知識點總結(jié)
相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)
相似三角形的定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。
相似三角形的預備定理：如果一條直線平行于三角形的一條邊，且這條直線與原三角形的兩條邊（或其延長線）分別相交，那么所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。
判定定理1：兩角對應相等，兩三角形相似。
判定定理2：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似。
判定定理3：三邊對應成比例，兩三角形相似。
  直角三角形相似的判定定理：斜邊和一條直角邊對應成比例，兩直角三角形相似。
相似三角形的性質(zhì)：
  相似三角形對應角相等，對應邊成比例
  相似三角形具有傳遞性
  相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比
  相似三角形周長的比等于相似比
  相似三角形面積比等于相似比的平方

 直線和圓的位置關(guān)系
1.直線和圓位置關(guān)系的判定方法一是方程的觀點，即把圓的方程和直線的方程聯(lián)立成方程組，利用判別式Δ來討論位置關(guān)系.
①Δ＞0，直線和圓相交.②Δ=0，直線和圓相切.③Δ＜0，直線和圓相離.
方法二是幾何的觀點，即把圓心到直線的距離d和半徑R的大小加以比較.
①d＜R，直線和圓相交.②d=R，直線和圓相切.③d＞R，直線和圓相離.
2.直線和圓相切，這類問題主要是求圓的切線方程.求圓的切線方程主要可分為已知斜率k或已知直線上一點兩種情況，而已知直線上一點又可分為已知圓上一點和圓外一點兩種情況.
3.直線和圓相交，這類問題主要是求弦長以及弦的中點問題.
切線的性質(zhì)
⑴圓心到切線的距離等于圓的半徑；⑵過切點的半徑垂直于切線；⑶經(jīng)過圓心，與切線垂直的直線必經(jīng)過切點；⑷經(jīng)過切點，與切線垂直的直線必經(jīng)過圓心；當一條直線滿足（1）過圓心；（2）過切點；（3）垂直于切線三個性質(zhì)中的兩個時，第三個性質(zhì)也滿足.
切線的判定定理
經(jīng)過半徑的外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
切線長定理
從圓外一點作圓的兩條切線，兩切線長相等，圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角．

圓錐曲線性質(zhì)的探討
一、圓錐曲線的定義
  1. 橢圓：到兩個定點的距離之和等于定長（定長大于兩個定點間的距離）的動點的軌跡叫做橢圓。即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。
  2. 雙曲線：到兩個定點的距離的差的絕對值為定值（定值小于兩個定點的距離）的動點軌跡叫做雙曲線。即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。
  3. 圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到定點的距離與到定直線的距離的比e是常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線。當0<E<1< SPAN>時為橢圓：當e=1時為拋物線；當e>1時為雙曲線。
  二、圓錐曲線的方程
  1.橢圓：  +  =1（a>b>0）或  +  =1（a>b>0）（其中，a2=b2+c2）
  2.雙曲線：  -  =1（a>0, b>0）或  -  =1（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）
  3.拋物線：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）
  三、圓錐曲線的性質(zhì)
  1.橢圓：  +  =1（a>b>0）
  （1）范圍：|x|≤a，|y|≤b（2）頂點：(±a,0)，(0,±b)（3）焦點：(±c,0)（4）離心率：e=  ∈(0,1)（5）準線：x=±  
  2.雙曲線：  -  =1（a>0, b>0）（1）范圍：|x|≥a, y∈R（2）頂點：(±a,0)（3）焦點：(±c,0)（4）離心率：e=  ∈(1,+∞)（5）準線：x=±  （6）漸近線：y=±  x
3.拋物線：y2=2px(p>0)（1）范圍：x≥0, y∈R（2）頂點：（0,0）（3）焦點：（  ,0）（4）離心率：e=1（5）準線：x=-  



【典型例題】
 [例1] 如圖△ABC中，∠C，∠B的平分線相交于O，過O作AO的垂線與邊AB、AC分別交于D、E，求證：△BDO∽△BOC∽△OEC。

證明：易得AO平分∠BAC，AO⊥DE    ∴ ∠ADO=∠AEO   ∴ ∠BDO=∠CEO
又∠BDO=90°+ ∠BAC   ∠BOC=180°－ （∠ABC+∠ACB）
=90°+ ∠BAC∴ ∠BDO=∠BOC     又∠DBO=∠OBC
∴ △BDO∽△BOC    同理△ECO∽△OCB∴ △BDO∽△BOC∽△OEC
[例2] △ABE中，D、C為AB上兩點，AC=AE， ，求證：EC平分∠DEB。
證明：∵ AE=AC        ∴     即 又∵∠A=∠A   ∴ △EAD∽△BAE    ∴ ∠1=∠B   ∵ AE=AC  
∴ ∠1+∠2=∠ACE    又∵∠3+∠B=∠ACE   ∴ ∠2=∠3∴ EC平分∠DEB
 [例3] 已知：D、E分別在△ABC的邊AC和AB上，BD與CE交于F，其中AE=BE， ， ，求 。
證明：取AD中點N，連結(jié)EN   ∴ EN  BD
∴       ∴  
∵  ∴  × = ∵ =    ∴ =      = =11
 [例4]如圖，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD‖BC，E為AB上一點，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB為直徑的圓與邊CD有怎樣的位置關(guān)系？
解：以AB為直徑的圓與CD是相切關(guān)系 如圖，過E作EF⊥CD，垂足為F．
  ∵∠A=∠B=90°，∴EA⊥AD，EB⊥BC，∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴ ．∴以AB為直徑的圓的圓心為E，且 ，∴以AB為直徑的圓與邊CD相切．
[例5]已知：ΔABC內(nèi)接于⊙O，過點A作直線EF.
  ⑴如圖甲，AB為直徑，要使得EF是⊙O的切線，還需添加的條件是（只需寫出三種情況）：
  ①________； ②_________；③_________. ⑵如圖乙，AB為非直徑的弦，∠CAE=∠B,求證：EF是⊙O的切線.
解：⑴①∠FAB=90°.②∠B=∠EAC.③∠BAE=90°. 
  ⑵連結(jié)AO并延長交⊙O于D,連結(jié)CD. ∵AD為⊙O的直徑，∴∠ACD=90°，∴∠D+∠CAD=90°. ∵∠D=∠B,∠B=∠CAE,∴∠CAE+∠CAD=90°,即OA⊥EF. 又∵EF經(jīng)過半徑OA的外端A，∴EF為⊙O的切線.
[例6]如圖所示，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于點D，交AC于點E，過點D作⊙O的切線DF，交AC于F，求證：（1）DF⊥AC，（2）FC=FE.
證明：（1）連結(jié)OD，AD．∵ DF為⊙O的切線，
 ∴ OD⊥DF（切線的性質(zhì)定理）．又∵ AB為⊙O的直徑，∴ AD⊥BC．又∵ AB=AC，∴D為BC中點. ∵O為AB中點，∴ ∴ DF⊥AC．
  （2）連結(jié)DE．則∠DEC=∠B（圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)），又∵ AB=AC，∴∠B=∠C．
     ∴∠DEC=∠C，∴ DE=DC．又∵ DF⊥AC，∴ FC=EF（等腰三角形的性質(zhì)）
[例7]如圖：橢圓  +  =1（a>b>0），F(xiàn)1為左焦點，A、B是兩個頂點，P為橢圓上一點，PF1⊥x軸，且PO//AB，求橢圓的離心率e。
  解：設橢圓的右焦點為F2，由第一定義：|PF1|+|PF2|=2a, ∵ PF1⊥x軸，∴ |PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2， 即(|PF2|+|PF1|)(|PF2|-|PF1|)=4c2,
  ∴   |PF1|=  。∵ PO//AB，∴ ΔPF1O∽ΔBOA,
  ∴    =   c=b  a=  c, ∴ e=  =  。
  [例8]  已知 、 是橢圓 （ ）長軸的兩個端點， 是與 垂直的弦．求直線 與 的交點M的軌跡方程．

  解 如圖，由已知 軸，可設 、 ．設動點M（ ）．∵  （ ，0）、 （ ，0）∴  方程為  方程為  把上面兩個等式左、右分別相乘，可得： 而P （ ）又在橢圓上， 即  ，變形為
 即  ，代入，可得M點軌跡方程為： ．
[例9] 已知橢圓 ，A（1，1），過A的直線 交橢圓于P、Q兩點，若 ，求直線 的方程．
  解：設P（ ， ），Q（ ， ）∵  ，由定比分點公式得： ∵ P、Q在橢圓上 ∴  
 整理得   解得  或 
    ∴ 直線PQ的方程為 或