關于高考數(shù)學相關的數(shù)列類問題，我們已經(jīng)陸續(xù)講解了數(shù)列求和問題、數(shù)列類實際應用型問題、數(shù)列綜合運用問題等等。各個專題針對高考數(shù)列不同的考查方向和出題方式，如果大家對每個專題都能認真去研讀和思考，相信一定能幫助大家掌握好數(shù)列相關知識內容。

在講解幾個數(shù)列專題知識內容過程中，我們發(fā)現(xiàn)要順利解決數(shù)列問題，很多時候需要先找出數(shù)列的通項公式，或是遞推公式等等。很多考生無法解決數(shù)列問題，都是卡在這個問題上，無法找出數(shù)列的通項公式，自然數(shù)列問題就無法繼續(xù)下一步，更別說解決問題，拿到分數(shù)。

因此，今天我們就一起來講講數(shù)列問題當中關鍵解題步驟：如何求解數(shù)列的通項公式，即遞推數(shù)列問題。

什么是數(shù)列的通項公式？

如果數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式。

在求解數(shù)列通項公式過程中，我們需要對數(shù)列的遞推公式非常了解，那么什么是數(shù)列的遞推公式呢？

如果已知數(shù)列{an}的首項(或前幾項)，且任一項an與它的前一項an－1(n≥2)(或前幾項)間的關系可用一個公式來表示，那么這個公式叫數(shù)列的遞推公式。

典型例題分析1：

數(shù)列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝an＋cn(n∈N*，常數(shù)c≠0)，且a1，a2，a3成等比數(shù)列．

(1)求c的值；

(2)求數(shù)列{an}的通項公式．

解：(1)由題知，a1＝2，a2＝2＋c，a3＝2＋3c，

因為a1，a2，a3成等比數(shù)列，所以(2＋c)2＝2(2＋3c)，

解得c＝0或c＝2，又c≠0，故c＝2.

(2)當n≥2時，由an＋1＝an＋cn得

a2－a1＝c，

a3－a2＝2c，

…

an－an－1＝(n－1)c，

以上各式相加，得an－a1＝[1＋2＋…＋(n－1)]c＝n(n-1)c/2，

又a1＝2，c＝2，故an＝n2－n＋2(n≥2)，

當n＝1時，上式也成立，

所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－n＋2(n∈N*)．

通過遞推數(shù)列來求通項類數(shù)列問題，很多時候我們都會碰到與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何等知識相結合的綜合問題。遇到此類問題，我們要學會利用第n與前n項和關系、構造等比等差數(shù)列、累積累差等求數(shù)列通項公式方法，提高將非特殊數(shù)列問題轉化為特殊數(shù)列問題及利用等比等差數(shù)列通項公式解題能力和分析問題解決問題能力。此類考查很多時候出現(xiàn)在小題或大題的第一小題中，是有一定難度的題目。

解決數(shù)列類問題，我們一定要緊緊抓住數(shù)列的函數(shù)特征，如數(shù)列是一個定義域為正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項公式也就是相應的函數(shù)解析式，即f(n)＝an(n∈N*)。

同時更要加深對數(shù)列概念的理解，如數(shù)列是按一定“順序”排列的一列數(shù)，一個數(shù)列不僅與構成它的“數(shù)”有關，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關，這有別于集合中元素的無序性。

因此，若組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的兩個數(shù)列。數(shù)列中的數(shù)可以重復出現(xiàn)，而集合中的元素不能重復出現(xiàn)，這也是數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別。

在求數(shù)列通項公式過程中需要用到一些數(shù)學思想，如根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式是不完全歸納法，它蘊含著“從特殊到一般”的思想。因此，在平時的數(shù)學學習過程中，我們一定要多加積累數(shù)學思想方法，提高數(shù)學綜合能力。

典型例題分析2：

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2＋2n，數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝2－bn.求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式．

解：∵當n≥2時，

an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋2n)－[2(n－1)2＋2(n－1)]＝4n，

當n＝1時，

a1＝S1＝4也適合，

∴{an}的通項公式是an＝4n(n∈N*)．

∵Tn＝2－bn，

∴當n＝1時，

b1＝2－b1，b1＝1.

當n≥2時，

bn＝Tn－Tn－1＝(2－bn)－(2－bn－1)，

∴2bn＝bn－1.

∴數(shù)列{bn}是公比為1/2，首項為1的等比數(shù)列．

∴bn＝(1/2)n－1.

根據(jù)數(shù)列的前幾項求它的一個通項公式，要注意觀察每一項的特點，觀察出項與n之間的關系、規(guī)律，可使用添項、通分、分割等辦法，轉化為一些常見數(shù)列的通項公式來求．對于正負符號變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調整。

對已知數(shù)列的前n項和，求通向公式問題，常用公式：當n=1時，an=S1；當n≥2時，an=Sn-Sn-1，分別來直接求出通項公式。對給出數(shù)列n項和與若干項的關系求通項公式問題，若利用上述公式易轉化轉化為關于an的遞推公式，則先求出an的遞推公式，再通過構造數(shù)列或累積或累差求出通項公式；若利用上述公式易轉化為關于Sn的遞推公式，則先求出Sn的遞推公式，再求出Sn的通項公式，再用上述公式，直接求出an的通項公式.再利用上述公式求通項公式時，注意要分n=1和n≠1分別求解，驗證n=1時是否適合n≠1的解析式，若不適合則寫成分段函數(shù)形式，若適合則用一個式子表示。

具體來說就是已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，求數(shù)列的通項公式，其求解過程分為三步：

1、先利用a1＝S1求出a1；

2、用n－1替換Sn中的n得到一個新的關系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式；

3、對n＝1時的結果進行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應該分n＝1與n≥2兩段來寫．

典型例題分析3：

在求通項公式過程當中，有時候我們需要構造等差數(shù)列或等比數(shù)列求數(shù)列通項公式。如對所給的數(shù)列條件通過取倒數(shù)、兩邊同除以某個式子、重新組合等變形方法，化為f(n+1)-f(n)=d(d為常數(shù))（f(n+1)/f(n)=q（q為常數(shù)））的形式，常構造等差（等比）數(shù)列bn=f(n)，先利用等差（等比）數(shù)列通項公式求出bn的通項公式，再利用an與f(n)的關系，求出an的通項公式，注意結合結論尋找條件變形方向。

本文轉載自【吳國平數(shù)學教育】

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