題記：那些年，我們一起追的積分，現(xiàn)在是否已微分散盡？引言

任何一門課程，關(guān)鍵核心的東西并不多.

對(duì)微積分而言，如果你能把Stokes公式

的來龍去脈徹底搞清楚，并能得心應(yīng)手地應(yīng)用它解決各種問題，那么恭喜你，你已經(jīng)達(dá)到'會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小'的意境了！

接下來，我們從Stokes公式的特例牛頓-萊布尼茲公式談起，深度剖析愛因斯坦質(zhì)能方程，并為你解讀：萊布尼茲的憂傷、拉格朗日的神奇、歐拉公式的優(yōu)美、倚天劍般的泰勒...

幾點(diǎn)注記

1. 上式左邊是定積分，其定義為：

   

   它的幾何意義是由以下曲線

   

   所圍成幾何圖形的面積.

2. 由計(jì)算出來的值，是精確地等于上述幾何圖形的面積，詳細(xì)的證明可以查看任何一本《數(shù)學(xué)分析》教材.

3. Newton-Leibniz公式的核心就是：導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間的積分只與原函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)(邊界)的值有關(guān).
   

   抓住了這一核心，今后我們就很容易把一元函數(shù)的Newton-Leibniz公式，以及多元函數(shù)的格林公式、高斯公式和斯托克斯公式統(tǒng)一為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最優(yōu)美的Stokes公式:

   

4. 為什么這個(gè)N-L公式如此重要？因?yàn)樗鼘⒃?strong>風(fēng)馬牛不相及的微分和定積分概念統(tǒng)一起來了.
   

   設(shè) F(x) 的微分是，則的積分就是 F(x).

   反過來，若的積分是F(x)，則F(x)的微分就是.

   原本微分和積分是獨(dú)立的兩部分內(nèi)容. 有了N-L公式并通過上述分析，我們發(fā)現(xiàn)微分和定積分竟然互為逆運(yùn)算，既對(duì)立又統(tǒng)一. 因此，我們將微分、積分合稱為微積分.
   

5. 在N-L公式

   

   中，不僅有導(dǎo)數(shù)、 微分、  定積分，甚至還有不定積分. 聰明的你，看出不定積分了嗎？

   

6. 這個(gè)公式的簡(jiǎn)潔、優(yōu)美而深刻是不是深深地震撼了你？使得你對(duì)數(shù)學(xué)有了重新的認(rèn)識(shí).
   

   在沒有該公式之前，一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的積分計(jì)算起來都是非常困難的.
   

   比如，

   

   這個(gè)極限的計(jì)算是不是讓你抓狂，甚至想把Riemann(黎曼)從墳?zāi)怪芯境鰜砜癖馑活D？(注：定積分也叫黎曼積分).

   而有了N-L公式之后， 復(fù)雜的積分運(yùn)算就轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單、安全而又高效的代數(shù)運(yùn)算. 你的心情是不是馬上就好起來了？因?yàn)槟銥槟苊霘⑸厦娴亩ǚe分而感到倍爽. 在很多童鞋從入門到重修的高數(shù)中，你是不是為竟然還有你能駕馭的定積分計(jì)算而自我感覺良好？

7. Newton-Leibniz公式

   

   的幾何意義大致是說，你要測(cè)量一座山的高度，有兩種方法：

   方法一:從山底建臺(tái)階一直到山頂，每一個(gè)臺(tái)階的高度就是, 因此所有臺(tái)階高度之和就是 

   

   一般離散(可數(shù))求和用.

   而連續(xù)求和用，因?yàn)?img doc360img-src='http://image99.360doc.com/DownloadImg/2016/08/1407/77831387_18' data-ratio='0.8' data-type='gif' data-w='10' src='http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif'>是從連續(xù)地變化到的，所以上式就記為

   

   方法二:用直升飛機(jī)或幾何光學(xué)等方法測(cè)出山頂和山底的高度，然后將其相減就得到山的高度：
   

   
   

   上述兩種方式測(cè)量出的結(jié)果應(yīng)該是一致的， 因此就有：

   

深度剖析微積分基本定理

下面來看Newton-Leibniz公式的證明.

  令

則是原函數(shù). 于是

在上式中令,  可得

繼續(xù)在上式中令,  即證.

注意上面證明過程中的紅字部分，我們提出如下三個(gè)問題：

• 可積嗎？如果不可積，則上述證明顯然是錯(cuò)誤的.

• 為什么 F(x) 是  的原函數(shù)？也就是說，下述等式為何成立

  

• 兩個(gè)原函數(shù) F(x)，f(x)為什么相差一個(gè)常數(shù)？

下面逐一回答上述三個(gè)問題.

我們令

時(shí)，就必須對(duì)的可積性提出要求，如果不可積，你后面的證明再如何精彩都于事無補(bǔ). 因?yàn)閺囊粋€(gè)錯(cuò)誤前提出發(fā)，幾乎可以得到任何你想要證明的結(jié)論. 

關(guān)于連續(xù)函數(shù)的可積性證明在一般的高等數(shù)學(xué)教材中是不做要求的，只有數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，才必須要搞懂搞透可積性理論，因?yàn)檫@是現(xiàn)代分析的基礎(chǔ)，更一般的可積性理論在《實(shí)變函數(shù)》中有詳細(xì)的介紹，而這遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了高等數(shù)學(xué)的要求.

順便說一下，所謂的“實(shí)變函數(shù)”與“學(xué)十遍”這兩個(gè)概念是等價(jià)的，就像“量子力學(xué)”與“量力學(xué)”等價(jià)，“隨機(jī)過程”與“隨機(jī)過”等價(jià)一樣.

這里簡(jiǎn)單提一下可積理論的結(jié)論：函數(shù)可積不連續(xù)點(diǎn)的測(cè)度為零. 那么有的童鞋又會(huì)問，測(cè)度又是啥玩意？

通俗地說，測(cè)度就是長(zhǎng)度、面積、體積等的推廣.

接下來，我們來看為什么

上述結(jié)論就是原函數(shù)存在定理，詳細(xì)證明參見視頻或教材.

我們這里強(qiáng)調(diào)一下，上述定理的證明主要是利用如下積分中值定理

好，最后我們來看為何兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)？

現(xiàn)在假設(shè)都是的原函數(shù)，也就是說，

則由拉格朗日中值定理，不難證明：

總結(jié)一下，為了證明微積分基本定理

我們需要用到如下結(jié)論：

• 連續(xù)函數(shù)是可積的

• 拉格朗日中值定理

• 原函數(shù)存在定理

繼續(xù)追溯的話，我們發(fā)現(xiàn)，以上定理最終歸結(jié)為閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì). 而閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的重要性質(zhì)，課本并未給出證明，為什么？因?yàn)檫@個(gè)需要借助實(shí)數(shù)的連續(xù)性或完備性理論，而這即使對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，都是非常困難的！

由此可見，你要是真的把微積分基本定理的來龍去脈都搞清楚了，那么我說，你就達(dá)到了“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”的意境這話，并非言過其實(shí)！

定積分的計(jì)算

在搞清楚微積分基本定理的來龍去脈之后，接下來，我們討論如何利用N-L公式計(jì)算定積分. 這通常涉及到如下三種基本積分方法：

1. 線性積分法

2. 換元積分法

3. 分部積分法

而上述三種積分法是由下面三大求導(dǎo)法則推導(dǎo)出來的：

1. 

2. 

3. 復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法
   

   

三大求導(dǎo)法則不僅可以推導(dǎo)出三種基本積分方法，而且可以推導(dǎo)出所有其他的求導(dǎo)法則，比如：反函數(shù)求導(dǎo)、參數(shù)函數(shù)求導(dǎo)、隱函數(shù)求導(dǎo)、對(duì)數(shù)求導(dǎo)、變限積分求導(dǎo)等等.

另外，大家對(duì)以下兩個(gè)重要的極限要給予充分重視，因?yàn)樗谢境醯群瘮?shù)的求導(dǎo)公式都是由它們推導(dǎo)出來，因此，它們是進(jìn)入微分學(xué)的必備基礎(chǔ).

當(dāng)然，也可借助和歐拉公式將所有的基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式推導(dǎo)出來！

拉格朗日中值定理

上面我們談到Lagrange中值定理，并利用其證明了兩個(gè)原函數(shù)為什么相差一個(gè)常數(shù).

關(guān)于原函數(shù)，你必須要知道的三件事：

1. 存在性：連續(xù)函數(shù)必存在原函數(shù).
   

2. 數(shù)量性：一個(gè)函數(shù)如果有原函數(shù)，則其有無窮多個(gè)原函數(shù).
   

3. 結(jié)構(gòu)性：任何兩個(gè)原函數(shù)之間相差一個(gè)常數(shù).

好了，下面是Lagrange閃亮登場(chǎng). 總感覺哪里不對(duì)??？

Lagrange定理為我們今后研究函數(shù)的各種性態(tài)提供了強(qiáng)大的工具，用起來特方便，反正，誰用誰知道！

定理中的可以相距十萬八千里, 或更多的筋斗云，都是允許的，然而卻還是在“如來”的掌控之中.  不對(duì)，應(yīng)該是在Lagrange的掌控之中.

因此Lagrange定理可以用導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)來研究函數(shù)在大范圍上(整體)的性質(zhì). 比如: 單調(diào)性，凹凸性等等.

又有童鞋想入非非了，我去...

每次講到函數(shù)的夾逼準(zhǔn)則和這個(gè)凹凸性，都可以看到某些童鞋一臉壞笑和意淫后的滿足感.

這也是高數(shù)能吸引學(xué)渣為數(shù)不多的幾個(gè)地方.  此處表情滿屏飛！

學(xué)渣請(qǐng)?點(diǎn)此傳送門，進(jìn)入讓你愛恨交加、從入門到重修的高數(shù)！

Lagrange定理的幾何意義是非常直觀的，幾乎所有的教材都會(huì)介紹，這里不再贅述. 其 classical 證明就是基于幾何意義，然后構(gòu)造輔助函數(shù)的.

我們將Lagrange定理稍微變下形：

就不難發(fā)現(xiàn)它的物理意義: 在物體從沿著曲線運(yùn)動(dòng)到的平均速度會(huì)等于某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度.

繼續(xù)變形得到：

將其與函數(shù)可微概念做一下比較：

你有發(fā)現(xiàn)什么了嗎？

沒錯(cuò)，去整容了，尾巴已經(jīng)給做掉了，而且沒有留下疤痕，還是精確地相等 

雖然，其中還有小手術(shù)留下的內(nèi)創(chuàng)傷(不確定性因素), 但是這已經(jīng)無法隱藏Lagrange定理的鋒芒，就像黑夜中的螢火蟲一樣.

就是這一小步，使得Lagrange定理變成微分學(xué)的一大步. 利用它可以解決很多之前無法解決的問題.

既然談到了拉格朗日中值定理，就必須要介紹一下泰勒公式了. 因?yàn)槔窭嗜罩兄刀ɡ碇皇翘├展降奶乩?

Taylor公式及其應(yīng)用

首先看一個(gè)視頻： 是如何計(jì)算的？

那么等又是如何計(jì)算的呢？你是不是絞盡腦汁、使出渾身解數(shù)都不知如何下手？當(dāng)然，如果你認(rèn)真看了上面的視頻，就應(yīng)該能猜得到. 不錯(cuò)，也是將它們轉(zhuǎn)化為你最擅長(zhǎng)的加減乘除來做.

現(xiàn)在問題的關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化？

這就是接下來的主角：Taylor公式.

計(jì)算機(jī)，從字面上來理解，其主要任務(wù)應(yīng)該是計(jì)算. 我們從一個(gè)簡(jiǎn)單的例子入手，比如，要計(jì)算  的值. 

我們用筆和紙，能完成計(jì)算只有加減乘除，計(jì)算機(jī)也不例外.

因此，計(jì)算機(jī)首先要將  轉(zhuǎn)換為加減乘除運(yùn)算，這就要用到高等數(shù)學(xué)或微積分中的Taylor公式，將  進(jìn)行泰勒展開：

不過，計(jì)算機(jī)需先將加減乘除運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法和移位，然后將加法和移位轉(zhuǎn)化為 “與、或、非”等邏輯計(jì)算.

邏輯運(yùn)算是一些簡(jiǎn)單的邏輯門Nand（與非）等構(gòu)成的電路而已，最終通過邏輯門電路構(gòu)建出ALU（算術(shù)邏輯單元）、存儲(chǔ)器等包含很多芯片的復(fù)雜的計(jì)算機(jī)系統(tǒng).
而邏輯門又是通過晶體管構(gòu)建出來的，那么晶體管是由......

已經(jīng)到了計(jì)算機(jī)科學(xué)的盡頭，繼續(xù)深究下去的話，就是物理學(xué)的開端. 物理學(xué)再往前行，又回到了數(shù)學(xué). 正所謂:

數(shù)學(xué)是火，點(diǎn)亮物理的燈；物理是燈，照亮化學(xué)的路；化學(xué)是路，通向生物的坑；生物是坑，埋葬學(xué)理的人.

這里簡(jiǎn)單說一下Taylor公式的強(qiáng)大之處：用只包含加減乘除運(yùn)算的多項(xiàng)式函數(shù)，去逼近任意函數(shù)！這樣我們?nèi)祟惡陀?jì)算機(jī)就可以計(jì)算了.

至于想了解，計(jì)算機(jī)是如何完成加減乘除運(yùn)算的，非計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生，這里推薦一本書《編碼的奧秘》(Charles Petzold).

關(guān)于這本書的書評(píng)，豆瓣上有一篇很煽情的文章：地基上的腳印---讀《編碼的奧秘》有感.

大家不妨去讀一讀：

https://book.douban.com/subject/1024570

Charles Petzold很有名，而且是作家出身，不知怎么就跑來學(xué)計(jì)算機(jī)了，他寫了很多書，都很有名，其中《Windows程序設(shè)計(jì)（第五版）》是學(xué)習(xí)Windows程序設(shè)計(jì)的經(jīng)典著作，另外《圖靈的秘密：他的生平、思想及論文解讀》這本書也很不錯(cuò).

我們不想把話說得太絕對(duì)，但至少可以說：凡是用一元微積分中的定理、技巧能解決的問題，其中的大部分都可以用Taylor公式來解決. 掌握了Taylor定理之后，回過頭去再看前面的那些理論，似乎一切都在你的掌握之中，使你有一種‘會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽縱山小’的意境，從這個(gè)意義上來說，Taylor公式是一元微分學(xué)的頂峰并不過分.

上面一段話描述了Taylor公式的強(qiáng)大之處，我們簡(jiǎn)單列舉一下它可以用來干什么：

• 計(jì)算極限、導(dǎo)數(shù)

• 函數(shù)的極值問題

• 證明不等式

• 研究函數(shù)局部性態(tài)

• 線性插值

• 近似計(jì)算

• 求漸近線方程

• 外推

好了，下面我們來看一個(gè)應(yīng)用：如何通過Taylor公式推導(dǎo)Euler公式？

在高數(shù)中，大家對(duì)下面三個(gè)函數(shù)的泰勒展開應(yīng)該不會(huì)陌生.

將中的  x 換成 ix , 并注意，即可證明Euler公式，

英國科學(xué)期刊《物理世界》曾讓讀者投票評(píng)選了“最偉大的公式”，最終榜上有名的十個(gè)公式既有無人不知的1+1=2，又有著名的E=mc2；既有簡(jiǎn)單的圓周公式，又有復(fù)雜的歐拉公式…

歐拉公式是人類歷史上最優(yōu)美的數(shù)學(xué)公式之一:

在這個(gè)公式中，我們用代替可以得到：

將上面兩個(gè)式子分別相加減，有：

這兩個(gè)式子也可以稱為Euler公式.

接下來，我們用Euler公式推導(dǎo)中學(xué)的三角函數(shù)公式.

令 于是

根據(jù)復(fù)數(shù)相等，我們可以得到兩角和的正弦、余弦公式：

其余三角函數(shù)公式都可以由Euler公式推導(dǎo)出來，大家可以自己去試一試！

另外，Euler公式的證明有很多方法，且有非常多的應(yīng)用，感興趣的話可以去讀一讀復(fù)分析、物理和工程方面的書籍.

推薦一本神奇的書 ：Visual Comlex Analysis(復(fù)分析可視化方法), Tristan Needham著，齊民友譯，人民郵電出版社.  

接下來，是見證奇跡的時(shí)候.

在Euler公式

中，令, 我們有

這個(gè)公式被認(rèn)為是上帝創(chuàng)造的公式，人類無法理解它.

下面我們來看，它究竟有何神奇之處：

•  分別是分析、代數(shù)、幾何中三個(gè)極其重要的量. 由此可見，數(shù)學(xué)各個(gè)分支之間是存在緊密聯(lián)系的. 下面是 e 的定義：

  

•  是數(shù)學(xué)中的五朵金花，它們?cè)谕粋€(gè)公式中綻放，你體會(huì)到它的美了嗎？

• 是兩個(gè)重要的超越數(shù) (即不是任何有理系數(shù)代數(shù)方程的根)；i, 1分別是虛數(shù)單位和自然數(shù)單位；0,1是任何數(shù)域（所謂數(shù)域是指對(duì)四則運(yùn)算封閉的數(shù)集）都包含的兩個(gè)數(shù)； +，= 是數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的兩個(gè)符號(hào).  等號(hào) “=” 在數(shù)學(xué)中表示可以相互替代；在物理學(xué)中，表示相互轉(zhuǎn)換；在計(jì)算機(jī)語言中則表示賦值.

• 有了加法運(yùn)算 +，通過它就可以構(gòu)造出減法、乘法、除法等豐富的運(yùn)算；

• 由0,1通過四則運(yùn)算，可以構(gòu)造出有理數(shù)；再通過Dedekind（戴德金）分割或Cauchy（柯西）基本列，可構(gòu)造出實(shí)數(shù)；利用虛數(shù)單位 i ,通過簡(jiǎn)單的二次擴(kuò)張，則可以獲得最大的復(fù)數(shù)數(shù)域.

• i 的出現(xiàn)，導(dǎo)致了管轄時(shí)空結(jié)構(gòu)的相對(duì)論和支配物質(zhì)規(guī)律的量子力學(xué)的發(fā)現(xiàn). 而且可以預(yù)言，這兩種理論的最終統(tǒng)一，需要借助復(fù)數(shù).

• e 是自然界中神奇地存在！

渦形或螺線型是自然界事物極為普遍的存在形式，比如：一縷裊裊升上藍(lán)天的炊煙，一朵碧湖中輕輕蕩開的漣漪，數(shù)只緩緩攀援在籬笆上的蝸牛和無數(shù)在恬靜的夜空攜擁著旋舞的繁星。

物體的冷卻、細(xì)胞的繁殖、放射性元素的衰變等等.

以上都和 e 有關(guān)！

質(zhì)能方程

下面我們主要用Taylor公式來證明人見花開、婦孺皆知的Einstein(愛因斯坦)質(zhì)能公式.

在一維直線上討論.

設(shè)有A,B兩人，其中A始終是在原點(diǎn)O的位置，B以恒速向右方前進(jìn). 

當(dāng)B與A相遇的瞬間，A從原點(diǎn)O向右發(fā)出一束光.

經(jīng)過時(shí)間 t 后，光束到達(dá)P點(diǎn)，而B到達(dá)Q點(diǎn). 

這時(shí)，A拿出懷表和米尺，測(cè)量B到光束的距離應(yīng)為：

同樣地，B也拿出懷表和米尺，測(cè)量A到光束的距離應(yīng)為：

以上討論在Newton經(jīng)典力學(xué)中是沒有任何問題的. 

但如果是在Einstein的狹義相對(duì)論中，

你能保證，B身上帶的懷表和米尺，不會(huì)因?yàn)锽的運(yùn)動(dòng)而有所變化嗎？

這是理解問題的關(guān)鍵：也就是說A和B測(cè)量出的時(shí)間和長(zhǎng)度是有區(qū)別的.

因此，假設(shè)隨著B運(yùn)動(dòng)的懷表測(cè)量出來的時(shí)間為，而不是 t .

因此 (2) 式就變?yōu)椋?/span>

(3)式右邊是B測(cè)量出來的長(zhǎng)度，這個(gè)時(shí)候，A說，你運(yùn)動(dòng)過程中米尺可能會(huì)有所變化，需要乘以一個(gè)因子:

于是(3)式就變?yōu)椋?/span>

同理，

(1)式右邊是A測(cè)量出來的長(zhǎng)度，這個(gè)時(shí)候，B不服氣，說自己沒動(dòng)，而是A在向左方運(yùn)動(dòng)，你也要乘以一個(gè)因子:

于是(1)搖身一變，就得到下面的式子：

將(4)(5)得：

在上式兩邊同除以, 可求出

在牛頓經(jīng)典力學(xué)中，物體的質(zhì)量是不會(huì)隨著速度而改變的，但在狹義相對(duì)論中，物體的質(zhì)量是關(guān)于速度的函數(shù)：

其中是物體靜止時(shí)候的質(zhì)量，而 c 為光速.

根據(jù)Taylor公式可知：

于是

故

這樣

其中，為物質(zhì)靜止時(shí)的能量（靜能），而

為物質(zhì)運(yùn)動(dòng)時(shí)的能量（動(dòng)能），Einstein認(rèn)為物質(zhì)的能量 E 應(yīng)等于靜能+動(dòng)能，

因此，我們就得到了質(zhì)能方程：