折疊編輯本段?定義
折疊古典定義
如果一個(gè)試驗(yàn)滿足兩條:
(1)試驗(yàn)只有有限個(gè)基本結(jié)果;
(2)試驗(yàn)的每個(gè)基本結(jié)果出現(xiàn)的可能性是一樣的。
這樣的試驗(yàn)便是古典試驗(yàn)。
對于古典試驗(yàn)中的事件A，它的概率定義為:P(A)=m/n，其中n表示該試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本結(jié)果的總數(shù)目。m表示事件A包含的試驗(yàn)基本結(jié)果數(shù)。這種定義概率的方法稱為概率的古典定義。
折疊頻率定義
隨著人們遇到問題的復(fù)雜程度的增加，等可能性逐漸暴露出它的弱點(diǎn)，特別是對于同一事件，可以從不同的等可能性角度算出不同的概率，從而產(chǎn)生了種種悖論。另一方面，隨著經(jīng)驗(yàn)的積累，人們逐漸認(rèn)識到，在做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，一個(gè)事件出現(xiàn)的頻率，總在一個(gè)固定數(shù)的附近擺動，顯示一定的穩(wěn)定性。R.von米澤斯把這個(gè)固定數(shù)定義為該事件的概率，這就是概率的頻率定義。從理論上講，概率的頻率定義是不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?/p>
折疊統(tǒng)計(jì)定義
在一定條件下，重復(fù)做n次試驗(yàn)，nA為n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，如果隨著n逐漸增大，頻率nA/n逐漸穩(wěn)定在某一數(shù)值p附近，則數(shù)值p稱為事件A在該條件下發(fā)生的概率，記做P(A)=p。這個(gè)定義成為概率的統(tǒng)計(jì)定義。
在歷史上，第一個(gè)對"當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n逐漸增大，頻率nA穩(wěn)定在其概率p上"這一論斷給以嚴(yán)格的意義和數(shù)學(xué)證明的是雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)。
從概率的統(tǒng)計(jì)定義可以看到，數(shù)值p就是在該條件下刻畫事件A發(fā)生可能性大小的一個(gè)數(shù)量指標(biāo)。
由于頻率nA/n總是介于0和1之間，從概率的統(tǒng)計(jì)定義可知，對任意事件A，皆有0≤P(A)≤1，P(Ω)=1，P(Φ)=0。其中Ω、Φ分別表示必然事件(在一定條件下必然發(fā)生的事件)和不可能事件(在一定條件下必然不發(fā)生的事件)。
折疊公理化定義
折疊編輯本段名詞
折疊事件
在一個(gè)特定的隨機(jī)試驗(yàn)中，稱每一可能出現(xiàn)的結(jié)果為一個(gè)基本事件，全體基本事件的集合稱為基本空間。隨機(jī)事件(簡稱事件)是由某些基本事件組成的，例如，在連續(xù)擲兩次骰子的隨機(jī)試驗(yàn)中，用Z，Y分別表示第一次和第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，Z和Y可以取值1、2、3、4、5、6，每一點(diǎn)(Z，Y)表示一個(gè)基本事件，因而基本空間包含36個(gè)元素。"點(diǎn)數(shù)之和為2"是一事件，它是由一個(gè)基本事件(1，1)組成，可用集合{(1，1)}表示，"點(diǎn)數(shù)之和為4"也是一事件，它由(1，3)，(2，2)，(3，1)3個(gè)基本事件組成，可用集合{(1，3)，(3，1)，(2，2)}表示。如果把"點(diǎn)數(shù)之和為1"也看成事件，則它是一個(gè)不包含任何基本事件的事件，稱為不可能事件。P(不可能事件)=0。在試驗(yàn)中此事件不可能發(fā)生。如果把"點(diǎn)數(shù)之和小于40"看成一事件，它包含所有基本事件，在試驗(yàn)中此事件一定發(fā)生，所以稱為必然事件。P(必然事件)=1。實(shí)際生活中需要對各種各樣的事件及其相互關(guān)系、基本空間中元素所組成的各種子集及其相互關(guān)系等進(jìn)行研究。
在一定的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機(jī)事件。
通常一次實(shí)驗(yàn)中的某一事件由基本事件組成。如果一次實(shí)驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，即此實(shí)驗(yàn)由n個(gè)基本事件組成，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么這種事件就叫做等可能事件。
不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件。
對立事件。即必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件叫做對立事件。
折疊概型
古典概型討論的對象局限于隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果為有限個(gè)等可能的情形，即基本空間由有限個(gè)元素或基本事件組成，其個(gè)數(shù)記為n，每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是相同的。若事件A包含m個(gè)基本事件，則定義事件A發(fā)生的概率為p(A)=m/n，也就是事件A發(fā)生的概率等于事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)除以基本空間的基本事件的總個(gè)數(shù)，這是P.-S.拉普拉斯的古典概型定義，或稱之為概率的古典定義。歷史上古典概型是由研究諸如擲骰子一類賭博游戲中的問題引起的。計(jì)算古典概型，可以用窮舉法列出所有基本事件，再數(shù)清一個(gè)事件所含的基本事件個(gè)數(shù)相除，即借助組合計(jì)算可以簡化計(jì)算過程。
幾何概型若隨機(jī)試驗(yàn)中的基本事件有無窮多個(gè)，且每個(gè)基本事件發(fā)生是等可能的，這時(shí)就不能使用古典概型，于是產(chǎn)生了幾何概型。幾何概型的基本思想是把事件與幾何區(qū)域?qū)?yīng)，利用幾何區(qū)域的度量來計(jì)算事件發(fā)生的概率，布豐投針問題是應(yīng)用幾何概型的一個(gè)典型例子。
設(shè)某一事件A(也是S中的某一區(qū)域)，S包含A，它的量度大小為μ(A)，若以P(A)表示事件A發(fā)生的概率，考慮到"均勻分布"性，事件A發(fā)生的概率取為:P(A)=μ(A)/μ(S)，這樣計(jì)算的概率稱為幾何概型。若Φ是不可能事件，即Φ為Ω中的空的區(qū)域，其量度大小為0，故其概率P(Φ)=0。
在概率論發(fā)展的早期，人們就注意到古典概型僅考慮試驗(yàn)結(jié)果只有有限個(gè)的情況是不夠的，還必須考慮試驗(yàn)結(jié)果是無限個(gè)的情況。為此可把無限個(gè)試驗(yàn)結(jié)果用歐式空間的某一區(qū)域S表示，其試驗(yàn)結(jié)果具有所謂"均勻分布"的性質(zhì)，關(guān)于"均勻分布"的精確定義類似于古典概型中"等可能"只一概念。假設(shè)區(qū)域S以及其中任何可能出現(xiàn)的小區(qū)域A都是可以度量的，其度量的大小分別用μ(S)和μ(A)表示。如一維空間的長度，二維空間的面積，三維空間的體積等。并且假定這種度量具有如長度一樣的各種性質(zhì)，如度量的非負(fù)性、可加性等。
折疊編輯本段歷史
第一個(gè)系統(tǒng)地推算概率的人是16世紀(jì)的卡爾達(dá)諾。記載在他的著作《Liber de Ludo Aleae》中。書中關(guān)于概率的內(nèi)容是由Gould從拉丁文翻譯出來的。
卡爾達(dá)諾的數(shù)學(xué)著作中有很多給賭徒的建議。這些建議都寫成短文。例如:《誰，在什么時(shí)候，應(yīng)該賭博?》、《為什么亞里斯多德譴責(zé)賭博?》、《那些教別人賭博的人是否也擅長賭博呢?》等。
然而，首次提出系統(tǒng)研究概率的是在帕斯卡和費(fèi)馬來往的一系列信件中。這些通信最初是由帕斯卡提出的，他想找費(fèi)馬請教幾個(gè)關(guān)于由Chevvalier de Mere提出的問題。Chevvalier de Mere是一知名作家，路易十四宮廷的顯要，也是一名狂熱的賭徒。問題主要是兩個(gè):擲骰子問題和比賽獎(jiǎng)金分配問題。
折疊編輯本段性質(zhì)
性質(zhì)1.P(Φ)=0.
性質(zhì)2.(有限可加性)當(dāng)n個(gè)事件A1,…,An兩兩互不相容時(shí): P(A1∪...∪An)=P(A1)+...+P(An).
性質(zhì)3.對于任意一個(gè)事件A:P(A)=1-P(非A).
性質(zhì)4.當(dāng)事件A,B滿足A包含于B時(shí):P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)≤P(B).
性質(zhì)5.對于任意一個(gè)事件A，P(A)≤1.
性質(zhì)6.對任意兩個(gè)事件A和B，P(B-A)=P(B)-P(AB).
性質(zhì)7.(加法公式)對任意兩個(gè)事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
折疊編輯本段區(qū)別頻率
對事件發(fā)生可能性大小的量化引入"概率"。獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)總次數(shù)n,事件A發(fā)生的頻數(shù)μ，事件A發(fā)生的頻率Fn(A)=μ/n,A的頻率Fn(A)有沒有穩(wěn)定值?如果有就稱頻率μn的穩(wěn)定值p為事件A發(fā)生的概率記作P(A)=p(概率的統(tǒng)計(jì)定義)
P(A)是客觀的，而Fn(A)是依賴經(jīng)驗(yàn)的。統(tǒng)計(jì)中有時(shí)也用n很大的時(shí)候的Fn(A)值當(dāng)概率的近似值。
