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編輯：Gemini

如果在數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)問(wèn)題上過(guò)于追究，則數(shù)學(xué)的人為因素越來(lái)越大。這并不奇怪，如果問(wèn)“為什么”問(wèn)到終結(jié)，則答案只能歸結(jié)為“第一推動(dòng)”了。

然而，不要忘了，數(shù)學(xué)所描述的對(duì)象并不是人們憑空想象出來(lái)的，一個(gè)沒(méi)有多少實(shí)用和理論價(jià)值而人為捏造的理論系統(tǒng)最終會(huì)被淘汰。數(shù)學(xué)的理論還是要為現(xiàn)實(shí)服務(wù)的，即使不能馬上或直接地應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)中，至少也要間接地為那些服務(wù)于現(xiàn)實(shí)的理論服務(wù)，或至少在未來(lái)有可能成為指導(dǎo)現(xiàn)實(shí)的模型。數(shù)學(xué)中的人為因素與客觀因素的關(guān)系頗像作家寫(xiě)的小說(shuō)：作家寫(xiě)的小說(shuō)大部分是虛構(gòu)的，但作家不可能不著邊際天馬行空地編造，小說(shuō)描述的至少應(yīng)當(dāng)折射出現(xiàn)實(shí)的影子，達(dá)到一種虛構(gòu)的現(xiàn)實(shí)。即使是神話故事，也不應(yīng)當(dāng)不合情理。因此，作家寫(xiě)小說(shuō)，經(jīng)常會(huì)感覺(jué)到情節(jié)已經(jīng)不受自己控制了，就好像小說(shuō)里寫(xiě)的人物都是活的，寫(xiě)的事情都是正在實(shí)時(shí)地發(fā)生著一樣。

對(duì)于數(shù)學(xué)，也有一種觀點(diǎn)：雖然數(shù)學(xué)的概念并不獨(dú)立地存在于現(xiàn)實(shí)中，卻是存在于某個(gè)客觀的“理念世界”中的。是一種特殊的獨(dú)立于現(xiàn)實(shí)世界之外的客觀存在，它們是不依賴于時(shí)間、空間和人的思維的永恒的存在。數(shù)學(xué)家得到新的概念不是創(chuàng)造，而是對(duì)這種客觀存在的描述；數(shù)學(xué)新成果不是發(fā)明，而是發(fā)現(xiàn)。[1] 這就是數(shù)學(xué)柏拉圖主義觀點(diǎn)。之所以叫柏拉圖主義，因?yàn)榘乩瓐D提出過(guò)一個(gè)哲學(xué)觀點(diǎn)，稱為“理念論”，他認(rèn)為世界由“理念世界”和“現(xiàn)象世界”所組成。理念的世界是真實(shí)的存在，永恒不變，而人類感官所接觸到的這個(gè)現(xiàn)實(shí)的世界，只不過(guò)是理念世界的微弱的影子，它由現(xiàn)象所組成，而每種現(xiàn)象是因時(shí)空等因素而表現(xiàn)出暫時(shí)變動(dòng)等特征。有一個(gè)著名的洞穴比喻來(lái)解釋理念論：有一群囚犯在一個(gè)洞穴中，他們手腳都被捆綁，身體也無(wú)法轉(zhuǎn)身，只能背對(duì)著洞口。他們面前有一堵白墻，他們身后燃燒著一堆火。在那面白墻上他們看到了自己以及身后到火堆之間事物的影子，由于他們看不到任何其他東西，這群囚犯會(huì)以為影子就是真實(shí)的東西。最后，一個(gè)人掙脫了枷鎖，并且摸索出了洞口。他第一次看到了真實(shí)的事物。他返回洞穴并試圖向其他人解釋，那些影子其實(shí)只是虛幻的事物，并向他們指明光明的道路。但是對(duì)于那些囚犯來(lái)說(shuō)，那個(gè)人似乎比他逃出去之前更加愚蠢，并向他宣稱，除了墻上的影子之外，世界上沒(méi)有其他東西了。柏拉圖利用這個(gè)故事來(lái)告訴我們，“形式”其實(shí)就是那陽(yáng)光照耀下的實(shí)物，而我們的感官世界所能感受到的不過(guò)是那白墻上的影子而已。我們的大自然比起鮮明的理型世界來(lái)說(shuō)，是黑暗而單調(diào)的。不懂哲學(xué)的人能看到的只是那些影子，而哲學(xué)家則在真理的陽(yáng)光下看到外部事物。[2]

這種觀點(diǎn)聽(tīng)上去有點(diǎn)玄，但為了解釋數(shù)學(xué)研究，尤其是涉及那些表面上看來(lái)離我們遙遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)概念如無(wú)窮大的研究意義，以及人為創(chuàng)造的概念為何又不以人的意志為轉(zhuǎn)移，數(shù)學(xué)為何又可以精確地用于實(shí)踐，這種觀點(diǎn)是不可忽視的。

下面舉兩個(gè)可以有力地支持?jǐn)?shù)學(xué)柏拉圖主義觀點(diǎn)的例子，都是關(guān)于復(fù)數(shù)的：[3]

第一個(gè)例子，一元三次方程的求根公式：卡丹諾首先發(fā)表了方程 ax3+bx2+cx+d=0 的根式解法，過(guò)程如下：第一步：通過(guò)坐標(biāo)伸縮和平移變換，一般的一元三次方程都可以化簡(jiǎn)成 y3=3py+2q 的形式。因此只要找到這樣的方程的根式解，所有的方程都可以解出了。另外當(dāng)時(shí)復(fù)數(shù)的概念還沒(méi)有被引入，所以本文以下只討論這種形式的實(shí)系數(shù)三次方程。
第二步：設(shè) y=s+t，代入方程，可得：

因此，只要s3+t3=2q, st=p，那么s+t就一定是方程的根。當(dāng)q2-p3≥0 時(shí)，可以通過(guò)求解二次方程r2-2qr+p3=0先得到s3和t3，從而得到：

因此，y3=3py+2q 的解可以表示為

我們暫且把它叫做卡丹諾公式。

現(xiàn)在，通過(guò)微積分方法容易得出，當(dāng) q2>p3 時(shí)，方程 y3-3py-2q=0 只有一個(gè)單實(shí)根；當(dāng) q2=p3≠0 時(shí)，方程有一個(gè)單實(shí)根和一個(gè)二重實(shí)根；當(dāng) p=q=0 時(shí)，方程只有一個(gè)三重實(shí)根；而當(dāng)q2<>3 時(shí)，方程有三個(gè)不相等的實(shí)根。
即是說(shuō)，如果把求解的過(guò)程完全限制于實(shí)數(shù)，那么所有包含三個(gè)不等實(shí)根的方程，這個(gè)根式解法都是無(wú)能為力的。
不僅如此，當(dāng) q2=p3≠0 時(shí)，方程明明有三個(gè)實(shí)根：一個(gè)單根和一個(gè)二重根，但在這個(gè)解法中卻只能體現(xiàn)那個(gè)單根。

例如：考慮 x3-3x=0，為了討論簡(jiǎn)便，特意找這個(gè)簡(jiǎn)單的方程。可以很容易地看出，它有三個(gè)實(shí)根：0,√3和-√3，然而，如果用卡丹諾公式解，中間會(huì)有√-1這樣的數(shù)出現(xiàn)，方程的解變成這樣：

如果人為地承認(rèn)這些數(shù)，允許它們也參加運(yùn)算，并規(guī)定(√-1)2=(-√-1)2=-1，那么可以得到相應(yīng)的s與t的三對(duì)值如下：

從而三個(gè)實(shí)根都可以得出。但是卡丹諾對(duì)這樣的數(shù)表示不理解，不知道這是些什么數(shù)，而且，它們表現(xiàn)出了一些與實(shí)數(shù)完全不同的屬性，例如：一個(gè)數(shù)的三次方根竟然有三個(gè)；竟然不等于，因此他把它們叫做“不可捉摸而無(wú)用的東西”。

但是，為了能夠求出方程的根，人們不得不逐漸接受了復(fù)數(shù)，并作為一種人為引入的實(shí)數(shù)域的擴(kuò)充域進(jìn)入代數(shù)領(lǐng)域。

注韋達(dá)在三次方程根式解法發(fā)表的四十年后，發(fā)現(xiàn)了當(dāng)q2<>3時(shí)方程y3-3py-2q=0的另一種解法，而這種解法完全可以不涉及到虛數(shù)。他的巧妙解法如下：由微積分方法可以知道，當(dāng)q2<>3時(shí)，方程所有的根都是實(shí)的，而且都在之間。那么設(shè)，代入方程得到

應(yīng)用三倍角公式得到

只需取

則 就是方程的根。（雖然也可以取，但是由于和剛才那組角關(guān)于x軸對(duì)稱，所以用這組角求出來(lái)的方程的根和剛才那組相同。）

假設(shè)當(dāng)年卡丹諾自己能夠同時(shí)得到這兩種解法，那么他很有可能舍棄那個(gè)帶有虛幻的數(shù)的解法而用韋達(dá)的解法作為補(bǔ)充。但是，如果當(dāng)時(shí)有人這么思考：這種解法是否說(shuō)明三次方程的解有某種幾何意義呢？它和卡丹公式所表示的虛數(shù)解有什么聯(lián)系呢？更大膽地猜測(cè)：虛數(shù)是否在表達(dá)著一種幾何結(jié)構(gòu)呢？那么虛數(shù)不至于那么無(wú)法理解。

當(dāng)然，今天我們知道了，復(fù)數(shù)確實(shí)有某種幾何意義，一個(gè)數(shù)的三次方根也確實(shí)和角度有關(guān)，韋達(dá)的方法只不過(guò)是不自覺(jué)地用三角函數(shù)的性質(zhì)表達(dá)了這種關(guān)系，而三角函數(shù)的性質(zhì)也只是這種關(guān)系的特例而已。因此，我的觀點(diǎn)是，即使不引入復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)所表達(dá)的幾何結(jié)構(gòu)也是早已存在的，只是沒(méi)有復(fù)數(shù)時(shí)，人們只能用一些曲折的方式認(rèn)識(shí)這種幾何結(jié)構(gòu)的一小部分。

也許一個(gè)巧合不能使你相信什么，那么下面的例子更能使你相信：復(fù)數(shù)有某種幾何意義，更不一般的是，復(fù)數(shù)所表示的幾何結(jié)構(gòu)是早已存在著的。

考慮xn-1的分解式，對(duì)于n=2,3,4,5的情形，列出多項(xiàng)式因式分解的式子如下：

...

有什么規(guī)律呢？
科茨發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x>1時(shí)xn-1的值恰好等于x到單位圓上以1為頂點(diǎn)的內(nèi)接正n邊形各頂點(diǎn)的距離之積。例如：

當(dāng)然，今天我們知道，取x1,x2,...,xn為1的n個(gè)n次方根，那么這些根對(duì)應(yīng)的復(fù)平面上的點(diǎn)恰好是正n邊形的頂點(diǎn)，并且xn-1=(x-x1)(x-x2)...(x-xn)。因?yàn)閺?fù)數(shù)單位根兩兩互為共軛，所以當(dāng)x>1時(shí)，有

但是，如果我們未曾引入復(fù)數(shù)，這個(gè)結(jié)論如何證明呢？
有一條道路應(yīng)該是理論上可行的：因?yàn)閷?shí)數(shù)是直線上的點(diǎn)的運(yùn)算系統(tǒng)，那么我們可以把這種運(yùn)算系統(tǒng)拓展到平面上，定義一種平面上的點(diǎn)的運(yùn)算法則，給平面上的點(diǎn)集引入一種代數(shù)結(jié)構(gòu)，從而把xn-1分解為平面上點(diǎn)的運(yùn)算式的乘積，再根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)算與長(zhǎng)度的關(guān)系得出結(jié)論。
然而這種代數(shù)結(jié)構(gòu)，不正是我們的復(fù)數(shù)域嗎？

總結(jié)兩個(gè)例子：第一個(gè)例子，為了解三次方程，人們不得不引入復(fù)數(shù)，一些人認(rèn)為復(fù)數(shù)完全是人為引入代數(shù)領(lǐng)域并完全為代數(shù)的目的而構(gòu)造的。但是后來(lái)發(fā)現(xiàn)，實(shí)系數(shù)三次方程完全可以不通過(guò)復(fù)數(shù)求解，凡是從前必須通過(guò)復(fù)數(shù)才能求解的情況，都可以通過(guò)三角函數(shù)的方法解出。通過(guò)對(duì)比兩種解法，可知它們都是平面幾何上點(diǎn)的關(guān)系結(jié)構(gòu)的不同表達(dá)形式而已。第二個(gè)例子，通過(guò)對(duì)xn-1的因式分解式的特征考察，我們知道了平面上的點(diǎn)有某種代數(shù)結(jié)構(gòu)。與其說(shuō)這種代數(shù)結(jié)構(gòu)是人為引入的，不如說(shuō)它是原本就有的，不管你是否承認(rèn)，它都是存在的。你若無(wú)視它，它就會(huì)以一種你看不見(jiàn)的方式影響著你的實(shí)數(shù)系統(tǒng)，一旦你正視它，你會(huì)發(fā)現(xiàn)原來(lái)在一維實(shí)數(shù)中的某些真理可以在二維的復(fù)數(shù)中得到進(jìn)一步的統(tǒng)一。因此，復(fù)數(shù)并不一定要從代數(shù)的角度引入，從幾何的角度引入復(fù)數(shù)完全是有可能的。

由此可知，似乎是人為地引入并且很長(zhǎng)一段時(shí)期內(nèi)不被接受的復(fù)數(shù)，它所表現(xiàn)出來(lái)的幾何規(guī)律——平面上的代數(shù)結(jié)構(gòu)，是早已存在的，早在人們引入實(shí)數(shù)系統(tǒng)的同時(shí)，它就已經(jīng)在那了。人們定義復(fù)數(shù)，只是對(duì)這種結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)的開(kāi)端。

上帝是否早已構(gòu)造了一個(gè)客觀存在的“理念世界”？我們數(shù)學(xué)上所研究的所有代數(shù)、邏輯系統(tǒng)是否最終都反映的是那個(gè)理念世界中的幾何規(guī)律？

注：[1][2]：關(guān)于柏拉圖主義的描述來(lái)自百度百科。
[3]：這是《復(fù)分析，可視化方法》第一章中的兩個(gè)不起眼的實(shí)例。在這本書(shū)中，你可以看到更多有關(guān)復(fù)數(shù)客觀實(shí)在性的例子。