是說，可以由兩個(gè)集合得到第三個(gè)集合。

5.并集公理。已知多個(gè)集合，則存在某個(gè)集合包含屬于已知多個(gè)集合之中至少一個(gè)集合的所有元素。

6.冪集公理。對(duì)于任意已知集合，都存在一系列集合，包含已知集合的所有子集。

7.無窮公理。存在一個(gè)集合，包含空集和所有非空子集。

8.選擇公理。對(duì)于任意集合，我們都有辦法從該集合的所有非空子集中選擇一個(gè)元素。

這些公理大多比較可靠，而且不會(huì)導(dǎo)致麻煩。但是如果我們處理的是無窮集，最后那條公理，也就是第8條公理，就會(huì)成為ZFC系統(tǒng)的大麻煩。隱患就在于“辦法”這個(gè)詞。當(dāng)然，對(duì)于一個(gè)已知集合，我們肯定可以從中隨機(jī)選擇一個(gè)元素，但是“隨機(jī)選擇”并不能被視為一個(gè)有效的數(shù)學(xué)方法。我們可以不考慮任何特殊原因，從一系列物理對(duì)象中隨機(jī)選擇一個(gè)，但是利用數(shù)學(xué)方法完成隨機(jī)選擇的難度非常大，因?yàn)楹茈y定義到底如何選擇才算真正做到隨機(jī)，除非集合的元素?cái)?shù)量已知。

對(duì)于有窮集，我們甚至無須做到隨機(jī)選擇，比如，我們可以采取“選擇集合的第一個(gè)元素”的方法。但是，整數(shù)是所有數(shù)字的一個(gè)子集，它們沿著正負(fù)方向無限延伸。如果我們需要從這個(gè)子集中選取一個(gè)數(shù)字，應(yīng)該如何做呢？也許“選擇中值”這條法則可以幫助我們完成任務(wù)，但是無窮集的中值真的那么顯而易見嗎？

好消息是，我們現(xiàn)在有辦法“修復(fù)”ZFC系統(tǒng)，為連續(xù)統(tǒng)假設(shè)這個(gè)問題給出一個(gè)確切的答案。大多數(shù)數(shù)學(xué)家都認(rèn)為最好的辦法是“力迫法”或“內(nèi)模型法”（這個(gè)方法還有一個(gè)上口的別稱——V=ultimateL，即集合論宇宙終極可構(gòu)成集類）。唯一的問題是，力迫法告訴我們連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是錯(cuò)誤的，而內(nèi)模型法則認(rèn)為連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是正確的。

這兩個(gè)可能的結(jié)果充分顯示了數(shù)學(xué)的本質(zhì)和它與現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)系。集合論絕對(duì)是我們每天都要使用的實(shí)用數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之一，然而集合論自身在選用公理這個(gè)方面卻具有隨機(jī)性。一條道路通向光怪陸離、令人向往的數(shù)學(xué)世界，另一條道路則更貼近我們心目中的現(xiàn)實(shí)世界。就純粹數(shù)學(xué)而言，這不是問題，只能說明我們使用的是兩個(gè)不同的數(shù)學(xué)系統(tǒng)，就好比有的數(shù)學(xué)系統(tǒng)是建立在維度多達(dá)數(shù)千而且與現(xiàn)實(shí)世界毫不相干的基礎(chǔ)之上。但是，作為科學(xué)的基礎(chǔ)，我們還是希望找到一條具有唯一性和確定性的數(shù)學(xué)道路。

盡管在科學(xué)研究中應(yīng)用數(shù)學(xué)工具，會(huì)因?yàn)榧险撟陨淼膯栴}而受到嚴(yán)重影響，但是康托爾的無窮性研究并不會(huì)給我們帶來明顯的麻煩。我們知道，如果方程涉及變化，而且某些值可以通過合并無窮多個(gè)無窮小的部分的方式推導(dǎo)得出，牛頓、萊布尼茨及其后來者在進(jìn)行微積分運(yùn)算時(shí)就會(huì)使用潛無窮的概念。在這種情況下，無窮的概念（至少是亞里士多德提出的潛無窮概念）具有讓人無法抗拒的價(jià)值。我們更不清楚的是，如果脫離了徹底抽象化的數(shù)學(xué)世界，康托爾的實(shí)無窮是否還有任何實(shí)際意義。

答案非常簡單，到現(xiàn)在為止，我們還不知道無窮在現(xiàn)實(shí)世界中到底有沒有意義。宇宙可能是無窮無盡的，大爆炸理論并不能徹底否定這種可能性。我們只知道可觀測(cè)宇宙的直徑大約是900億光年，這個(gè)數(shù)字是對(duì)光自宇宙誕生以來傳播的距離與相同時(shí)間里宇宙膨脹的速度加以綜合之后得出的結(jié)論。但是，無論我們這個(gè)宇宙是獨(dú)一無二的，還是無窮無盡的宇宙海洋中不起眼的一滴水（很多現(xiàn)代大爆炸模型認(rèn)為，在更大的多元宇宙中發(fā)生過多次大爆炸），宇宙的膨脹都有可能是沒有限度的。

從某些方面看，無限宇宙似乎比有限宇宙更有吸引力，因?yàn)橛邢抻钪鏁?huì)讓人們情不自禁地遐想：宇宙邊界之外是什么？但是，數(shù)學(xué)家已經(jīng)找到了一個(gè)可能的答案：即使是有限宇宙，也可能完全沒有邊界。這個(gè)答案似乎與我們的直覺不符，因?yàn)檫@在常見的三維空間中是很難想象的，但是我們可以輕松地找到一個(gè)二維類比對(duì)象——月球表面。（我選擇月球表面而沒有選擇地球表面，是因?yàn)榈厍虮砻嫔系暮Ｑ髸?huì)破壞它的連續(xù)性。）月球上有一個(gè)有限空間，即它的表面，而且這個(gè)有限空間沒有邊界。我們可以朝著任意方向一直走下去，也不會(huì)走到月球的邊緣。站在月球上看，月球表面似乎是一個(gè)平面。把平面折向第三個(gè)維度，讓邊緣結(jié)合到一起，平面的邊界就消失了。要在宇宙中想象出類似效果，我們需要把宇宙的體積折向第四個(gè)維度。在折疊之前，我們?cè)谀硞€(gè)位置上跨出一步就相當(dāng)于從宇宙的一個(gè)側(cè)面跨出去，但是在折疊之后，跨出去的這一步會(huì)讓我們從宇宙的這一面進(jìn)入與之相對(duì)的另一面。

現(xiàn)實(shí)世界中另一個(gè)可能真正具有無窮性的事物是時(shí)間。亞里士多德認(rèn)為時(shí)間沒有盡頭，可以被視為一個(gè)無限膨脹的過程。有的宇宙學(xué)理論認(rèn)為宇宙也沒有起點(diǎn)，盡管更受歡迎的大爆炸理論揭示了宇宙的起源。但是，有人認(rèn)為，如果宇宙膨脹到一定程度，之后再也不會(huì)發(fā)生任何變化，宇宙就走到了盡頭。在這種情況下，我們有理由相信時(shí)間已經(jīng)不存在了，因?yàn)闀r(shí)間的流逝將沒有辦法表示。

亞里士多德還相信時(shí)間和空間都可以被分割成許多無窮小的部分（亞里士多德不是原子論者）?，F(xiàn)代物理學(xué)家大多認(rèn)為這個(gè)觀點(diǎn)可能不正確。僅僅因?yàn)槲锢憩F(xiàn)實(shí)的其他方面可以量子化（可以分割成離散粒子），時(shí)間和空間就一定也如此嗎？考慮到萬有引力已經(jīng)被引入量子框架，他們更加確信這個(gè)觀點(diǎn)不正確了。表示空間粒度效果最好的備選量度就是普朗克長度和普朗克時(shí)間，這兩個(gè)單位的值是由光速c、引力常量G和普朗克常量h三個(gè)基本常數(shù)決定的。

當(dāng)人們建立這兩個(gè)普朗克單位時(shí)，它們被視為宇宙的基本屬性，而不是人為創(chuàng)造的兩個(gè)概念。普朗克長度等于√(hG/c^3)，大約是1.6×10–35 米，普朗克時(shí)間是√(hG/c^5)，大約等于5.4×10–44秒。還有一個(gè)普朗克單位是普朗克質(zhì)量，即√(hc/G)，大約等于2.2×10–8千克。雖然人們很少提及普朗克質(zhì)量，但這是唯一一個(gè)與我們體驗(yàn)過的事物具有可比性的普朗克單位。（這些單位的值非常小，人們從來沒有用過其他任何方式來衡量這些值。）如果時(shí)間和空間可以量子化，那么我們有可能（盡管無法確定）使用這些值來測(cè)算它們的粒度。（普朗克質(zhì)量肯定不是質(zhì)量的最小單位，它大約是電子質(zhì)量的1022倍。有人認(rèn)為，普朗克質(zhì)量可能是基本粒子的最大可能質(zhì)量。）

有趣的是，可能出現(xiàn)真正的無窮的一個(gè)領(lǐng)域是量子物理。原子、電子等量子的屬性不同于我們?cè)凇昂暧^”世界中熟悉的各種事物的屬性。例如，量子的一個(gè)特性叫作自旋（量子自旋并不是指真的自旋，而是借用自旋物體來比喻某種屬性），但是我們無法用具體的值來表示它。在任一特定方向上測(cè)量，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)量子自旋的方向可能“向上”，也可能“向下”。

在測(cè)量之前，我們無法預(yù)知測(cè)量結(jié)果，因?yàn)榱Ｗ拥淖孕龥]有實(shí)值。其實(shí)，自旋就是一種疊加狀態(tài)，比如，粒子有27%的可能性向上自旋，有73%的可能性向下自旋。也就是說，如果我們?cè)谀硞€(gè)特定方向上重復(fù)測(cè)量，測(cè)量結(jié)果是“向上”和“向下”的概率分別是27%和73%。但是，我們只能測(cè)量概率（這要?dú)w功于薛定諤方程），而無法預(yù)知測(cè)量結(jié)果。

在疊加狀態(tài)下，自旋可以被視為一種方向。我們可以把它想象成箭頭，箭頭朝上表示上旋的可能性是100%，箭頭朝下則表示下旋的可能性是100%。在疊加狀態(tài)下，箭頭指向某個(gè)中間方向。（可能性為各占一半，箭頭指向水平方向。）由此可見，我們實(shí)際上得到了一個(gè)實(shí)數(shù)——一個(gè)無窮小的數(shù)，其表現(xiàn)形式是疊加狀態(tài)的方向。因此，以這些粒子自旋為基礎(chǔ)的量子計(jì)算機(jī)的潛能遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過二進(jìn)制的傳統(tǒng)計(jì)算機(jī)。如果0準(zhǔn)備入侵現(xiàn)實(shí)世界，也許它會(huì)通過量子位，甚至只能通過一種間接的方式來實(shí)現(xiàn)這個(gè)目的，因?yàn)槲覀冇肋h(yuǎn)無法知道它的確切值。但是，這種入侵是真實(shí)的，因?yàn)樗鼤?huì)對(duì)測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生直接影響。

然而，有一件事肯定是真實(shí)無誤的。盡管對(duì)于數(shù)學(xué)家而言，無窮就是一個(gè)雅致的玩具，但是在科學(xué)研究中卻經(jīng)常會(huì)招致難以解決的麻煩。在物理學(xué)領(lǐng)域，例如在研究前面討論的電子反沖時(shí)，無窮大概念經(jīng)常會(huì)發(fā)揮更大的價(jià)值。無論我們研究的是黑洞內(nèi)部結(jié)構(gòu)，還是反沖電子這種常見現(xiàn)象，無窮都有可能悄無聲息地出現(xiàn)在我們眼前。電子還會(huì)導(dǎo)致另外一個(gè)問題，因?yàn)槿藗冋J(rèn)為電子是沒有維度的點(diǎn)粒子。但是，這就意味著隨著我們?cè)絹碓浇咏娮?，電場?qiáng)度就會(huì)趨近于無窮大，而離電子最近的肯定是它自己。

當(dāng)用量子電動(dòng)力學(xué)解釋光與物質(zhì)粒子之間發(fā)生的電磁相互作用時(shí)（這種電磁相互作用對(duì)于我們所有的日常體驗(yàn)來說幾乎都是不可或缺的），無窮引起了無數(shù)麻煩，電子與自身電場發(fā)生相互作用產(chǎn)生的自能就是其中之一。然而，人們普遍認(rèn)為，就預(yù)測(cè)觀測(cè)值而言，量子電動(dòng)力學(xué)是迄今最成功的理論。那么，它是如何處理無窮問題的呢？答案是重正化，歸根結(jié)底就是用觀測(cè)值取代那些荒謬的無窮值。

在遇到無窮時(shí)，物理學(xué)家并不總是束手無策，因?yàn)樗麄冸S時(shí)可以借助微積分中的潛無窮概念來化解危機(jī)。但令人尷尬的是，物理學(xué)理論似乎隨時(shí)會(huì)拋出足以導(dǎo)致麻煩的實(shí)無窮概念。物理學(xué)家馬克斯·泰格馬克認(rèn)為，如果我們支持那些容許實(shí)無窮概念存在的理論，就等于給未來的物理學(xué)制造麻煩。

他特別指出，宇宙膨脹說就是這種理論的一個(gè)代表。宇宙膨脹說是幫助早期大爆炸理論解決某些問題的“補(bǔ)丁”。該學(xué)說認(rèn)為，大爆炸發(fā)生之后，宇宙空間以遠(yuǎn)超光速的速度急劇膨脹，我們現(xiàn)在可觀測(cè)到的宇宙從此開始了它的生命歷程?，F(xiàn)行的宇宙膨脹說與觀測(cè)結(jié)果的一致程度比較高。（從某種意義上講，這也是理所應(yīng)當(dāng)?shù)?，因?yàn)橛钪媾蛎浾f的創(chuàng)立初衷就是實(shí)用，為了與新數(shù)據(jù)吻合，又修改了若干次。但是，自現(xiàn)代宇宙膨脹說建立之后，已經(jīng)有很多觀測(cè)結(jié)果遲遲不能得到合理的解釋。）

泰格馬克稱，麻煩的根源就在于膨脹說秉持宇宙體積可以無限膨脹的觀點(diǎn)。根據(jù)這個(gè)觀點(diǎn)，最終將會(huì)形成一個(gè)空間無窮集，將所有可能的物理情況都包含其中，導(dǎo)致膨脹說在諸多領(lǐng)域里完全喪失做出明智預(yù)測(cè)的能力。如果一切都有可能，我們就無法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)任何結(jié)果，科學(xué)的意義也會(huì)遭到嚴(yán)重破壞。從這個(gè)角度看，宇宙膨脹說與致命計(jì)算機(jī)病毒有幾分相似，如果聽之任之，所有的科學(xué)理論都將遭遇滅頂之災(zāi)。

泰格馬克指出，就像橡皮筋因?yàn)樵訑?shù)量有限而無法無限拉伸一樣，根據(jù)時(shí)空的量子性質(zhì)，宇宙的膨脹也應(yīng)該是有限度的；而且，如果物質(zhì)真的具有連續(xù)性，那么這個(gè)說法基本上就是對(duì)的。他認(rèn)為，有了這個(gè)限度，一切問題都將迎刃而解。無論是密度無限大的黑洞奇點(diǎn)，還是阻礙量子引力理論發(fā)展的數(shù)學(xué)難題，都不再是問題。他大聲疾呼：我們不需要實(shí)無窮！

最后，泰格馬克說：“我們物理學(xué)家面臨的挑戰(zhàn)是找到這個(gè)簡便有效的方法，用不包含無窮的方程描述真正的物理定律。我們必須先對(duì)無窮提出質(zhì)疑，才可能積極投身這項(xiàng)探索活動(dòng)。我認(rèn)為，我們有必要把它趕出物理學(xué)界。”盡管泰格馬克的話有些特立獨(dú)行，但是他的思想可能代表了科學(xué)的一個(gè)新起點(diǎn)。

與令人尷尬的物理學(xué)領(lǐng)域的無窮不同，康托爾研究的數(shù)學(xué)領(lǐng)域的無窮對(duì)日常生活與科學(xué)研究從未產(chǎn)生任何重大的影響。從研究數(shù)字與現(xiàn)實(shí)之間關(guān)系的角度看，我們更想知道哥德爾的研究成果，以及選擇公理因?yàn)樽陨韱栴}而導(dǎo)致的隨機(jī)性到底會(huì)產(chǎn)生什么樣的影響。集合論是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，但它自身卻有一個(gè)有趣的缺陷?；蛟S這些新發(fā)展的最大意義是告訴我們，將數(shù)學(xué)視為現(xiàn)實(shí)世界的直接基礎(chǔ)，會(huì)帶來一定的風(fēng)險(xiǎn)。果真如此的話，就意味著現(xiàn)實(shí)也具有隨機(jī)性。

盡管直到康托爾去世，他的無窮理論也沒有得到廣泛應(yīng)用，但是物理學(xué)卻開啟了一個(gè)新的發(fā)展方向，使數(shù)學(xué)的核心地位得到了史無前例的鞏固。從此以后，人類對(duì)世間萬物的認(rèn)知，以及人類的日常生活，幾乎都將因此而發(fā)生改變。