【原】高考數(shù)學(xué)直線方程問題不難，但很多人卻栽在這個小毛病上

穩(wěn)上本科 2020-09-21

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一次函數(shù)是很多最早學(xué)習(xí)的函數(shù)知識內(nèi)容之一，它的圖像是一條直線，而學(xué)好一次函數(shù)，那么首先要掌握好一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程組等相關(guān)知識內(nèi)容。從某種意義上來說，直線方程的概念本質(zhì)上是刻畫直線與方程的一一對應(yīng)的關(guān)系。

進入高中之后，數(shù)學(xué)教材繼續(xù)安排直線相關(guān)知識內(nèi)容學(xué)習(xí)，無論是知識的深度廣度都在增加，一方面讓學(xué)生感受學(xué)無止境的學(xué)習(xí)精神，進一步強化函數(shù)思想，學(xué)會運用數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想解決問題；另一方面這也是解析幾何可以用方程(代數(shù))研究直線(幾何)的基礎(chǔ)。

高中數(shù)學(xué)里面我們更多講究直線方程的概念，這個比起一次函數(shù)去解釋，顯得更加抽象，對學(xué)生的思維能力進一步提出挑戰(zhàn)，但也加強學(xué)生對思考問題的角度和方法的培養(yǎng)，這些都是數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)的體現(xiàn)。

跟直線相關(guān)的知識內(nèi)容，很多看上去都是屬于“死記硬背”的東西，如直線的傾斜角與斜率概念、公式等等，只要肯花點時間去背背，都能記住，但能不能運用這些知識正確解出問題，又是另一回事。

因此，對于任何數(shù)學(xué)知識，我們不僅僅是要記住，更要學(xué)會去理解知識的本質(zhì)，這樣使自己的思維得到鍛煉。

就像對直線的傾斜角與斜率、直線的方程這塊知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)，首先要把概念分析清楚，牢記概念。

什么是直線的傾斜角？

1、定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做這條直線的傾斜角．當(dāng)直線與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°.

2、傾斜角的范圍為[0，π)．

什么是直線的斜率？

1、定義：一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan_α，傾斜角是90°的直線沒有斜率．

2、過兩點的直線的斜率公式：

經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝（y2-y1）/（x2-x1）=（y1-y2）（x1-x2）.

花點時間去記住這些概念都不難，但深刻去理解，如在求直線方程時要注意判斷直線斜率是否存在，每條直線都有傾斜角，但不一定每條直線都存在斜率。

由斜率求傾斜角，一是要注意傾斜角的范圍；二是要考慮正切函數(shù)的單調(diào)性。用截距式寫方程時，應(yīng)先判斷截距是否為0，若不確定，則需要分類討論。

典型例題分析1：

已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．

(1)證明：直線l過定點；

(2)若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；

(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標(biāo)原點，設(shè)△AOB的面積為S，求S的最小值及此時直線l的方程．

解：(1)證明：法一：直線l的方程可化為y＝k(x＋2)＋1，

故無論k取何值，直線l總過定點(－2,1)．

法二：設(shè)直線過定點(x0，y0)，則kx0－y0＋1＋2k＝0對任意k∈R恒成立，即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立，

∴x0＋2＝0，－y0＋1＝0，

解得x0＝－2，y0＝1，故直線l總過定點(－2,1)．

(2)直線l的方程為y＝kx＋2k＋1，則直線l在y軸上的截距為2k＋1，

要使直線l不經(jīng)過第四象限，

解決直線方程的綜合問題時，除靈活選擇方程的形式外，還要注意題目中的隱含條件，若與最值或范圍相關(guān)的問題可考慮構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)進行轉(zhuǎn)化求最值。

同時對直線方程的形式及適用條件要分的非常清楚：

1、點斜式

幾何條件是過點(x0，y0)，斜率為k ；方程為y－y0＝k(x－x0) ；局限性是不含垂直于x軸的直線。

2、斜截式

幾何條件是斜率為k，縱截距為b ；方程為y＝kx＋b；局限性是不含垂直于x軸的直線。

3、兩點式

幾何條件是過兩點(x1，y1)，(x2，y2)，(x1≠x2，y1≠y2)；方程為（y-y1）/（y2-y1）=（x-x1）（x2-x1）；局限性是不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線。

4、截距式

幾何條件是在x軸、y軸上的截距分別為a，b(a，b≠0)；方程為x/a+y/b ＝1 不包括垂直于坐標(biāo)軸和過原點的直線。

5、一般式

方程為Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0) 。

典型例題分析3：

過點P(3,0)作一直線，使它夾在兩直線l1：2x－y－2＝0與l2：x＋y＋3＝0之間的線段AB恰被點P平分，求此直線的方程。

在求解與直線有關(guān)的相關(guān)問題過程中，一些學(xué)生常常會因考慮不周全而丟失分?jǐn)?shù)，如對直線斜率與傾斜角之間的關(guān)系理解不夠透徹妄下結(jié)論導(dǎo)致錯誤；求直線的傾斜角或斜率時不能準(zhǔn)確地表達(dá)結(jié)果；如設(shè)直線方程為點斜式或斜截式而漏掉斜率不存在的情況。

求直線方程的方法主要有以下兩種：

1、直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫出直線方程；

2、待定系數(shù)法：先設(shè)出直線方程，再根據(jù)已知條件求出待定系數(shù)，最后代入求出直線方程。

從幾道例題，我們可以看出，要想正確解決直線相關(guān)的問題，那么就要正確求出傾斜角，如求傾斜角的取值范圍的一般步驟：

1、求出斜率k＝tan α的取值范圍；

2、利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象或單位圓數(shù)形結(jié)合，確定傾斜角α的取值范圍；

3、求傾斜角時要注意斜率是否存在。

通過對直線方程的概念、傾斜角概念、斜率定義及斜率公式四大主要知識的學(xué)習(xí)，我們不僅要扎實掌握好基本知識內(nèi)容，更要通過知識的學(xué)習(xí)，讓自身的思維能力得到鍛煉。

典型例題分析4：

如圖，射線OA、OB分別與x軸正半軸成45°和30°角，過點P(1,0)作直線AB分別交OA、OB于A、B兩點，當(dāng)AB的中點C恰好落在直線y＝1/2x上時，求直線AB的方程．