首先我們從解二次方程講起，考慮下面這樣的二次方程：

要解這個(gè)方程，可以變換成下面的形式：

到了這一步就走不通了，因?yàn)橹灰?x 是實(shí)數(shù)，x+1 也是實(shí)數(shù)。因此，(x+1)2 就不會(huì)是負(fù)的，可是它卻等于-1。

據(jù)遠(yuǎn)山啟在他的著作《數(shù)學(xué)與生活》中描述，日本德川時(shí)代的數(shù)學(xué)家對(duì)于方程有兩個(gè)根這樣的事實(shí)是無(wú)法接受的，他們把這樣的方程起名為“顛三倒四”，意思就是說(shuō)這是“精神病方程”，那么，像(x+1)2=-1 這樣的方程我想他們一定會(huì)大罵它是更厲害的“瘋狂方程”了。

面對(duì)這樣的事實(shí)，有兩種態(tài)度。一種是始終抱住實(shí)數(shù)的框框不放，斷定這個(gè)方程沒(méi)有根；另一種是打破實(shí)數(shù)的框框，把它看作是新的數(shù)而主張“有根”。我們無(wú)法判斷哪一方正確哪一方錯(cuò)誤，但是數(shù)學(xué)的發(fā)展是沿著后者進(jìn)行的。

二次方程有時(shí)有兩個(gè)根，有時(shí)一個(gè)根也沒(méi)有，這個(gè)事實(shí)對(duì)于討厭例外的數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，是不能不想的。要是存在的話，那就一切都如意啦。這種無(wú)法摒棄的念頭，在很長(zhǎng)時(shí)期支配著數(shù)學(xué)家。

在引進(jìn)了 這后，所有的二次方程都有解了。比如對(duì)于前面的對(duì)于二次方程

如果不管等式右邊的負(fù)，加以開(kāi)方的話，就有

但是數(shù)學(xué)家們對(duì)解釋負(fù)數(shù)的平方根這樣表達(dá)式的確切意義感到困惑不安，懷著迷信的敬畏感來(lái)看待它們，并將它命名為“虛數(shù)”。虛數(shù)的英文為 imaginary number，意為想象中的數(shù)。直到十九世紀(jì)初，當(dāng)這些數(shù)的重要性在許多數(shù)學(xué)分支中已變得明顯時(shí)，復(fù)數(shù)運(yùn)算有了一個(gè)簡(jiǎn)單的幾何解釋，這消除了人們對(duì)復(fù)數(shù)的合理性的長(zhǎng)期疑慮。

下面我們就來(lái)給大家講講數(shù)復(fù)數(shù)的幾何解釋。

我們用 imaginary 的首字母 i 來(lái)表示，即

，然后再來(lái)探索 i 的性質(zhì)。

我們知道 i 不是實(shí)數(shù)，因此可以確定它不在表示實(shí)數(shù)的直線上，如圖所示。

它一定位于這條直線以外，那么它在哪兒呢？

為了找到它，我們回顧一下實(shí)數(shù)中乘以(－1)的作法。

(＋1)×(－1)=－1

(－1)×(－1)=＋1

(＋2)×(－1)=－2

(－2)×(－1)=＋2

…

總之，×(－1)的作法相當(dāng)于把實(shí)數(shù)的直線轉(zhuǎn)繞著原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)了180o。

可是由于 -1=i2，×(-1) 即 ×i2 與 ×i×i 是同樣的意義的。如果×i×i與旋轉(zhuǎn)180o相等的話，那么×i 就是旋轉(zhuǎn)180o的一半，也就意味著旋轉(zhuǎn)90o。

所以×i，水平的實(shí)數(shù)直線就變成垂直的了。

說(shuō)穿了，i 這個(gè)數(shù)位于通過(guò)O的垂線上，距離為 1 的地方。

這個(gè)垂線上的點(diǎn)全都是2i，3i，…，-2i，-3i，…那樣的實(shí)數(shù)×i 的形式。這樣的數(shù)叫做純虛數(shù)。

可是僅僅把實(shí)數(shù)加上純虛數(shù)還不能找出所有二次方程的根。例如：

它的根是 x=3±4i，3是實(shí)數(shù)，而 4i 是純虛數(shù)，根是這些數(shù)的和。把這寫成式子就是以下的形式：

實(shí)數(shù)+實(shí)數(shù)×i

這種形式的數(shù)叫做復(fù)數(shù)。

這種數(shù)在平面上的什么地方呢？3還是像原來(lái)那樣在水平線上，4i 是在與之垂直的方向上移動(dòng)了4個(gè)單位的地方?？偠灾?3就意味著向右移動(dòng)。+4i 就意味著向上移動(dòng)。

另外一個(gè) 3-4i 是向下移動(dòng)的，所以這個(gè)點(diǎn)如下圖所示。也就是說(shuō)復(fù)數(shù)可以用平面上所有點(diǎn)來(lái)表示。

總結(jié)一下，復(fù)數(shù)的幾何解釋就是把復(fù)數(shù) z=x+yi 簡(jiǎn)單地用平面上帶有直角坐標(biāo)x，y的點(diǎn)來(lái)代表。z 的實(shí)部就是它的 x 坐標(biāo)，虛部就是它的 y 坐標(biāo)。因而在復(fù)數(shù)和平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)之間確立了一個(gè)對(duì)應(yīng)，就像數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)之間建立的對(duì)應(yīng)一樣。

最先想起用平面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)的是挪威的測(cè)量工程師韋塞爾（1745-1818），但是他的論文在100年左右的時(shí)間內(nèi)被人們忘卻了，而另一個(gè)發(fā)現(xiàn)者高斯卻出了名。

參考文獻(xiàn)：

1 《數(shù)學(xué)與生活（修訂版）》，[日]遠(yuǎn)山啟著，人民郵電出版社。

2 《什么是數(shù)學(xué)（增訂版）》，[美]R.柯朗，H.羅賓著，復(fù)旦大學(xué)出版社。