1.蝴蝶從哪里來

“你從哪里來? 我的朋友 !好像一只蝴蝶飛進(jìn)我的窗口…”聽到這首膾炙人口的歌，你可知道數(shù)學(xué)上有只蝴蝶蹁蹁飛舞了三百年！這只美麗的蝴蝶自從1985年來到中國(guó)，便熱度不減,有時(shí)甚至還高燒不退：不僅出現(xiàn)在高聯(lián)這種頂級(jí)的賽事中,而且出現(xiàn)了在高考京考卷中.

蝴蝶定理最先是作為一個(gè)征求證明的問題，刊載于1815年的一份通俗雜志《男士日記》上。由于其幾何圖形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理內(nèi)容：取圓O中的弦AB的中點(diǎn)M，過點(diǎn)M任作兩弦CD，EF，弦CF與DE分別交AB于P，Q，則M為PQ之中點(diǎn)。

2.關(guān)于蝴蝶定理的證明

僅在初等幾何的范圍內(nèi)，就有多達(dá)50多種證法，比如綜合法、面積法、三角法、解析法、相似法、向量法、全等三角形法等等。

下面給了幾種比較簡(jiǎn)單的證法，也是中學(xué)生看得懂的，用得著的方法：

證法1：適合初中（證∠POM＝∠QOM）

作CF、DE的弦心距OG、OH，連OM，則OM⊥AB且OGPM四點(diǎn)共圓。

∴∠POM＝∠PGM…①。同理，∠QOM＝∠QHM…②

∵△MFC∽MDE，∴MF﹕FC＝MD﹕DE，

∴MF﹕2FG＝MD﹕2DH，∴MF﹕FG＝MD﹕DH，∠F＝∠D

∴△MFG∽△MDH，∴∠MGF＝∠MHD…③

由①②③得：∠POM＝∠QOM,∴PM＝QM。

證法2：適合高中(解析法)

證法3：適合競(jìng)賽（解析法）建立平面直角坐標(biāo)系

設(shè)⊙O的方程為:

設(shè)CF：y＝mx，ED：y＝nx,于是⊙O和直線CF、ED組成了二次曲線系

證法4：適合競(jìng)賽（利用梅氏定理）

延長(zhǎng)CF、ED相交于G點(diǎn)。∵直線CD截三角形GPQ三邊于C、M、D三點(diǎn),

1990全國(guó)冬令營(yíng)數(shù)學(xué)選拔賽試題:

己知四邊形ABCD的對(duì)角線AC過另一對(duì)角BD的中點(diǎn)O，過O作兩直線分別與AB，BC,CD，及DA交于E,H,F,G,連FE,HG分別與BD相交于P,Q．求證：OP=OQ.

1969年，查克里恩從訂立的定理考慮，給出蝴蝶定理的逆定理：任何具有蝴蝶性質(zhì)的凸閉曲線必定是橢圓。

接著，中國(guó)科學(xué)院成都分院的楊路教授在論文中指出：將蝴蝶定理的弦AB的中點(diǎn)M推廣到弦AB上任一點(diǎn)，有蝴蝶定理的坎迪形式。

同年，我國(guó)數(shù)學(xué)教育者馬明在論文中指出，將蝴蝶定理弦AB上的M點(diǎn)，拓廣到弦AB外，蝴蝶定理仍然有成立之處。

接下來，蝴蝶定理的研究出現(xiàn)了一個(gè)高潮，人們發(fā)現(xiàn)，不僅僅是圓，任何二次曲線中蝴蝶定理都有適用的形式，例如，橢圓中的蝴蝶定理。

1990年，出現(xiàn)了箏形蝴蝶定理，并發(fā)現(xiàn)，蝴蝶定理在退化的二次曲線中仍然適用。

至于高等幾何的證明方法也有很多種，其中最為簡(jiǎn)潔的，當(dāng)推用射影幾何的方法，在下文中將會(huì)給予介紹。

蝴蝶定理的60多種證明方法,而且,還給出了蝴蝶 定理的各種變形與推廣.令人欣喜的是這只美麗的蝴蝶終于在2003年飛到我國(guó)的高考(北京)試卷里:

先給你看標(biāo)準(zhǔn)答案是怎么解的：

那么，有沒有更簡(jiǎn)單的證法？方法還是有的，下面講講高觀點(diǎn)下的做法：

3．高考題簡(jiǎn)評(píng)

本小題主要考查直線與橢圓等基本知識(shí)，考查分析問題和解決問題的能力。試題入門容易，第（Ⅰ）問考查橢圓方程、待定系數(shù)法、坐標(biāo)平移和橢圓性質(zhì)：焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、看圖說話即可解決問題，但考查的卻都是重點(diǎn)內(nèi)容。

第（Ⅱ）問是典型的直線與橢圓的位置關(guān)系問題。待證式子中含有

這樣的對(duì)稱式，式子結(jié)構(gòu)對(duì)稱優(yōu)美，和諧平衡，使人很容易聯(lián)想起一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的韋達(dá)定理，啟示了證明問題的思路。這里用到了解析幾何最根本的思想和最根本的方法。解兩個(gè)聯(lián)立的二元二次方程組，用代入消元法得到一元二次方程，分離系數(shù)利用韋達(dá)定理給出關(guān)于

的表達(dá)式，再分別代入待證式兩邊運(yùn)算即達(dá)到證明目的。證明的過程中，由兩個(gè)聯(lián)立方程組結(jié)構(gòu)的相似性運(yùn)用了“同理可得”，整個(gè)證明過程也令人賞心悅目，感受到了邏輯證明與表達(dá)的順暢、簡(jiǎn)約的美的魅力。

第（Ⅲ）問證明中用到了三點(diǎn)共線的充要條件，用到了過兩點(diǎn)的直線的斜率公式，分別解出p，q以后，|OP|=|OQ|等價(jià)轉(zhuǎn)化成了p= -q（或p q=0。）此時(shí)分析前提條件（Ⅱ）及待證結(jié)論p= -q，關(guān)鍵在于

的聯(lián)系。參考解答中的表述略去了一些變形的中間過程，使人不易看出溝通的線索，以及命題人變形的思路，因此讀者理解起來感到困難。如果將兩式做如下變形，則思路就顯然順暢。

它與②完全一樣。這里利用兩式同時(shí)變形的方法可以較容易實(shí)現(xiàn)目的，有分析、有綜合，有思維，有運(yùn)算。思路的選擇有賴于對(duì)式子特征的觀察聯(lián)想。

綜觀這道題的題目特征及解答過程，我們看到了用代數(shù)方程但方法處理幾何問題的作用與威力。

4．高考題賞析：

上面我們看到，試題的結(jié)構(gòu)及其解答都令人感到賞心悅目，至此，我們不禁要追問一句：試題是怎么命制出來的？它的背景是什么？它對(duì)我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)、高三復(fù)習(xí)與備考有什么啟示？

試題的證明過程及結(jié)果告訴我們，橢圓中蝴蝶定理依然成立，而且是用解析方法證明的。如果令橢圓的長(zhǎng)軸，短軸相等，即a=b，則橢圓就變成了圓，橢圓中的蝴蝶定理就變成了圓上的蝴蝶定理，上面的證明一樣適用。由于橢圓也可以看作將一個(gè)圓經(jīng)“壓縮變換”而得，故圓上的蝴蝶定理經(jīng)“壓縮變換”也可以變成橢圓上的蝴蝶定理。“翩翩蝴蝶舞橢圓，飛落高考數(shù)學(xué)花?！弊x者諸君欣賞至此，是否體會(huì)到了數(shù)學(xué)命題幾何專家命制高考試題的“高招”及良苦用心？

5．高考題啟示

橢圓上的蝴蝶翩翩飛舞,落到了北京數(shù)學(xué)高考試題的百花園，令人欣喜異常。它雖然有著競(jìng)賽數(shù)學(xué)、仿射變換、數(shù)學(xué)名題的背景，然而這里證明它，卻只用到了教科書里反復(fù)提到的三點(diǎn)共線問題和斜率公式，用到了解析幾何最基本的方法。高級(jí)中學(xué)課本《平面解析幾何》全一冊(cè)（必修）數(shù)處提到三點(diǎn)共線問題，如P13習(xí)題一第14題：已知三點(diǎn)A（1，-1）、B（3，3）、C（4，5）。求證：三點(diǎn)在一條直線上：P17練習(xí)4：證明：已知三點(diǎn)A、B、C，如果直線AB、AC的斜率相等，那么這三點(diǎn)在同一條直線上；P27習(xí)題二第9題：證明三點(diǎn)A（1，3）、B（5，7）、C（10，12）在同一條直線上；P47復(fù)習(xí)參考題一第3題：用兩種方法證明：三點(diǎn)A（-2，12）、B（1，3）、C（4，-6）在同一條直線上。你看，課本上的練習(xí)、習(xí)題、復(fù)習(xí)參考題，反復(fù)提到了三點(diǎn)共線的證明，并且強(qiáng)調(diào)用不同的方法來證明。

所以說,最佳意境的高考題一定是“源于教材、高于教材”，想想吧，把這些高知教授們關(guān)上三個(gè)月來出高考題，如果題目本身出的很不象話，那么如何體現(xiàn)國(guó)家高考對(duì)于中學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)，這此專家學(xué)者們還不得被罵死！

實(shí)際上，三點(diǎn)共線的不同證明，可以把解析幾何第一章的重點(diǎn)基礎(chǔ)知識(shí)充分調(diào)動(dòng)起來，組織起來。你可以用基本公式——平面上兩點(diǎn)間的距離公式

證明｜AC｜=｜AB∣ ∣BC∣；

你還可以先建立直線AB的方程f(x,y)=0，然后驗(yàn)證點(diǎn)C的坐標(biāo)適合直線AB的方程即f(x,y)=0；你也可以在建立直線AB的方程之后，利用點(diǎn)到直線的距離公式證明dc-AB=0；你還可以計(jì)算△ABC的面積，去證Ｓ△ABC=0。你看，有五、六種方法可以解決同一個(gè)問題，當(dāng)然難度有高有低。一題多解中選擇方法、優(yōu)化方法也是能力（洞察、觀察）的體現(xiàn)，從比較中才可以鑒別方法的優(yōu)劣。當(dāng)年學(xué)生做這道高考題時(shí)，有一些重點(diǎn)中學(xué)的尖子生對(duì)自己沒能解答出第（Ⅲ）問很懊悔，一些老師也說這個(gè)題目“運(yùn)算量太大難以完成”！為什么？我想主要問題有兩點(diǎn)：一是，北京市有許多重點(diǎn)中學(xué)的師生，對(duì)高中數(shù)學(xué)課本的習(xí)題不屑一顧，很少去鉆研教材中的例題、習(xí)題，去尋求與發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，去總結(jié)解題的原則、思路與規(guī)律。二是，學(xué)生為做題而做題，一些人認(rèn)為只要刷足夠多的題，就可以高考拿高分了，而實(shí)際上不是這樣的。國(guó)家拿出巨多的人力、物力去搞新課標(biāo)，目的是為了讓學(xué)生死做題嗎？顯然不是！它要的是學(xué)生的創(chuàng)新能力和應(yīng)用創(chuàng)造能力。三是一些同學(xué)知識(shí)面信窄，知識(shí)容量太少，如果能連蝴蝶定理都不知道，別說打什么高聯(lián)了，你甚至連沖清北的資格都沒有！就算你高考裸分還可以，那你拿什么去獲得加分，不明白的同學(xué)可以聽一下林根老師在《今日頭條》上視頻講座: 清華北大自主招生講座.

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