一、大綱解讀

立體幾何的主要內(nèi)容是空間幾何體，點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系，空間向量與立體幾何．其考查內(nèi)容主要是空間兩直線的位置關(guān)系、直線與平面的位置關(guān)系、兩平面的位置關(guān)系；異面直線所成的角、二面角、線面角；幾何體的表面積和體積、空間幾何體的三視圖和直觀圖等.其中線面平行與垂直判定定理與性質(zhì)定理、面面平行與垂直判定定理與性質(zhì)定理是考查的重點(diǎn).對于理科生來說，空間向量作為一種新的快捷有效的工具已被廣泛應(yīng)用于解決立體幾何綜合問題，是高考的焦點(diǎn)所在.

二、高考預(yù)測

一般來說立體幾何有兩個(gè)左右的選擇題或填空題和一道解答題，約20-25分，占整章試卷的15％. 選擇題或填空題考查的是空間幾何體和點(diǎn)線面位置關(guān)系的基本問題，與三視圖相結(jié)合考查是一種典型題型；解答題近年已成為一個(gè)較為固定的模式，以多面體（少數(shù)為旋轉(zhuǎn)題）為載體，考查點(diǎn)線面的位置關(guān)系的判斷推理，求空間角和距離，求有關(guān)最值和體積一般分步設(shè)問，難度逐漸增大，但都可以用基本方法解決，理科生要會用空間向量來解決這類問題.

三．重點(diǎn)剖析

立體幾何的重點(diǎn)內(nèi)容是柱錐臺球的表面積和體積，空間幾何體的三視圖和直觀圖，平面的基本性質(zhì)，空間線面位置關(guān)系，空間向量的基本問題，空間向量與立體幾何，特別是用空間向量解決立體幾何中的線面平行與垂直的證明，求解異面直線所成的角、二面角、線面角，以及簡單的距離計(jì)算．

重點(diǎn)一：空間幾何體的三視圖、體積與表面積

【例1】 一個(gè)空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為直角三角形，邊長如圖所示，那么這個(gè)幾何體的體積為（    ） A.1    B.2      C.3      D.4

【分析】根據(jù)三個(gè)試圖可以知道這個(gè)幾何體是一個(gè)一條側(cè)棱和底面垂直，底面是直角三角形的三棱錐。 【解析】該幾何體是底面兩直角邊長分別是1,2的直角三角形，高為3的三棱錐，故其體積為?

11

1?2

3?1。 32

【點(diǎn)評】主試圖和側(cè)視圖的高就是實(shí)際幾何體的高。

【例2】已知一個(gè)幾何體是由上下兩部分構(gòu)成的組合體，其三視圖如下，若圖中圓的半徑為1，等腰三角形的腰長   （     ）

A.

4?8?10?     B.2?   C.   D. 333

【分析】這個(gè)空間幾何體是一個(gè)圓錐和一個(gè)半球組成的組合體，把其中的數(shù)量關(guān)系找出來按照圓錐和球的體積計(jì)

算公式計(jì)算就行．

【解析】A 這個(gè)幾何體是一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓錐和一個(gè)半徑為1的半球組成的組合體，故其體積為

1144???12

2????13?． 3233

【點(diǎn)評】空間幾何體的三視圖是課標(biāo)高考的一個(gè)考點(diǎn)，主要考查方式之一就是根據(jù)三視圖還原到原來的空間幾何

重點(diǎn)二：空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷

【例3 】已知m、n是不重合的直線，?和?是不重合的平面，有下列命題： （1）若m??，n∥?，則m∥n；（2）若m∥?，m∥?，則?∥?； （3）若????n，m∥n，則m∥?且m∥?； （4）若m??，m??，則?∥? 其中真命題的個(gè)數(shù)是（   ）

Ａ．0 Ｂ．1  Ｃ．2  Ｄ．3 【 分析】（1）是假命題，如果一條直線平行于一個(gè)平面，該直線不與平面內(nèi)所有直線平行，只與部分直線平行；（2）是假命題，平行于同一直線的兩平面的位置關(guān)系不確定；（3）是假命題，因?yàn)閙可能為?和?內(nèi)的直線，則m∥

（4）是真命題，垂直于同一直線的兩平面平行。 ?且m∥?不一定成立；

【解析】選Ｂ。

【點(diǎn)評】本題考查的是有關(guān)線面關(guān)系命題的真假，所以通過利用定理來解決上述有關(guān)問題。 【例4】 在下列關(guān)于直線l、m與平面?和?的命題中，真命題的是（   ）

Ａ．若l??且???，，則l?

； Ｂ．若l??且?∥?，則l??； Ｃ．若l??且???，則l∥?； Ｄ．若????m且l∥m，則l∥?

【分析】高考中通常以選擇或填空的形式來考查垂直關(guān)系的判定。

A顯然是錯(cuò)誤的；C中l(wèi)可在平角?內(nèi)，故l∥?錯(cuò)誤；D中l(wèi)可在平角?內(nèi)，故l∥?錯(cuò)誤； 【解析】選B。

【點(diǎn)評】該題主要考查的是想象能力和位置關(guān)系。

【例5】正方體ABCD?A1B1C1D1中，對角線A1C?平面BDC1=O，AC和BD交于點(diǎn)M，求證：點(diǎn)C1、O、M共線。

DA1

C

【分析】要證明若干點(diǎn)共線問題，只需要證明這些點(diǎn)同在兩個(gè)相交平面內(nèi)即可。 【證明】如圖所示，由A1A∥C1C，則AA1CC1確定平面AA1C。

A1C?平面AA1C，O?A1C，?O?平面AA1C。 又A1C?平面BDC1=O，?O?平面BDC1。 ?O在平面BDC1與平面AA1C的交線上。 又AC?BD?M，?平面AA1C?平面BDC1=C1M， ?O?C1M，即O、C1、M三點(diǎn)共線。

【點(diǎn)評】該題的考向是點(diǎn)共線的問題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，這樣就可以根據(jù)公理2證明這些點(diǎn)都是在這兩個(gè)平面的交線上。

重點(diǎn)三：空間線面位置關(guān)系的證明和角的計(jì)算

【例6】 ABCD?A1B1C1D1是邊長為a正方體，計(jì)算下列問題：（1）AD1與B1C所成角的大??；（2）若

E、F、G、H為對應(yīng)棱的中點(diǎn)，求EF，GH所成的角。

【分析】該題可以采用平移法，即將EF，GH平移到D1B1和AB1即可。

【解析】（1）連BC1，則AD1∥BC1，所以BC1?B1C，則AD1?B1C，即AD1與B1C所成角為90； （2）連AB1，B1D1，則EF∥B1D1，GH∥AB1，?D1B1A即為EF和GH所成的角， 因?yàn)?D1B1A為正三角形，??D1B1A=600，即EF和GH所成的角為600。

A1

C

圖2

【點(diǎn)評】掌握此類基本題的解法，也是反映同學(xué)們的立體幾何基礎(chǔ)。

【例7】如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，   PC⊥AD．底面ABCD為梯形，AB//DC，AB?BC．PA?AB?BC，點(diǎn)E在棱PB上，且PE?2EB．

（1）求證：平面PAB⊥平面PCB； （2）求證：PD∥平面EAC； （3）（理）求平面AEC和平面PBC所成銳二面角的余弦值．

【分析】（1）根據(jù)兩個(gè)平面垂直的判定定理，尋找一個(gè)面對一條直線垂直于另一個(gè)平面；（2）根據(jù)線面平行的判定定理，尋找線線平行；（3）可以利用傳統(tǒng)的方法作出二面角的平面角解決，也可以利用空間向量的方法解決。

【解析】（1）∵PA?底面ABCD，∴PA?BC．又AB?BC，PA?AB?A，∴BC⊥平面PAB．             又BC?平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB．

（2）∵PA?底面ABCD， ∴PA?AD,又PC?AD，∴AD?平面PAC，∴AC?AD．

在梯形ABCD中，由AB?BC，AB?BC，得?BAC?又AC?AD，故?DAC為等腰直角三角形．∴DC?

4

，∴?DCA??BAC?

4

．

2AB．

DMDCPEDM

2.    在?BPD中，??2，∴PD//EM MBABEBMB

又PD?平面EAC，EM?平面EAC， ∴PD∥平面EAC．

連接BD，交AC于點(diǎn)M，則

（3）方法一：在等腰直角中，取中點(diǎn)，連結(jié)，則．∵平面⊥平面，且平面PAB?平面PCB=PB，∴AN?平面PBC．

在平面PBC內(nèi)，過N作NH?直線CE于H，連結(jié)AH，由AN?CE、NH?CE，得CE?平面ANH，故AH?CE．∴?AHN就是二面角A?CE?P的平面角．

H

在Rt?PBC中，設(shè)CB?a，

則PB?

11，，NE?PB?

，BE?

PB?

63CE??

， 3

由NH?CE，

EB?CB可知：?NEH∽?CEB，∴在Rt?AHN中，AN

NHCB

，代入解得：NH?．

NECE

AN?，

cos?AHN?． ，∴tan?AHN??NH26

∴平面AEC和平面PBC

方法二：以A為原點(diǎn)，AB,AP所在直線分別為y軸、z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．

2aa?

設(shè)PA?AB?BC?a，則A?0,0,0?，B?0,a,0?，C?a,a,0?，P?

0,0,a?，E?0,,?．

33?

ax?ay?0,uuuruuur11?

設(shè)n1??x,y,1?為平面EAC的一個(gè)法向量，則n1?AC,n1?AE，∴?2aya，解得x?,y??，∴

22??0.?3?311

n1?(,?,1)．

22

uuuruur

設(shè)n2??x',y',1?為平面PBC的一個(gè)法向量，則n2?BC,n2?BP，

又

BC??a,0,0?

，

BP?(0,?a,a)

，∴

ax'?0,?'?ay?a?0,?

，解得x'?0,y'?1，∴

【點(diǎn)評】求二面角的平面角的方法通常有：一是根據(jù)線面垂直關(guān)系作出二面角的平面角，通過解三角形解決；二是用空間向量的方法來求解，方法是：求出兩個(gè)平面的法向量n1和n2，然后利用數(shù)量積公式計(jì)算出銳二面角，其公式

|n1?n2|

為cosn1,n2=??，當(dāng)然考慮到二面角的取值范圍是?0,??，所以，二面角的平面角?與這兩個(gè)平面的法向量

n1n2

的夾角相等或互補(bǔ)。

四 掃雷先鋒

錯(cuò)誤之一：概念理解錯(cuò)誤

【例8】空間四邊形ABCD中，AB＝CD且成60的角，點(diǎn) M、N分別為BC 、AD的中點(diǎn)，求異面直線AB和MN成的角．

【錯(cuò)解】如圖所示，取AC的中點(diǎn)P，連PM，PN，MN。

11

AB ；NP∥CD，且NP=CD。 22

又AB=CD， 且AB，CD所成的角為600， ∴MP=NP且直線MP于NP成600角，∴ ?MPN=600，即?MPN使等邊三角形， ∴?PMN=600，即直線AB和MN成的角為600．

∵ M、N分別為BC 、AD的中點(diǎn)，∴MP∥AB，且MP=

B

P M

000

【剖析】上面的解法遺漏了當(dāng)直線PM與PN成60角，而?MPN=120的情形，此時(shí)直線AB和MN所成角為30．為防止遺漏或錯(cuò)誤，在解題過程中應(yīng)正確理解定義．

【點(diǎn)評】題目中的錯(cuò)誤，是同學(xué)們最易忽視的，有時(shí)看到一例題目，似乎會做，但是，不經(jīng)過縝密的思考，就會出現(xiàn)“千里之堤，潰于蟻穴”的慨嘆．

錯(cuò)誤之二：忽視分類討論錯(cuò)誤 【例9】點(diǎn)Ｍ是線段AB的中點(diǎn)，若A、B到平面?的距離分別為4cm和6cm，則點(diǎn)M到平面?的距離為——————

【錯(cuò)解】如圖1，分別過點(diǎn)A、B、M作平面?的垂線，AA，BB，MH，垂足分別為A/,B/,H．

ＭA

B

/

/

A

Ｈ

圖１

/

/

圖２

/

/

則線段AA，BB，MH的長分別為點(diǎn)，A、B、M到平面?的距離，由題設(shè)知，AA=4cm，BB=6cm，

比較多，當(dāng)然最好的辦法是用線面垂直的判定定理來證明。

【解析】（1）取FC的中點(diǎn)G , 連結(jié)OG、BG。∵O為DF的中點(diǎn), ∴OG//DC且OG= 在正方形ABCD中, M為AB中. ∴MB//DC且MB=

1

DC . 2

1

DC. ∴OG//MB且OG=MB， 2

∴四邊形OMBG為平行四邊形. ∴OM//BG , 又∵BG?平面BFC , OM?平面BFC， ∴OM//平面BCF.

F

C

（2）在直三棱柱ADE-BCF中, DC⊥平面BCF, ∴DC⊥BG , 在等腰△FBC中,  ∵BF=BC, ∴G為FC的中點(diǎn), ∴BG⊥FC , ∴BG⊥平面EFCD. 又∵OM//BG ,  ∴OM⊥平面EFCD. 又∵OM?平面MDF, ∴平面MDF⊥平面EFCD. （3）過B作BH⊥DM交DM的延長線于H , 連結(jié)FH .  ∵平面EFBA⊥平面ABCD, FB⊥AB.  ∴FB⊥平面ABCD .

∴BH為FN在平面ABCD上的射影.  ∴FH⊥DH (三垂線定理). ∴∠FHB為二面角F-DM-C的平面角, 設(shè)AB=1 , 則BH=BMsin∠AMD=

A

M

BF111

5.   ∴二面角F-DM-C的正切值為5。 ??，∴tan∠FHB=BH25

2

【點(diǎn)評】該題主要是能夠熟練應(yīng)用判定定理來證明相關(guān)的問題，因此要熟悉定理并能靈活應(yīng)用。 【例2】 如圖, 己知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形, AD//BC , ∠BCD=90°, PA=PB, PC=PD。 （1）證明: CD與平面PAD不垂直； （2）證明：平面PAB⊥平面ABCD； （3）（理科）如果CD=AD+BC , 二面角P-BC-A等于60°, 求二面角P-CD-A的大小。

A

C

D F

【分析】問題（1）需要利用反證法來證明，問題（2）仍用面面垂直的判定定理來證明。 【解析】（1）若CD⊥平面PAD, 則CD⊥PD, 由己知PC=PD得∠PCD=∠PDC<90°, 這與CD⊥PD矛盾,所以CD與平面QAD不垂直.

（2）取AB、CD的中點(diǎn)E、F , 連結(jié)PE、PF、EF, EF為 直角梯形的中位線, EF⊥CD.

由PA=PB , PC=PD得 PE⊥AB. 又PF∩EF=F

∴CD⊥平面PEF , 由PE?平面PEF 得 CD⊥PE ,  又AB⊥PE且梯形兩腰AB、CD必相交。

∴PE⊥平面ABCD, 又PE?平面PAB , ∴平面PAB⊥平面ABCD.

（3）由（2）及二面角定義可知∠PFE為二面角P-CD-A的平面角. 作EG⊥BC于G , 連PG.    ∴BC⊥PG. ∴∠PGE為二面角P-CD-A的平面角, 即∠PGE=60°.

由己知 得 EF=

111

(AD+BC)= CD.   又EG=CF=CD.  ∴EF=EG。 222

易證得Rt△PEF≌Rt△PEG , ∴∠PFE=∠PGE =60°即為所求。

【例3】已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，?DAB?90?,PA?底面ABCD，且PA=AD=DC=M是PB的中點(diǎn)。

（

1）證明：面PAD⊥面PCD；

（2）求AC與PB所成的角余弦值； （3）（理科）求面AMC與面BMC所成二面角的余弦值。

1

AB=1，2

【分析】本小題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成角和二面角的有關(guān)知識及思維能力和空間想象能力.考查應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力。

【解析】方法一：

（1）證明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂線定理得：CD⊥PD。因而，CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD，PD都垂直，∴CD⊥面PAD。又CD?面PCD，∴面PAD⊥面PCD.

（2）解：過點(diǎn)B作BE//CA，且BE=CA，則∠PBE是AC與PB所成的角.

連結(jié)AE，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，所以四邊形ACBE為正方形.  由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°，在Rt△PEB中BE=2，PB=5， ?cos?PBE?

E

B

BE。 ?

PB5

（3）解：作AN⊥CM，垂足為N，連結(jié)BN。在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB， ∴△AMC≌△BMC,∴BN⊥CM，故∠ANB為所求二面角的平面角.

∵CB⊥AC，由三垂線定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM。 在等腰三角形AMC中，AN·MC=CM?(

2

AC2

)?AC， 2

2

AN?2?

2

AN2?BN2?AB22

.    ∴AB=2，?cos?ANB?

2?AN?BN3方法二：（理科）因?yàn)镻A⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0

），P（0，0，1），M（0，1，).

1

2

由題設(shè)知AD⊥DC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由此得DC⊥面PAD. 又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD. （2）解：因AC?(1,1,0),PB?(0,2,?1),

故||???2

,所以cos?AC,PB???.

5

（3）解：在MC上取一點(diǎn)N（x，y，z），則存在??R,使??,

11

(1?x,1?y,?z),?(1,0,?),?x?1??,y?1,z??.。

22

14

要使AN?MC,只需??0即x?z?0,解得??。

25

412

可知當(dāng)??時(shí),N點(diǎn)坐標(biāo)為(,1,),能使??0,

555

1212

此時(shí),?(,1,),?(,?1,),有??0

5555

由??0,??0得AN?MC,BN?MC.所以?ANB為所求二面角的平面角。

4?|AN|?BN|?AN?BN??.

5

AN?BN2?cos(AN,BN)???.

3|AN|?|BN|

【點(diǎn)評】建立空間直角坐標(biāo)系，通過代數(shù)計(jì)算得到幾何值，這種問題是近幾年中高考的重點(diǎn)內(nèi)容。

七、高考風(fēng)向標(biāo)

考查方向一：空間幾何體的三視圖以及面積、體積的計(jì)算

例１右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是（    ） A．9π  B．10π  C．11π  D．12π

俯視圖 正(主)視圖 側(cè)(左)視圖

分析：本題考查三視圖、球和圓錐的表面積等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和運(yùn)算能力．三視圖是課標(biāo)高考相對于大綱高考的新增內(nèi)容，是課標(biāo)高考的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容．解題的關(guān)鍵是由這個(gè)三視圖想象出這個(gè)空間幾何體是如何構(gòu)成的．

解析：D 該幾何體下面是一個(gè)底面半徑為1，母線長為3的圓柱，上面是一個(gè)半徑為1的球，其表面積是

2??1?3?2???12?4??12?12?．

點(diǎn)評：本題容易出錯(cuò)的答復(fù)有兩個(gè)，一是不能由這個(gè)三視圖想象出這個(gè)空間幾何體，二是用錯(cuò)球的表面積公式、圓柱的側(cè)面積公式或在計(jì)算圓柱的表面積時(shí)忽視了上下底面．

考查方向二：空間線面位置關(guān)系的判斷

例２（08年安徽理4）已知m,n是因?yàn)閮蓷l不同直線，?,?,?是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（    ）

A．若m‖?,n‖?,則m‖n  C．若m‖?,m‖?,則?‖?

B．若???,???,則?‖?      D．若m??,n??,則m‖n

分析：考查空間線面位置關(guān)系的判斷．本題主要用到的是“兩條直線如果和同一個(gè)平面垂直，則這兩條直線平行”，這是空間直線和平面垂直的性質(zhì)定理，是空間線面位置關(guān)系的主要定理之一。

解析：D  m,n均為直線，其中m,n平行?，m,n可以相交也可以異面，故A不正確；m??，n⊥α則同垂直于一個(gè)平面的兩條直線平行．

點(diǎn)評：對空間線面位置關(guān)系的判定定理生疏或者不會結(jié)合圖形進(jìn)行分析是本題解答錯(cuò)誤或不會解答的主要原因．在空間直線和直線的平行關(guān)系、平面和平面之間的平行關(guān)系具有傳遞性，但是直線和平面之間的平行關(guān)系沒有傳遞性，本題中A、C兩個(gè)選擇支就是針對這個(gè)問題而設(shè)計(jì)的。在平面上和同一條直線垂直的兩條直線平行，但在空間這個(gè)結(jié)論不成立，同時(shí)在空間和同一個(gè)平面垂直的兩個(gè)平面也不平行，本題的選擇支B就是針對這個(gè)問題設(shè)計(jì)的。

考查方向三：空間垂直與平行關(guān)系的證明

例3如圖，在四面體ABCD中，CB?CD,AD?BD，點(diǎn)E,F分別是AB,BD的中點(diǎn)，求證：

（1）直線EF?面ACD； （2）面EFC?面BCD．

E C A

分析：根據(jù)線面平行的判定定理和面面垂直的判定定理，尋找需要的直線。 證明：（1）∵E、F分別是AB、BD的中點(diǎn)， ∴EF是△ABD的中位線，∴EF//AD． 又∵EF?面ACD，AD?面ACD，∴直線EF//面ACD．

EF//AD?（2）??EF

AD?BD?

CB?CD??BD?面CEF?

CF?BD??面EFC?面BCD

F為BD中點(diǎn)?BD?面BCD?CF?EF?F

點(diǎn)評：本題考查空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力、推理論證能力．主要檢測考生對空間線面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)定理的掌握程度．

考查方向四：全面考查立體幾何的綜合性試題 例4 如下的三個(gè)圖中，上面的是一個(gè)長方體截去一個(gè)角所得多面體的直觀圖．它的正視圖和俯視圖在下面畫出（單位：cm）

（1）在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖； （2）按照給出的尺寸，求該多面體的體積；

（3??∥面EFG．

E ?C? ?

C

分析：根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)和圖中反應(yīng)的線面位置關(guān)系解決。

解析：（1）如圖

（側(cè)視圖）

（俯視圖）

（正視圖）

（2）所求多面體體積

1?1?

V?V長方體?V正三棱錐?4?4?6????2?2??2

3?2?

284?(cm2)．

3

（3）證明：在長方體ABCD?A?B?C?D?中， 連接AD?，則AD?∥BC?．

因?yàn)镋，G分別為AA?，A?D?中點(diǎn)， 所以AD?∥EG，從而EG∥BC?． 又BC??平面EFG， 所以BC?∥面EFG．

A?E C? ?C 點(diǎn)評：本題考查立體幾何初步的基本知識和方法．立體幾何初步中的主要問題是空間幾何體的三視圖、直觀圖、表面積和體積計(jì)算，空間線面位置關(guān)系的證明，本題把這些問題糅合在一起綜合檢測考生對立體幾何初步的掌握程度，這可以說是針對立體幾何初步而設(shè)計(jì)的一道典型試題。在畫俯視圖時(shí)不標(biāo)明尺寸，或是只畫一個(gè)矩形；在計(jì)算體積時(shí)沒有體積分割的思想意識，或是忽視了錐體體積公式中的之一，在復(fù)習(xí)中要認(rèn)真體會。

例4 如圖，已知四棱錐P?ABCD，底面ABCD為菱形，PA?平面ABCD，?ABC?60，

E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)．

（

1）證明：AE?PD；

（2）若H為PD上的動點(diǎn)，EH與平面PAD

分析：第一問轉(zhuǎn)化為證明線面垂直；第二問根據(jù)EH與平面PAD所成最大角的正切值為

1

，在空間幾何體的體積計(jì)算中“割補(bǔ)法”是最重要的技巧3

E?AF?C的余弦值． 2

面邊長和高之間的關(guān)系，然后用傳統(tǒng)的方法作出二面角的平面角解決，或是用空間向量的方法解決。

證明：（1）由四邊形ABCD為菱形，?ABC?60，可得△ABC為正三角形． 因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以AE?BC．又BC∥AD，因此AE?AD． 因?yàn)镻A?平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA?AE．

而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA?AD?A，所以AE?平面PAD． 又PD?平面PAD，所以AE?PD．

分析問題的能力，這個(gè)地方能有效地檢測考生的思維層次，是一個(gè)設(shè)計(jì)優(yōu)秀的試題．

八、沙場練兵

一、選擇題

1．一條直線與一個(gè)平面所成的角等于??，另一直線與這個(gè)平面所成的角是. 則這兩條直 36

線的位置關(guān)系（    ）

A．必定相交    B．平行     C．必定異面   D．不可能平行

1.D

2．在一個(gè)錐體中，作平行于底面的截面，若這個(gè)截面面積與底面面積之比為1∶3，則錐 體被截面所分成的兩部分的體積之比為（   ）

A．1∶ B．1∶9   C．1∶33  D．1∶(3?1)

2.D

P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點(diǎn)．那么，正方體的過P、Q、R的截3．正方體ABCD?A1BC11D1中，

面圖形是（    ）

A．三角形  B．四邊形  C．五邊形       D．六邊形

3.D

4．正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都是1，則側(cè)棱與底面所成的角為（    ）

A．75° B．60° C．45° D．30°

4.C

5．對于直線m、n和平面?，下面命題中的真命題是（    ）

A．如果m??,n??,m、n是異面直線，那么n//?

B．如果m??,n??,m、n是異面直線，那么n與?相交 C．如果m??,n//?,m、n共面，那么m//n

D．如果m//?,n//?,m、n共面，那么m//n

5.C

6．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，長為定值的線段EF在棱AB上移動（EF<a），若P是A1D1上的定點(diǎn)，Q是C1D1上的動點(diǎn)，則四面體PQEF的體積是（    ）

A．有最小值的一個(gè)變量        B．有最大值的一個(gè)變量

C．沒有最值的一個(gè)變量        D．是一個(gè)常量

6.D

7．已知平面?與?所成的二面角為80°，P為?、?外一定點(diǎn)，過點(diǎn)P的一條直線與?、? 所成的角都是30°，則這樣的直線有且僅有（    ）

A．1條 B．2條 C．3條   D．4條

7.D

8．如圖所示，在水平橫梁上A、B兩點(diǎn)處各掛長為50cm的細(xì)線AM、BN、AB的長度為60cm，在MN處掛長為60cm的木條MN平行于橫梁，木條中點(diǎn)為O，若木條繞O的鉛垂線旋轉(zhuǎn)60°，則木條比原來升高了（  ）

A．10cm   B．5cm

C．103cm   D．53cm

8.A

9．如圖，棱長為5的正方體無論從哪一個(gè)面看，都有兩個(gè)直通的 邊長為1的正方形孔，則這個(gè)有孔正方體的表面積（含孔內(nèi)各面）是（     ）

A．258       B．234          C．222       D．210

9.C

10．設(shè)a，b為兩條直線，?，?為兩個(gè)平面，下列四個(gè)命題中，正確的命題是（    ）

A．若a，b與?所成的角相等，則a∥b

B．若a∥?，b∥?，?∥?，則a∥b

C．若a??，b??，a∥b，則?∥?

D．若a??，b??，???，則a?b

10.D  提示：A中若a，b與?所成的角相等，則a和b不一定平行，可能異面，也可能相交；B中若a∥?，b∥?，?∥?，則a和b不一定平行，也可能是異面；C中若a??，b??，a∥b，則?和?也可能平行，也可能相交。

11．底面邊長為a，高為h的正三棱錐內(nèi)接一個(gè)正四棱柱（此時(shí)正四棱柱上底面有兩個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)側(cè)面內(nèi)），此棱柱體積的最大值（    ）

4(4?73)2ah   9

4(4?7)2  C．a(chǎn)h    9  A．4(7?4)2ah    94(7

43)2

D．a(chǎn)h 9B．

11.B

12．將半徑都為１的４個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四面體的高的最小值為（    ）

A

．

B．2+

33C

．4+     3D． 3

12.B

二、填空題

13．已知點(diǎn)P在正方形ABCD所在的平面外，PD?平面ABCD，PD?AD，則PA和BD所成角的度數(shù)為      。

13. 60   提示：將四棱錐P—ABCD補(bǔ)成正方體，如圖所示，則PA和BD所成角的度數(shù)即為PA和PM所成的角，而?PAM為等邊三角形，所以所求的角為60

00

14．如圖，矩形ABCD中，DC=，AD=1，在DC上截取DE=1，將△ADE

沿AE翻折到D1點(diǎn)，點(diǎn)D1在平面ABC上的射影落在AC上時(shí)，二面角D1—AE—B的平面角的余弦值是             .

14. 2?

DAB?60，E是AB中點(diǎn)，15.如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AB?2DC?2，將?ADE與?BEC分別沿ED、

EC向上折起，使A、B重合于P點(diǎn)，則三棱錐

A15. E ?  提示：根據(jù)題意，折疊后的三棱錐P?DCE為正四面體，且棱長為1，以這個(gè)正四面體來構(gòu)造正方體，8

26則此立方體的棱長為，故立方體的對角線長為，且立方體的外接球也為正四面體外接球，所以外接球半徑為22

6，則外接球的體積為?。 48

16. 已知平面?,?和直線，給出條件：①m//?；②m??；③m??；④???；⑤?//?。（i）當(dāng)滿足條件      時(shí)，有m//?；（ii）當(dāng)滿足條件     時(shí)，有m??。（填所選條件的序號）

16. （i）③⑤；  （ii）②⑤。提示：可以分析出當(dāng)滿足條件③和⑤時(shí)，則m//?，也就是說面面平行可以推出線面平行。出當(dāng)滿足條件②和⑤時(shí)，有m??。

九、實(shí)戰(zhàn)演練

一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.本大題共12小題，每小題5分，共60分.

1.

正視圖                   側(cè)視圖

A．三棱錐  B．四棱錐  C．五棱錐  D．六棱錐

1.Ｃ

2.ABCD－A1B1C1D1是正方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是

（  ）

A．A、M、O三點(diǎn)共線     B．M、O、A1、A四點(diǎn)共面

C．A、O、C、M四點(diǎn)共面    D．B、B1、O、M四點(diǎn)共面

2.D

3.如圖所示，點(diǎn)S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，

E、F分別是SC和AB的中點(diǎn)，則EF的長是（  ）

A．1     B．2    C．2     2D．1 2

3.B  提示：

且EG=1、FG=1，所以EF? 取BC的中點(diǎn)G，連接EG、FG，EG//SB,

FG//AC，SB⊥AC，故?EGF?90，?

４．已知正四面體ABCD的表面積為S，其四個(gè)面的中心分別為E、F、G、H，設(shè)四面體EFGH的表面積為T，則

A．T?（   ） S1411     B．       C．         D． 99434.A  提示：

長的如圖，EG?21MN?BD，即四面體EFGH的棱長是正四面體ABCD的棱3311，故其表面積之比為。 39

1A1B1，則多面體BC—PB1C1的體積為   （     ） 45.在棱長為4的正方體ABCD—A1B1C1D1中，P是A1B1上一點(diǎn)，且PB1?

A．816    B．    C．4   D．16 33

5.B 提示：多面體BC—PB1C1   ，即四棱錐P?BB1C1C，其體積為?1?16?1

316。 3

6.如下圖所示，已知棱長為a的正方體（左圖），沿陰影面將它切割成兩塊，拼成右圖所示的幾何體，那么拼成的幾何體的全面積為（    ）

A、

2?22a2     B、3?2a2     C、5?22a2     D、4?22a2 ????????

6.D 提示：切割拼合后，前后左右四個(gè)面的面積沒變，上下兩個(gè)面的面積是正方體的對角面的面積。

故拼成的幾何體的全面積為4?22a2。

7.已知圓錐的底面半徑為R，高為3R，在它的所有內(nèi)接圓柱中，全面積的最大值是（  ）

22Ａ．22?R  Ｂ．?R Ｃ．?R  Ｄ．?R ??9

428

3522

PO1x?，PO1?3x，3RR

322圓柱的高為3R?3x，所以圓柱的為S?2?x?2?x(3R?3x)??4?x?6?Rx，當(dāng)x?R時(shí)，S取最大值，4

9Smax??R2。 47.B  提示：組合體的軸截面如圖所示，由相似三角形的比例關(guān)系

8．半徑為R的球的內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面積（各側(cè)面面積之和）的最大值為

A．3R 2（    ） 2B．3R 2C．22R D．2R 2

8.A 提示： 如圖設(shè)球的內(nèi)接正三棱柱高的2x，則OO1?x，設(shè)球的內(nèi)接正三棱柱高的底面

A．若l//m，m//n，則l//n.     B．若l??，n//?，則l?n. Ｃ．若l?m，m//n，則l?n.    Ｄ．若l//?，n//?，則l//n. 11．D

12．已知平面?、?都垂直于平面?，且????a,????b.給出下列四個(gè)命題：  ①若a?b,則???；②若a//b,則?//?；③若???,則a?b；④若?//?,則a//b.     其中真命題的個(gè)數(shù)為   （    ）  A．4 B．3 C．2 D．1 12.A  提示：借助與正方體模型，不難發(fā)現(xiàn)4個(gè)命題都是真命題。選A。

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，請把答案直接填在題中橫線上.

13．已知ABCD是空間四邊形形，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，如果對角線AC＝4，BD＝2，那么EG2＋HF2的值等于     ．

13. 10  提示：易知四邊形EFGH是平行四邊形，EF=GH=2、EH=FG=1，在平行四邊形兩條對角線的平方和等于四個(gè)邊的平方和。故其和為10。 提示：．

14．如圖所示，平面M、N互相垂直，棱l上有兩點(diǎn)A、B， AC?M，BD?N，且AC⊥l，BD?l，AB＝8cm，AC＝6 cm，BD

＝24 cm，則CD＝

_________． 14. 26cm   提示： （一）（理科）

CD?CA?AB?BD?CD???26cm。

（二）補(bǔ)成一個(gè)長方體，不難發(fā)現(xiàn)CD是這個(gè)長方體的體對角線。 提示：．

15．現(xiàn)有正四面體ABCD，記此四面體能容納得下的最大球體半徑為R1，能容納得下此四面體的最小球體半徑為R2，則R1

R215.

1

提示：即正四面體的內(nèi)切球與外接球的問題。 3

16．已知在三棱柱

ABC?A1B1C

1中，底面為直角三角形，?ACB?90

,AC?6,BC?CC1

P是BC1上一動點(diǎn)，則CP?PA1的

最小值為_______________．

16. 提示：計(jì)算知AB1?BC1?2，又AC11?6，故?A1BC1是?A1BC1?90

的直角三角形。鋪平平面

A1BC

1、平面BCC1，如圖

AC?CP?PA1?AC1，在?AC1C中，由余弦定理1

故(CP?PA1)min?

三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟. 17．（ 12分）在長方體ABCD?A1B1C1D1中，已知DA?DC?4,DD1?3，求異面直線A1B與B1C所成角的余弦值．

17.法一：連接A1D，如圖

連接BD，在△A1DB中，A1B?A1D?5,

A1D//B1C,??BA1D為異面直線A1B與B1C所成的角.

BD?42，

A1B2?A1D2?BD225?25?329

則cos?

BA1D?.   ??

2?A1B?A1D2?5?525

9

.                 25

法二：（理科）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系. 如圖

異面直線A1B與B1C所成角的余弦值為

則

A1(4,0,3)、B(4,4,0)、B1(4,4,3)、C(0,4,0)

，  得

A1?(0,4,?3),B1?(?4,0,?3).

設(shè)A1B與B1C的夾角為?，則cos??

99

， ? A1B與B1C的夾角余弦值為，  即異面直線A1B與B1C2525

所成角的余弦值為

9

.   25

18.（理科）（１２分）三棱錐C?OAB的底面OAB是邊長為4的正三角形，CO?平面OAB且CO?2，設(shè)D、E分別是OA、AB的中點(diǎn)。

（I）求證：OB∥平面CDE；

（II）求二面角O?DE?C的余弦值． 18.解：

（I）證明：∵DE是?OAB的中位線， ∴DE∥OB， DE?平面CDE， OB?平面CDE，

∴OB∥平面CDE．

（II）以O(shè)為原點(diǎn)，OC為z軸正向，OB為y軸正向，在平面OAB內(nèi)作OF⊥y軸

并以O(shè)F為x

軸正向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）

則題意得:O?0,0,0?O,A2,0，B?0,4,0?，C?0,0,2?，D

設(shè)平面CDE的法向量為n??x,y,z?，DE??

0,2,0?，CD?

，E

．

2， 由n?

DE?0且n?

CD?0得

2y?0??

，令x?2得z?

n?．                                                      ?y?2z?0

取平面OAB的法向量OC??0,0,2?，

n?OC?????．  cosn,OC???7n?OC

∴二面角O?DE?C的余弦值是

．                                    7

另一種建立坐標(biāo)系的方法是。 18.（文科）（12分）已知四棱臺上，下底面對應(yīng)邊分別是a，b，試求其中截面把此棱臺側(cè)面分成的兩部分面積之比．

18.解：設(shè)A1B1C1D1是棱臺ABCD－A2B2C2D2的中截面，延長各側(cè)棱交于P點(diǎn).如圖

S?PBCa?ba2

∵BC=a，B2C2=b，∴B1C1=，∵BC∥B1C1，∴ a?b2S?PB1C1

()2

2

2

(a?b)

S?PBC． ∴S?PB1C1?2

4a

SB1C1CBS?PB1C1?S?PBCb2

同理S?PB2C2?2?S?PBC        ∴ ?

aSB2C2C1B1S?PB2C2?S?PB1C1(a?b)2

12b2?2ab?3a2(b?3a)(b?a)b?3a??2?2? 22

b(a?b)(3b?a)(b?a)3b?a3b?2ab?a?a24a2

SABB1A1SDCC1D1SADD1A1b?3a

同理： ???

SA1B1B2A1SD1C1C2D2SA1D1D2A13b?a

由等比定理，得

S上棱臺側(cè)S下棱臺側(cè)

＝

3a?b

a?3b

D直徑，AD與

19.（理科）（１２分）如圖所示，AF、DE分別是圓O、圓O1的兩圓所在的平面均垂直，AD?8.BC是圓O的直徑，AB?AC?6,OE//AD.

A

(I)求二面角B?AD?F的大小；

(II)求直線BD與EF所成的角的余弦值. 19.解：(Ⅰ)∵AD與兩圓所在的平面均垂直,

∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角，

依題意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝45.

即二面角B—AD—F的大小為45；

(Ⅱ)以O(shè)為原點(diǎn)，BC、AF、OE所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)則O（0，0，0），A（0，?2，0），B（32，0，0）,D（0，?32，F(xiàn)（0，32，0）

所以，BD?(?2,?2,8),FE?(0,?2,8)

F

系（如圖所示），8），E（0，0，8），

cos?BD,EF??

0?18?64??

10

設(shè)異面直線BD與EF所成角為?，

82 10

直線BD與EF所成的角為余弦值為．

10

則cos??|cos?,?|?

19.（文科）（12分）已知直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA1 ＝2，D 是A1B1 中點(diǎn)． （1）求證C1D ⊥平面A1B ；

（2）當(dāng)點(diǎn)F 在BB1 上什么位置時(shí)，會使得AB1

⊥平面C1DF ？并證明你的結(jié)論．

tan∠NFE=

=22，∴二面角N-CM-B余弦值是．

3EF

解法二：（理科）（Ⅰ）取AC中點(diǎn)O，連結(jié)OS、OB.∵ SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO.

∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC    ∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.

如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.則A（2，0，0）， B（0，23，0），C（-2，0，0），S（0，0，22）， M(1，3，0)，N(0，，2).∴=（-4，0，0），

，∵AC·SB=（-4，0，0）·（0，2，22）=0， SB=（0，2，22）∴AC⊥SB.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0），=（-1，0，2）. 設(shè)n=（x，y，z）為平面CMN的一個(gè)法向量，則

CM?n?3x?3y?0

x?2z?0

取z=1，則x=2，y=－6，∴=(2，－6，1)，

又=(0，0，22)為平面ABC的一個(gè)法向量， ∴cos(n，∴二面角N-CM-B的余弦值是

1

.

3

=

1. 3

21.（12分）如圖，已知四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP = AD = 1，AB = 2，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)． (I) 求證：AF//平面PEC；

(II) 求PC與平面ABCD所成角的正弦值； (III) （理科）求二面角P—EC—D的余弦值．

21.解：方法一：（文科） (I) 取PC的中點(diǎn)O，連結(jié)OF、OE．

FO//DC，且FO?

1

DC. ?FO//AE. 2

又∵E是AB的中點(diǎn)，且AB = DC，∴FO = AE． ∴四邊形AEOF是平行四邊形．∴AF//OE．

又OE ?平面PEC，AF ?平面PEC，∴AF//平面PEC．

(II) 連結(jié)AC．  ∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直線PC與平面ABCD所成的角．

PA1， ??.所以sin?PCA?6AC55

即直線PC與平面ABCD所成角的正弦值為

6

在RtΔPAC

中，tan?PCA

方法二：（理科）以A為原點(diǎn)，如圖建立直角坐標(biāo)系．如圖則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，1，0)，D(0，1，0)，F(xiàn)(0,(I) 取PC的中點(diǎn)O，連結(jié)OE．則O(1,

11

,)，E(1，0，0)，P(0，0，1)． 22

11???11

AF?(0,,),EO?(0,,)，

2222

11

,). 22

AF//EO.

又OE ? 平面PEC，AF ? 平面PEC，∴AF//平面PEC．  (II) 由題意可得?(2,1,?1)，

且PA?(0,0,?1)是平面ABCD的法向量，

cos?PA,PC??

6， 6

(III) 設(shè)m?(x,y,z)為平面PEC的法向量，PE?(1,0,?1),EC?(1,10).

x?z?0

,?m?PE?0,

則????? 可得? ?

x?y?0.???m?EC?0.

即直線PC與平面ABCD?

令

z = ? 1，則m= (? 1，1，? 1)．

PA?(0,0,?1)是平面ABCD的法向量，

m?PA?

cos?m,PA???

|m|?|PA|∴二面角P—EC—D的余弦值為

。  3

P

F

E

22.（14分）如圖

PDA＝45?，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)． （1）求證：EF∥平面PAD；

（2）求異面直線EF與CD所成的角；

D

BC

，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，AB＝2，

22.解法一：幾何法

（1） 證明：取PD的中點(diǎn)G,則FG=

11

CD且FG//CD,   E為AB中點(diǎn),在矩形ABCD中,有AE//CD且AE=CD   22

∴有AE//FG且AE=FG, ∴平行四邊形EFGA,

有EF//AG ,又EF?面PAD,AG?面PAD , ∴EF//面PAD

（2）在矩形ABCD中，CD⊥AD，由PA⊥面ABCD知，PA⊥CD ∵AD、PA?面PAD，∴CD?平面PAD． ∵AG?面PAD，∴CD⊥AG，

由（1）有EF//AG，∴EF⊥CD

（3）過D作DH⊥PC，H為垂足，

由PA⊥面ABCD知，在△PAD中，PA⊥CD，已知?PDA＝45?，

B

∴△PAD為等腰直角三角形，G為PD中點(diǎn)，∴AG⊥PD 由（1）知EF//AG，∴EF⊥PD，由（2）知EF⊥CD， CD、PD?面PCD，∴EF⊥面PCD，

DH?面PCD，∴EF⊥DH，又有DH⊥PC，PC、EF?面PEF，∴DH⊥面PEF， DH即為點(diǎn)D到面PEF的距離

AD=PA=3，PA=32，CD=AB=2，CD⊥PD，PC=PD2?CD2?在直角三角形PCD中，DH=

D

22

PD?CD32?26) ??

PC1122

解法二：（理科）坐標(biāo)法

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD，AP所在直線分別

為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．

∵PA⊥平面ABCD，?PDA＝45?，所以三角形PAD為等腰直角三角形， 可設(shè)B(b,0,0)，D(0,a,0)，P(0,0,a)，C(b,a,0) （1）∵E(,0,0)，F(xiàn)(,

baa

,) 222

aa1????1???EF?(0,,)?AD?AP

2222

b2

∴EF∥平面PAD

（2） ∵CD?(b,0,0)， ????????aa

∴EF?CD?(0,,)?(b,0,0)?0

22

EF?CD，異面直線EF與CD所成的角為90； （3） AD=PA=3，AB=2，∴a=3，b=2

E（1，0，0），F(xiàn)（1，3/2，3/2），EF=（0，3/2，3/2），PE?(1,0,?3)

過在作面PEF的法向量DH，設(shè)DH=（1，x，y），則   ?,?，∴??0,??0?(12分

)

1?x???3?11

(x?y)?03

即?2,解得?,=(1,?,)，

33?y?1?1?3?y?0??3?

點(diǎn)D到面PEF的距離

2?11?99

6． 11

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