本講主要介紹矩陣的微分方程和指數(shù)運算，該部分也是slam基礎(chǔ)理論數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)的基礎(chǔ)知識。

解由exp(0t)和exp(-3t)組成；隨著時間增加，第一部分趨近于穩(wěn)態(tài)，而第二部分趨近于0。

當然，并不總是存在穩(wěn)態(tài)，根據(jù)本例可知，若解趨近于0，則e的λt次冪趨近于零，即特征值為負；若特征值為復(fù)數(shù)，假設(shè)λ=-6+3i，則

顯然，虛數(shù)部分表示在單位圓上，它的模的平方就是1，所以只有實數(shù)部分重要，所以只有特征值的實部是負數(shù)時，解趨近于0。

以上文2x2矩陣為例，若穩(wěn)態(tài)存在，當λ1=0，其他特征值實部是負數(shù)；若任何特征值實部大于零，則解無法收斂。

再次回到矩陣對角化的內(nèi)容中，通過

我們知道，矩陣A表明u1和u2耦合，那么有什么辦法可以將二者解耦呢？我們令u等于特征向量矩陣S乘以v(即以特征向量為基，將u表示成Sv)，對原方程組u1和u2進行解耦，所謂解耦就是對角化，試圖把u=Sv代入原方程得到對角陣，得到關(guān)于v的對角化方程組，在新方程組中不存在耦合，即

e的指數(shù)是一個矩陣，e^{At}就是矩陣指數(shù)，通過展開成冪級數(shù)的形式進行定義，這里將常規(guī)級數(shù)公式擴展至矩陣，

下面對進行證明，該公式前提是A可以對角化，

以對角陣為指數(shù)，完全沒有耦合，即實現(xiàn)了對角化，通過級數(shù)展開，相當于n個普通的泰勒級數(shù)。那么，通過以上公式，什么情況下，當t不斷增長，e^{At}趨向于0，已知S和S逆為常量，則e^{Λt}應(yīng)該變得越來越小，則對角矩陣對角線收斂于0，也就是說所有 特征值實部是負數(shù)；進一步在復(fù)平面看下，收斂情況：

那么在復(fù)平面內(nèi)怎樣的特征值使得微分方程存在穩(wěn)定的解？當特征值位于左半平面時，表示特征值的實部小于零。

那怎樣的特征值使得矩陣的冪收斂于0？中間圓形區(qū)域就是矩陣的冪的穩(wěn)定區(qū)域，該區(qū)域特征值的絕對值小于1，這導(dǎo)致矩陣的冪收斂于0，而這導(dǎo)致指數(shù)函數(shù)收斂于0。

對于n階方程，可以采用相類似的方法，增加n-1個等式(參考本列或者上一節(jié)數(shù)列)構(gòu)造出如上向量方程，