一、有限元法基本思想

有限元法的基本思想是將結(jié)構(gòu)離散化，用有限個(gè)簡(jiǎn)單的單元來表示復(fù)雜的對(duì)象，單元之間通過有限個(gè)節(jié)點(diǎn)相互連接，然后根據(jù)平衡和變形協(xié)調(diào)條件綜合求解。由于單元的數(shù)目是有限的，節(jié)點(diǎn)的數(shù)目也是有限的，所以稱為有限元法(FEM，F(xiàn)inite Element Method)。 

有限單元方法是迄今為止最為有效的數(shù)值計(jì)算方法之一，它對(duì)科學(xué)與工程技術(shù)的提供巨大支撐。

二、有限元法的孕育過程及誕生和發(fā)展

• 在17世紀(jì)，牛頓和萊布尼茨發(fā)明了積分法，證明了該運(yùn)算具有整體對(duì)局部的可加性。

• 在18世紀(jì)，著名數(shù)學(xué)家高斯提出了加權(quán)余值法及線性代數(shù)方程組的解法。另一位數(shù)學(xué)家Lagrange提出泛函分析。泛函分析是將偏微分方程改寫為積分表達(dá)式的另一途經(jīng)。

• 在19世紀(jì)末及20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家瑞雷和里茲首先提出可對(duì)全定義域運(yùn)用位移函數(shù)來表達(dá)其上的未知函數(shù)。

• 1915年，數(shù)學(xué)家伽遼金提出了選擇位移函數(shù)中形函數(shù)的伽遼金法方法被廣泛地用于有限元。

• 1943年，數(shù)學(xué)家?guī)炖实碌谝淮翁岢隽丝稍诙x域內(nèi)分片地使用位移函數(shù)來表達(dá)其上的未知函數(shù)。這實(shí)際上就是有限元的做法。

• 20世紀(jì)50年代，飛機(jī)設(shè)計(jì)師們發(fā)現(xiàn)無(wú)法用傳統(tǒng)的力學(xué)方法分析飛機(jī)的應(yīng)力、應(yīng)變等問題。波音公司的一個(gè)技術(shù)小組，首先將連續(xù)體的機(jī)翼離散為三角形板塊的集合來進(jìn)行應(yīng)力分析，經(jīng)過一番波折后獲得成功。(Clough教授參與研究。)

• 20世紀(jì)50年代，大型電子計(jì)算機(jī)投入了解算大型代數(shù)方程組的工作，這為實(shí)現(xiàn)有限元技術(shù)準(zhǔn)備好了物質(zhì)條件。

• 1960年，美國(guó)加州大學(xué)伯克利分校的R.W.Clough教授在論文中提出了“有限單元”，這樣的名詞。值得驕傲的是我國(guó)南京大學(xué)馮康教授在此前后獨(dú)立地在論文中提出了“有限單元”。

三、有限元法計(jì)算方法及軟件

有限元計(jì)算方法作為一種技術(shù)更多的與FEM軟件的發(fā)展緊密的結(jié)合起來。方法不斷更新，優(yōu)勝劣汰，傳承和發(fā)展。在傳統(tǒng)有限元分析的數(shù)值計(jì)算方法之中，有直接計(jì)算法(DirectSolver)與迭代法(Iterative 所謂快速解法)兩種。

常見的有限元軟件有：美國(guó)的ABQUS、ADINA、ANSYS、MARC 、COSMOS、ELAS、 MSC 和STARDYNE，德國(guó)的ASKA、英國(guó)的PAFEC、法國(guó)的 SYSTUS等。

顯式/隱式有限元法：只需對(duì)可以簡(jiǎn)化為對(duì)角陣的質(zhì)量矩陣求逆，沒有增量步內(nèi)迭代收斂問題，可以一直計(jì)算下去。隱式計(jì)算具有時(shí)間步長(zhǎng)增量較大、每個(gè)荷載步都能控制收斂，避免誤差累積、存在迭代不收斂的問題、計(jì)算量隨計(jì)算規(guī)模增大而成超線性增長(zhǎng)的特點(diǎn)。相對(duì)與隱式顯式計(jì)算具有時(shí)間步長(zhǎng)很小、誤差累積、不存在迭代不收斂的問題、計(jì)算量隨計(jì)算規(guī)?；緸榫€性增長(zhǎng)的特點(diǎn)。這種計(jì)算方法的代表軟件有ABQUS。

離散單元法：離散單元法也被稱為散體單元法，最早是1971年 由Cundall提出的一種不連續(xù)數(shù)值方法模型，這種方法的優(yōu)點(diǎn)是 適用于模擬離散顆粒組合體在準(zhǔn)靜態(tài)或動(dòng)態(tài)條件下的變形過程。 離散單元法不是建立在最小勢(shì)能變分原理上，而是建立在最基本 的牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律上。它以每個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)方程為基礎(chǔ)，建立 描述整個(gè)破壞過程的顯式方程組后，通過動(dòng)力松弛迭代求解。

剛體彈簧單元法：剛體彈簧單元法(RigidBodySpringMethod,RBSM) 最早由Kawai于1976年提出，當(dāng)初提出的意圖是以較少的自由度來求解結(jié)構(gòu)問題。它把體系分解為一些由均布在接觸面上的彈簧系 統(tǒng)聯(lián)系起來的剛性元，剛性元本身不發(fā)生彈性變形，因此結(jié)構(gòu)的變形能僅能儲(chǔ)存在接觸面的彈簧系統(tǒng)中。由于剛體彈簧元單元間 的作用力通過單元界面上彈簧傳遞，可以直接得到界面的作用力， 因此在巖土界面分析等領(lǐng)域也有著較好的應(yīng)用。

接觸判斷法：通過單元之間的相互接觸判斷得到相互之間的作用力，進(jìn)而形成運(yùn)動(dòng)方程。因此，快速而準(zhǔn)確的接觸算法對(duì)有限元方法非常重要。由于由于計(jì)算過程中單元往往會(huì)發(fā)生較大位移，使得原有的塊體間的空間拓?fù)潢P(guān)系發(fā)生變化，使接觸判斷變得更加復(fù)雜。

無(wú)網(wǎng)格法：傳統(tǒng)有限元需要構(gòu)造特定的單元網(wǎng)格來形成位置插值函數(shù)，是否可以讓計(jì)算機(jī)根據(jù)節(jié)點(diǎn)信息來“自動(dòng)”形成位移插值函數(shù)？無(wú)網(wǎng)格法可以實(shí)現(xiàn)。無(wú)網(wǎng)格法對(duì)函數(shù)的要求有：

• 光滑連續(xù)

• 影響的節(jié)點(diǎn)有限

無(wú)網(wǎng)格法常用插值方法有： 移動(dòng)最小二乘、核函數(shù)與徑向基函數(shù)。整體方程有配點(diǎn)法、 最小二乘法、伽遼金法。伽遼金法是應(yīng)用最廣、最穩(wěn)定的無(wú)網(wǎng) 格法之一。

XFEM：1999年提出，擴(kuò)展有限元法(XFEM)，在 Belytschko等學(xué)者努力下XFEM得到長(zhǎng)足發(fā)展，在ABAQUS的6.10版本軟件中得以實(shí)現(xiàn)。

四、結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域有限元法的發(fā)展趨勢(shì)

1. 多物理場(chǎng)耦合問題 

近年來有限元方法已發(fā)展到流體力學(xué)、溫度場(chǎng)、電傳導(dǎo)、 磁場(chǎng)、滲流和聲場(chǎng)等問題的求解計(jì)算，最近又發(fā)展到求解 幾個(gè)交叉學(xué)科的問題。如需要用固體力學(xué)和流體動(dòng)力學(xué)的 有限元分析結(jié)果交叉迭代求解，即所謂“流固耦合”的問題。

2. 線性工程問題到非線性分析問題 

線性理論已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足設(shè)計(jì)的要求。例如土木工程中 的高層建筑和大跨度懸索橋的出現(xiàn)，就要求考慮結(jié)構(gòu)的大位 移和大應(yīng)變等幾何非線性問題；

航天和動(dòng)力工程的高溫部件存在熱變形和熱應(yīng)力，也要考慮材料的非線性問題；諸如塑料、橡膠和復(fù)合材料等各種新材料的出現(xiàn)，僅靠線性計(jì)算理論就不足以解決遇到的問題，只有 采用非線性有限元算法才能解決。

3. 時(shí)變結(jié)構(gòu)及連續(xù)倒塌問題 

結(jié)構(gòu)不可能天生就存在那里，也不可能憑空消失，所以 結(jié)構(gòu)物的建造或則拆除過程，均為動(dòng)態(tài)的，在不同階段可能表現(xiàn)出不同力學(xué)性能，其中存在很多復(fù)雜問題。有限元對(duì)于此類過程分析，往往根據(jù)施工過程，編制時(shí)程程序，動(dòng)態(tài)跟蹤結(jié)構(gòu)性能變化。

4. 優(yōu)化問題：

在有限元中有這幾個(gè)方面的需求，如邊界形狀優(yōu)化、最小質(zhì)量、等強(qiáng)度、等應(yīng)變、動(dòng)力學(xué)參數(shù)優(yōu)化等，優(yōu)化問題的特點(diǎn)是變量多（幾十/數(shù)百），許多實(shí)際的優(yōu)化算法這樣多的變量中穩(wěn)健性還有待提高。

5. 湍流問題：

目前已經(jīng)有一些較好的方法，如有限體積法等，仍需深入，目前湍流問題實(shí)際上根本不是算法問題，而是介質(zhì)的物理模型問題；人們對(duì)湍流的認(rèn)識(shí)可能還受到目前科學(xué)技術(shù)水平的限制。

五、結(jié)語(yǔ)

有限元法不是萬(wàn)能的，關(guān)鍵是其思想，它完美地體現(xiàn)了哲學(xué)中局部與整體的關(guān)系，要解決整體問題，必須先研究局部問題， 局部問題研究清楚后，再研究局部之間作用的關(guān)系，然后各個(gè)局部在一個(gè)統(tǒng)一的坐標(biāo)尺度下綜合，考慮整個(gè)系統(tǒng)和外部的關(guān)系，最后得到全局的特征。

有限元方法是我們認(rèn)識(shí)世界的科學(xué)工具，但它的哲學(xué)含義、方法論含義還遠(yuǎn)沒有為人們所認(rèn)識(shí)。