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1.解：設(shè)該菱形為菱形ABCD，兩對(duì)角線交于點(diǎn)O，則△AOB為直角三角形，直角邊長分別為2cm和4cm，則有勾股定理，得AB=√(OA^2+OB^2 )=√(2^2+4^2 )=2√5 （cm）， 即林習(xí)慣的邊長為2√5 cm. 2.解：由OA=OB=√2/2 AB,可知OA^2+OB^2=AB^2,則∠AOB=90°. 因?yàn)镺A=OB=OC=OD,所以AC,BD互相垂直平分且相等， 故四邊形ABCD必是正方形. 3.解：不一定是菱形，因?yàn)橐部赡苁蔷匦? 4.已知：如圖1-4-20所示，菱形BACD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AC=60cm，周長為200cm.求（1）BD的長；（2）菱形的面積.  解：（1）因?yàn)榱庑嗡倪呄嗟?，?duì)角線互相垂直平分，所以AB=1/4×200=50（cm）， AC⊥BD且OA=OC= 1/2 AC= 1/2×60=30（cm），OB=OD.在Rt△AOB中，OB=√(AB2-AO2)=√(502-302)=40（cm）. 所以BD=2OB=80cm. （2）S菱形ABCD=1/2 AC?BD= 1/2×60×80=2 400（cm^2 ）. 5.已知：如圖1-4-21所示，在四邊形AB-CD，對(duì)角線AC⊥BD,E,F,P,Q分別為邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).  求證：四邊形EFPQ為正方形. 證明：∵E,Q分別為B,AD的中點(diǎn)，  ∴四邊形EFPQ為平行四邊形. ∵AC=BD,∴EF=EQ. ∴□EFPQ為菱形. ∵AC⊥BD,∴EF⊥EQ. ∴∠QEF=90°. ∴菱形EFPQ是正方形. 6.解∵AC=EC,∴∠CEA=∠CAE.由四邊形ABCD是正方形.得AD//BE, ∴∠DAE=∠CEA=∠CAE. 又∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°， ∴∠DAE=1/2∠DAC= 1/2×45°=22.5°. 7.解：（1）是正方形，因?yàn)閷?duì)角線相等的菱形必為正方形. （2）是正方形，因?yàn)檫@個(gè)四邊形的對(duì)角線相等，四條邊也相等. 8.證明：如圖1-4-22所示，  ∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2. ∵DE//AC,∴∠2=∠3. ∴∠1=∠3.∴AE=DE. ∵DE//AC,DF//AB, ∴四邊形AEDF是平行四邊形. 又AE=DE,∴□AEDF是菱形. 9.證明：如圖1-4-23所示，  ∵BE⊥AC,ME為Rt△BEC的中線， ∴ME=1/2BC. 同理MF=1/2BC,∴ME=MF. 10.已知：四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC=BD=l.求正方形的周長和面積.解：正方形ABCD中，AB=BC,∠B=90°.在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2,2AB2=l2,所以AB=√2/2l.所以正方形的周長=4AB=4×√2/2 l=2√2 l,S四邊形ABCD=AB^2=（√2/2 l）^2=1/2 l^2. 11.證明：∵CP//BD,DP//AC, ∴四邊形CODP是平行四邊形. ∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD. ∵OC=1/2 AC,OD= 1/2 BD,∴OC=OD ∴四邊形CODP是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）. 12.證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AC=BD. ∵OA=OC,OB=OD, 又∵AM=BP=CN=DQ, ∴OA-AM=OC-CN,即OM=ON,OB-BP=OD-DQ,即OP=OQ, ∴四邊形MPNQ是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）. ∵AM+MN+NC=AC,BP+PQ+DQ=BD, ∴MN=PQ,∴四邊形MPNQ是矩形（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形）. 13.證明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB, ∴∠FCD=1/2∠ACB=45°. ∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°. 在Rt△FCD中，∠FDC=90°-∠FCD=90°-45°=45°， ∴∠FCD=∠FDC,∴FC=FD. ∵DE⊥BC,∴∠DEC=90°. ∴∠DFC=∠FCE=∠DEC=90°. ∴四邊形DFCE是矩形（有個(gè)三角是直角的四邊形是矩形）. ∵FC=FD,∴四邊形CEDF是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）. 14.解：由AP=4t cm，CQ=l cm， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴AB=DC-CQ=（20-t）cm. ∴DQ=DC-CQ=（20-t）cm. 當(dāng)四邊形APQD是矩形時(shí)，則有DQ=AP, ∴20-t=4t，解得t=4 ∴當(dāng)t為4時(shí)，三角形APQD是矩形. 15解：△BFD是等腰三角形，理由如下： ∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD//BC,∴∠ADB=∠DBC. ∵∠FBD=∠DBC, ∵∠FBD=∠ADB,∴BF=DF. ∴△BFD是等腰三角形. 16.解由題意知，矩形ABCD≌矩形GCDF, ∴AB=FG,BC=GC,AC=FC, ∴△ABC≌△FGC, ∴∠ACB=∠FCG. ∵∠ACB+∠ACD=90°， ∴∠FCG+∠ACD=90°， 即∠ACF=90°. ∵AC=CF,∴△ACF是等腰直角三角形. ∴∠AFC=45°. 17.解不一定，因?yàn)檫€可能是菱形，若要判斷這塊紗巾是否為正方形，還需要檢驗(yàn)對(duì)角線是否相等. 18.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴BC//DA. ∴∠DAB+∠ABC=180°. ∵AH平分∠DAB,BH,平分∠ABC, ∴∠HAB=1/2∠DAB,∠HBA= 1/2∠ABC. ∴∠HAB+∠HBA=90°. ∴∠H=90°. 同理可證∠F=90°，∠HEF=90°. ∴四邊形EFGH是矩形. 19.解：略.提示：如圖1-4-24所示圖形僅供參考.  |
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