1.3  微分方程的一般概念

微分方程是：在研究客觀現(xiàn)象時(shí)，聯(lián)系自變量x ,未知函數(shù)以及其各階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式。若未知函數(shù)是一元的，那么對(duì)應(yīng)的方程稱為常微分方程；如果未知函數(shù)是多元的，那么對(duì)應(yīng)的微分方程稱為偏微分方程。

前文中，彎曲梁的控制微分方程（1-18）與（1-19）均為常微分方程：

                                  (1-18)       

                       (1-19)

對(duì)于常微分方程，其更通用的形式可以寫為：         

             (1-20)

從數(shù)學(xué)上看，一部分常微分方程（某些一階微分方程，常系數(shù)微分方程，某些特殊高階微分方程等）可以得到解析解；然而，絕大多數(shù)的微分方程很難獲取解析解，但是可以通過數(shù)值的辦法獲得近似解。

通常來說，對(duì)于n階（即最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)為n）微分方程的解含有n個(gè)彼此獨(dú)立的任意常數(shù)。這個(gè)由含有獨(dú)立的任意常數(shù)，構(gòu)成的微分方程的解，成為微分方程的通解。而相對(duì)于通解而言，微分方程的任意一個(gè)解成為特解。

對(duì)于橋梁工程問題，通常都隱含有一些給定條件（定解條件）。同時(shí)，橋梁所處的狀態(tài)，也是通常確定的唯一狀態(tài)（特殊情況除外）。因此，在討論橋梁工程中常見的微分方程求解時(shí)，一般都是在給定的定解條件下，尋求微分方程的特解。這被稱為微分方程的初值或者邊值問題。

以梁的彎曲微分方程為例（式（1-18）），現(xiàn)實(shí)中的梁體總是受到約束的（即某些位置的位移  是已知的）。理想的邊界條件有固定端約束（位移與轉(zhuǎn)角都為0，），鉸接（位移為0，彎矩為0，）,自由端（彎矩為0，剪力為0，）。 如果假設(shè)梁長(zhǎng)為L，對(duì)于單根梁體的靜力問題，其微分方程的邊界條件通常為：

一端固定，一端自由：

一端自由，一端固定：

一端固定，一端鉸接：

一端鉸接，一端固定：

兩端鉸接：

1.4  常系數(shù)線性微分方程

觀察方程，其未知函數(shù)為一次形式，此類方程稱為線性微分方程。其一般形式為：

  (1-20)

其中，未知函數(shù)y(x)及各階導(dǎo)數(shù)都是一次的，那么此類方程稱為線性微分方程。當(dāng)時(shí)，方程稱為齊次線性微分方程；否則，方程稱為非齊次線性微分方程。如果均為常數(shù)，即稱為常系數(shù)微分方程。

對(duì)于齊次線性微分方程可以利用特征方程與特征根求通解； 對(duì)于非齊次線性微分方程可以寫成相應(yīng)齊次微分方程的通解與其一個(gè)特解的和。

1.4.1 齊次常系數(shù)微分方程的解

對(duì)于n階實(shí)常系數(shù)齊次線性微分方程

               (1-21)

作對(duì)應(yīng)的n次代數(shù)方程（稱為特征方程）

    (1-22)

為了求方程（1-21）的通解，只需要找到n個(gè)線性無關(guān)的特解，然后將其線性組合即可。根據(jù)特征方程的解的情況，可以得到對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)特解。

（1）、是互異的實(shí)根，則

（2）、是特征方程的r重實(shí)根，則

（3）、當(dāng)是特征方程的單根，其共軛復(fù)數(shù)也是特征方程的單根，則,

（4）、當(dāng)是特征方程的r重復(fù)根，其共軛復(fù)數(shù)也是特征方程的r重復(fù)根，則,

1.4.2 非齊次常系數(shù)微分方程的解

非齊次常系數(shù)微分方程的解可以用常數(shù)變易法求得。

假設(shè)方程(1-21)的特解為

  (1-23)

那么非齊次線性方程存在一個(gè)特解

  (1-24)

滿足方程組

,   (1-25)

求解方程組，即可得到非齊次方程的特解待定系數(shù)。

1.4.3  等截面歐拉伯努利梁彎曲控制方程的解

以等截面彎曲梁控制方程（1-18）為例，其典型的非齊次線性常系數(shù)微分方程。其對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的解，很容易得到：

                (1-26)

利用常數(shù)變易法，可以寫出待定特解的條件方程組

               (1-27a)

                       (1-27b)                                            

                                 (1-27c)

                                     (1-27d)

如果梁體受到均布荷載作用，即，方程組（1-27）中的待定系數(shù)與可以求解得到,其特解(1-26)式可以寫為：

（1-28）

將此特解與相應(yīng)齊次方程組的通解合并(1-26)，重新整理得到等截面彎曲梁控制方程的通解為：

  （1-29）

注意到梁體的邊界條件方程正好是4個(gè)，引入梁體的邊界條件，則式（1-29）中的待定系數(shù)可以求得。例如，對(duì)于簡(jiǎn)支梁而言，其邊界條件為，則與方程(1-29)聯(lián)立，可以求得其撓曲線方程：

  （1-30）

此時(shí)，代入梁體的跨中坐標(biāo)，可以得到跨中撓度為：

                             （1-31）

這就是材料力學(xué)里面熟悉的均布荷載作用下，跨中的撓度公式。

當(dāng)然，歐拉伯努利梁的靜力控制方程形式非常特殊，可以采用直接積分的方法，結(jié)合邊界條件求解。本文借此介紹常數(shù)變易法，同時(shí)考慮到常數(shù)變易法更具有通用性，可以方便且機(jī)械的處理更復(fù)雜的荷載情況。

然而，對(duì)于橋梁中更復(fù)雜的 邊界條件與荷載條件，例如連續(xù)梁橋與連續(xù)剛構(gòu)橋，控制方程的解析解沒有那么容易得到。下一篇文章，將介紹傳遞矩陣方法，作為一種半解析方法來求解更復(fù)雜的問題。