自從人類發(fā)明了數(shù),總是感覺數(shù)不夠用!難道數(shù)的發(fā)展沒有盡頭嗎?

人類是猴子進(jìn)化而來,相信猴子不會有自然數(shù)的概念(或許有,但我們怎么證明這個(gè)呢?),但猴子沒有無理數(shù)的概念應(yīng)該是肯定的!，人類最初也完全沒有數(shù)量的概念。但人類發(fā)達(dá)的思維認(rèn)識世界是從具象到抽象的過程。這樣，在漫長的生活實(shí)踐中，由于記事和分配生活用品等方面的需要，才逐漸產(chǎn)生了數(shù)的概念。比如捕獲了一頭兔子，就用1塊石子代表。捕獲了3頭，就放3塊石子。'結(jié)繩記事'也是地球上許多相隔很近的古代人類共同做過的事。我國古書《易經(jīng)》中有'結(jié)繩而治'的記載。用石刀等在樹皮上或獸皮上刻痕，或用木棍擺在地上計(jì)數(shù)也都是古人常用的辦法。這些辦法用得多了，就逐漸形成數(shù)的概念和記數(shù)的符號。

數(shù)的概念最初不論在哪個(gè)地區(qū)都是1、2、3、4……這樣的自然數(shù)開始的，但是記數(shù)的符號卻大小相同。

在古代,中國應(yīng)該不是最早使用數(shù)字的民族,實(shí)際上，事實(shí)上,古羅馬要先進(jìn)的多,羅馬數(shù)字的符號一共只有7個(gè)：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。這7個(gè)符號位置上不論怎樣變化，它所代表的數(shù)字都是不變的。它們按照下列規(guī)律組合起來，就能表示任何數(shù)：

1．重復(fù)次數(shù)：如：'III'表示'3'；'XXX'表示'30'。

2．右加左減：如'VI'表示'6'，'DC'表示'600'。一個(gè)代表大數(shù)字的符號左邊附一個(gè)代表小數(shù)字的符號，就表示大數(shù)字減去小數(shù)字的數(shù)目，如'IV'表示'4'，'XL'表示'40'，'VD'表示'495'。

3．上加橫線：在羅馬數(shù)字上加一橫線，表示這個(gè)數(shù)字的一千倍。如：''表示 '15,000'，''表示'165,000'。

我國古代也很重視記數(shù)符號，首創(chuàng)的方法是--籌算。后來發(fā)展成算盤.并制訂了相當(dāng)科學(xué)的”口訣”,如果說算盤是最古老的計(jì)算機(jī),那么口訣就是相應(yīng)的編程語文了.但奇怪的,中國一直沒有發(fā)明”0”,算籌中遇到'零'就空位。'0'這一數(shù)學(xué)符號的發(fā)明應(yīng)歸功于公元6世紀(jì)的印度人。他們最早用黑點(diǎn)（·）表示零，后來逐漸變成了'0'。

不過中國漢字中，'零'字出現(xiàn)很早。不過那時(shí)它不表示'空無所有'，而只表示'零碎'、'不多'的意思。隨著阿拉數(shù)字的引進(jìn)。'105'恰恰讀作'一百零五'，'零'字與'0'恰好對應(yīng)，'零'也就具有了'0'的含義。

數(shù)學(xué)的發(fā)展就是這樣,即使印度數(shù)學(xué)家沒有發(fā)現(xiàn)”0”,那”0”遲早要被發(fā)現(xiàn)或被發(fā)明!誰也擋不住!但須知，”0”不代表”沒有”!'0'已經(jīng)成為含義最豐富的數(shù)字符號。'0'可以表示沒有，也可以表示有。如：氣溫0℃，并不是說沒有氣溫；'0'是正負(fù)數(shù)分界；可以規(guī)定(僅僅是規(guī)定):任何數(shù)（0除外）的0次冪等于1；0！=1（零的階乘等于1）。

隨著發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)，僅僅發(fā)明自然數(shù)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。如果分配獵獲物時(shí)，5個(gè)人分4件東西，每個(gè)人人該得多少呢？于是分?jǐn)?shù)就產(chǎn)生了。中國對分?jǐn)?shù)的研究的確是比較早的,至少比歐洲早1400多年！

后來，人們由于債務(wù)等記帳的需求，又產(chǎn)生了負(fù)數(shù)。到此為止,整數(shù)的家族就其整了。如果再加上正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，就統(tǒng)稱為有理數(shù)。這也是到初中為止大家能接觸到的數(shù).

古希臘，有一個(gè)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派,他們認(rèn)為萬物皆為'數(shù)'!這是一個(gè)研究數(shù)學(xué)、科學(xué)和哲學(xué)的團(tuán)體。所以直到近代的歐洲還沒有專門的數(shù)學(xué)系,而是把數(shù)學(xué)研究并入哲學(xué)系,實(shí)際上有偉大的數(shù)學(xué)家本身就是哲學(xué)家,比如:哈代，牛頓.

但數(shù)學(xué)的發(fā)展就是這樣,該來的總會到來!學(xué)派中一個(gè)叫希帕索斯的學(xué)生在研究1與2的比例中項(xiàng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)沒有一個(gè)能用整數(shù)比例寫成的數(shù)可以表示它。如果設(shè)這個(gè)數(shù)為X，既然，推導(dǎo)的結(jié)果即x的平方=2。他畫了一個(gè)邊長為1的正方形，設(shè)對角線為x ，根據(jù)勾股定理

可見邊長為1的正方形的對角線的長度即是所要找的那個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)肯定是存在的。關(guān)鍵是不僅這個(gè)數(shù)根號2是真實(shí)存在的,而且還可以用反證法證明它確實(shí)不能用有理數(shù)表示!

這說明什么?說明”數(shù)軸”沒有被填滿,也就是說如果把所有的有理數(shù)填上”數(shù)軸”,則”數(shù)軸”象篩子一樣,會漏得稀里嘩拉!

后來,為了保持支撐他們的數(shù)學(xué)大廈不要坍塌，他們規(guī)定對新數(shù)的發(fā)現(xiàn)要嚴(yán)守秘密。而希帕索斯還是忍不住將這個(gè)秘密泄露了出去。據(jù)說他后來被扔進(jìn)大海喂了鯊魚。然而真理是藏不住的。人們后來又發(fā)現(xiàn)了很多不能用兩整數(shù)之比寫出來的數(shù)，如圓周率 就是最重要的一個(gè)。人們把它們寫成 π、等形式，稱它們?yōu)闊o理數(shù)。

有理數(shù)和無理數(shù)一起統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。到此為止,人類對數(shù)的發(fā)展算是告一段落.歷史進(jìn)入19世紀(jì)后。許多人還在研究:實(shí)數(shù)到底是不是所有的數(shù),還有沒有新的數(shù)沒被發(fā)現(xiàn)呢?比如:在解方程的時(shí)候常常需要開平方如果被開方數(shù)負(fù)數(shù)，這道題還有解嗎？如果沒有解，不就破壞了數(shù)學(xué)的對稱美了嗎?于是數(shù)學(xué)家們就規(guī)定用符號'i '表示'-1'的平方根，即

，虛數(shù)就這樣誕生了。'i '成了虛數(shù)的單位。后人將實(shí)數(shù)和虛數(shù)結(jié)合起來，寫成 a＋bi的形式（a、b均為實(shí)數(shù)），這就是復(fù)數(shù)。大數(shù)學(xué)家歐拉是最早使用虛數(shù),但他認(rèn)為虛數(shù)僅僅是形式的需要,沒有什么實(shí)際意義!一直到高斯(也是鼎鼎大名喲!) 發(fā)現(xiàn)復(fù)平面的概念可以表示復(fù)數(shù)，這樣才使”虛數(shù)”確實(shí)有實(shí)體對應(yīng)了，虛數(shù)一點(diǎn)也不'虛'了。 但從另一個(gè)角度來看,虛數(shù)還是”虛”的,因?yàn)闊o論如何你做不到以下兩點(diǎn):一是把1+i合并(比如

就可以合并成小數(shù)),二是你不可能把1+i表示在數(shù)軸上.所以從本質(zhì)上來說,復(fù)數(shù)1+i只是形式上的”數(shù)”,它已經(jīng)脫離了我們所說的數(shù)(實(shí)數(shù))的本質(zhì)!所以根本上來說,復(fù)數(shù)對應(yīng)的是點(diǎn)(也可以對應(yīng)向量),但它絕不是實(shí)數(shù),這個(gè)要在初學(xué)復(fù)數(shù)時(shí)認(rèn)識清楚喲!

雖然18世紀(jì)數(shù)學(xué)家在澄清無理數(shù)的退輯基礎(chǔ)方面沒有進(jìn)展，但他們以相對平靜的態(tài)度接受了一些數(shù)的無理性．隨著對數(shù)系的不斷探索研究，人們逐步認(rèn)識了超越數(shù)，并建立了一個(gè)完整的復(fù)數(shù)系統(tǒng)．從超越性來粉全體復(fù)數(shù)可以分成兩類，即代致數(shù)與超越數(shù)．

超越數(shù)的研究使數(shù)學(xué)家更熟練的駕取復(fù)數(shù)系，更透徹的潤悉復(fù)數(shù)系的本質(zhì)．此外，超越數(shù)論的方法在理論,計(jì)算機(jī)科學(xué)中還找到有價(jià)值的應(yīng)用．當(dāng)前超越數(shù)論是數(shù)論研究非?；钴S的領(lǐng)域之一.

超越數(shù)的定義:

若x滿足一個(gè)有理系數(shù)代數(shù)方程

則x叫做一個(gè)代數(shù)數(shù),不是代數(shù)數(shù)的復(fù)數(shù)叫超越數(shù)．

代數(shù)數(shù)所包含的范國很廣，它包括了所有的有理數(shù)和它們的根，例如i及

都是代數(shù)數(shù)，它們依次滿足整系數(shù)多項(xiàng)方程式:

超越數(shù)理論的發(fā)展史

歐拉首先證明e是無理數(shù)．提出超越傲的概念在數(shù)學(xué)史上，第一個(gè)引起我們注與超越性有關(guān)的事跡是在1737年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler,1707一1783）證明e(自然對數(shù)的底)是無理數(shù)．

他的證明以連分?jǐn)?shù)為基礎(chǔ)，得到了e的連分?jǐn)?shù)無窮展開式：

因?yàn)樗呀?jīng)證明了每一個(gè)有理數(shù)都能表示成一個(gè)有限的連分致，所以e必定是無理數(shù)．

歐拉的貢獻(xiàn)波及數(shù)學(xué)各領(lǐng)城，他是數(shù)學(xué)史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，也是最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家．他不僅是一位想法很多、很會算的數(shù)學(xué)家，還是一個(gè)善于創(chuàng)造符號的人，比如說e，

及l(fā)og都是由他首創(chuàng)，一直通用至今．他所完成的工作中，廣為人所樂道而且也是流傳甚廣的，就是下面的Euler恒等式：

這個(gè)公式受到現(xiàn)代諸多大數(shù)學(xué)家的真心吹捧!(詳見<林根數(shù)學(xué)>)頭條號之 “質(zhì)數(shù)會孿生嗎?”) 事實(shí)上這個(gè)公式后來成為證明，是超越數(shù)的工具，從此也結(jié)束了“化圓為方”的惡夢！

這個(gè)公式美妙的地方還在于，實(shí)數(shù)和虛數(shù)可以參與運(yùn)算，最后結(jié)果竟然是實(shí)數(shù)（

）！

數(shù)的概念發(fā)展到虛和復(fù)數(shù)以后，在很長一段時(shí)間內(nèi)，連某些數(shù)學(xué)家也認(rèn)為數(shù)的概念已經(jīng)十分完善了，數(shù)學(xué)家族的成員已經(jīng)都到齊了?？墒?843年10月16日，英國數(shù)學(xué)家哈密爾頓又提出了'四元數(shù)'的概念。所謂四元數(shù)，就是一種形如的數(shù)。它是由一個(gè)標(biāo)量 （實(shí)數(shù)）和一個(gè)向量（其中x 、y 、z 為實(shí)數(shù)）組成的。四元數(shù)的數(shù)論、群論、量子理論以及相對論等方面有廣泛的應(yīng)用。與此同時(shí)，人們還開展了對'多元數(shù)'理論的研究。多元數(shù)已超出了復(fù)數(shù)的范疇，人們稱其為超復(fù)數(shù)。 這個(gè)哈密爾頓數(shù),就更不是什么通常所謂的”數(shù)”了,它滿足的數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)也越來越少!

如果你有幸進(jìn)入大學(xué)的數(shù)學(xué)系,一般會學(xué)實(shí)數(shù)的完備性定理,也就是說實(shí)數(shù)的的確確填滿了數(shù)軸,至于這個(gè)證明嘛,也是費(fèi)了無數(shù)數(shù)學(xué)家的腦子才發(fā)現(xiàn)的,其間的證明過程要用到戴德金分割,區(qū)間套定理等高深的理論.記得林根老師讀大學(xué)時(shí),期末考試就考到了這個(gè)定理的充分性證明(還不是全部的證明啊),哈哈,全班飄紅啊,好在林根老師還算努力,那次沒用得著補(bǔ)考.

后來,向量、張量、矩陣、群、環(huán)、域等概念不斷產(chǎn)生，把數(shù)學(xué)研究推向新的高峰。這些概念也都應(yīng)列入數(shù)字計(jì)算的范疇，但若歸入超復(fù)數(shù)中不太合適，所以，人們將復(fù)數(shù)和超復(fù)數(shù)稱為狹義數(shù)，把向量、張量、矩阿等概念稱為廣義數(shù)。

看到一篇《虛數(shù)的圖解》的文章，將虛數(shù)解釋得很簡單。讀后覺得挺有意思,轉(zhuǎn)到這里大家看啊!

讓我們來看一下（為行文方便，有些地方略做修改）：

（下文轉(zhuǎn)自阮一峰的博客）

一、什么是虛數(shù)？

首先，假設(shè)有一根數(shù)軸，上面有兩個(gè)反向的點(diǎn)：+1和-1。

這根數(shù)軸的正向部分，可以繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。顯然，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180度，+1就會變成-1。

這相當(dāng)于兩次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度。

因此，我們可以得到下面的關(guān)系式：

(+1) * (逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度) * (逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度) = (-1)

如果把+1消去，這個(gè)式子就變?yōu)椋?/p>

(逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度) 的平方 = (-1)

將'逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度'記為 i ：

i的平方 = (-1)

這個(gè)式子很眼熟，它就是虛數(shù)的定義公式。

所以，我們可以知道，虛數(shù) i 就是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，i 不是一個(gè)數(shù)，而是一個(gè)旋轉(zhuǎn)量。

二、復(fù)數(shù)的定義

既然 i 表示旋轉(zhuǎn)量，我們就可以用 i ，表示任何實(shí)數(shù)的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)。

將實(shí)數(shù)軸看作橫軸，虛數(shù)軸看作縱軸，就構(gòu)成了一個(gè)二維平面。旋轉(zhuǎn)到某一個(gè)角度的任何正實(shí)數(shù)，必然唯一對應(yīng)這個(gè)平面中的某個(gè)點(diǎn)。

只要確定橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，比如( 1 , i )，就可以確定某個(gè)實(shí)數(shù)的旋轉(zhuǎn)量（45度）。

數(shù)學(xué)家用一種特殊的表示方法，表示這個(gè)二維坐標(biāo)：用 + 號把橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)連接起來。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。這種表示方法就叫做復(fù)數(shù)（complex number），其中 1 稱為實(shí)數(shù)部，i 稱為虛數(shù)部。

為什么要把二維坐標(biāo)表示成這樣呢，下一節(jié)告訴你原因。

三、虛數(shù)的作用：加法

虛數(shù)的引入，大大方便了涉及到旋轉(zhuǎn)的計(jì)算。

比如，物理學(xué)需要計(jì)算'力的合成'。假定一個(gè)力是 3 + i ，另一個(gè)力是 1 + 3i ，請問它們的合成力是多少？

根據(jù)'平行四邊形法則'，你馬上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。

這就是虛數(shù)加法的物理意義。

四、虛數(shù)的作用：乘法

如果涉及到旋轉(zhuǎn)角度的改變，處理起來更方便。

比如，一條船的航向是 3 + 4i 。

如果該船的航向，逆時(shí)針增加45度，請問新航向是多少？

45度的航向就是 1 + i 。計(jì)算新航向，只要把這兩個(gè)航向 3 + 4i 與 1 + i 相乘就可以了（原因在下一節(jié)解釋）：

( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )

所以，該船的新航向是 -1 + 7i 。

如果航向逆時(shí)針增加90度，就更簡單了。因?yàn)?0度的航向就是 i ，所以新航向等于：

( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )

這就是虛數(shù)乘法的物理意義：改變旋轉(zhuǎn)角度。

五、虛數(shù)乘法的數(shù)學(xué)證明

為什么一個(gè)復(fù)數(shù)改變旋轉(zhuǎn)角度，只要做乘法就可以了？

下面就是它的數(shù)學(xué)證明，實(shí)際上很簡單。

任何復(fù)數(shù) a + bi，都可以改寫成旋轉(zhuǎn)半徑 r 與橫軸夾角 θ 的形式。

假定現(xiàn)有兩個(gè)復(fù)數(shù) a + bi 和 c + di，可以將它們改寫如下：

這兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，( a + bi )( c + di ) 就相當(dāng)于

展開后面的乘式，得到

cosα cosβ - sinα sinβ + i( cosαsinβ + sinα cosβ )

根據(jù)三角函數(shù)公式，上面的式子就等于cos(α+β) + isin(α+β)

所以，

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