直線與平面垂直；平面與平面垂直；線面成角、面面成角

二. 本周教學(xué)重、難點(diǎn)：

1. 掌握直線和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，了解三垂線定理及其逆定理，掌握兩個(gè)平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理。

2. 掌握直線與平面、平面與平面所成角的概念和作法，并會(huì)計(jì)算所求角的大小。

【典型例題】

[例1] 如圖所示，在棱長為的正方體中，E、F分別是棱AB和BC的中點(diǎn)，EF與BD交于點(diǎn)G。

（1）求二面角的大?。?/SPAN>

（2）M為棱上的一點(diǎn)，當(dāng)的值為多少時(shí)，能使平面EFB₁？請給出證明。

解：（1）在底面AC中    ∵ AC⊥BD，EF//AC

∴ BG⊥EF，連結(jié)B₁G   又 ∵ B₁B⊥底面AC    ∴ B₁G⊥EF

是二面角的平面角

∴ 二面角的正切值為

∴ 二面角的大小為

（2）當(dāng)時(shí)能使平面EFB₁

證明如下：面AB₁，知D₁M在面AB₁的射影是A₁M

∵     ∴

而     ∴

∴ ，因此   同理，

∴ 平面EFB₁

[例2] 如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，。求證：MN⊥CD，MN⊥平面PCD。

證明：連結(jié)AC、BD交于O，連結(jié)OM、ON、PM、MC

則NO//PA，又PA⊥平面ABCD

∴ NO⊥平面ABCD     ∴ NO⊥CD，又MO⊥CD

∴ CD⊥平面MON    ∴ CD⊥MN

在中，    ∴ PA=AD

又 ∵ AM=BM，PA⊥AM，BC⊥BM   ∴

∴ PM=MC    ∵ N為PC的中點(diǎn)    ∴ MN⊥PC

又    ∴ MN⊥平面PCD

[例3] 如圖所示，在平行四邊形ABCD中，已知AB=CD=，AD=BC=，，，將其沿對角線BD折成直二面角。

（1）證明AB⊥平面BCD；

（2）證明平面ACD⊥平面ABD；

（3）求二面角的大小。

解析：（1）證明：在中，由余弦定理，得

∴

∴

又 ∵ 二面角為直二面角，平面ABD，DB=平面平面BDC

∴ AB⊥平面BDC

（2）證明：∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，

∴ DC⊥BD   ∵ AB⊥平面BDC，AB平面ABD

∴ 平面ABD⊥平面BDC

又 ∵ BD=平面平面BDC，DC平面BDC，DC⊥平面ABD

又 ∵ DC平面ADC    ∴ 平面ADC⊥平面ABD

（3）作BQ⊥CE于Q，由平面幾何知識(shí)，得

連結(jié)AQ，由三垂線定理，AQ⊥CE    ∴ 是二面角的平面角

在中，

∴    即二面角的大小為

[例4] 如圖所示，ABCD是正四面體，E、F分別是BC和AD的中點(diǎn)，求：

（1）AE與CF所成的角；

（2）CF與平面BCD所成的角。

解：（1）如圖，連結(jié)DE，取ED的中點(diǎn)K，連結(jié)FK、CK

∵ F是AD的中點(diǎn)    

∴ AE//FK   則為異面直線AE與CF所成的角（或其補(bǔ)角）

設(shè)正四面體棱長為，則可得

在中，

∴在中，

∴ ，即異面直線AE和CF所成角為

（2）在正四面體ABCD中，∵ 各棱長都相等，E是BC的中點(diǎn)

∴ BC⊥AE，BC⊥DE    ∴ BC⊥面AED   ∴ 面ADE⊥面BCD，交線為DE

過A作AO⊥DE于O，則AO⊥面BCD

過F作FH⊥DE于H，則FH⊥面BCD，連結(jié)CH

∴ 為CF與面BCD所成的角

∵      ∴    

故CF與面BCD所成的角為

[例5] 在三棱錐中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分別交AC、SC于D、E，又SA=AB=，。

（1）求證：SC⊥平面BDE；

（2）求平面BDE與平面BDC所成二面角的大小。

解：（1）證明：∵ SA⊥平面ABC，AB、AC、BD平面ABC

∴ SA⊥AB、SA⊥AC、SA⊥BD    ∴

∵    ∴ SB=BC    ∵ E為SC的中點(diǎn)    ∴ BF⊥SC

又 DE⊥SC    ∴ SC⊥平面BDE

（2）由（1）的結(jié)論及平面BDE，得BD⊥SC，再由①得BD⊥平面SAC，而CD、DE平面SAC，∴ BD⊥CD、BD⊥DE

∴ 為平面BDE與平面BDC所成的二面角的平面角

由AB⊥BC，得

在中，

∴     ∴

[例6] 如圖所示，矩形ABCD中，PD⊥平面ABCD，若PB=2，PB與平面PCD所成的角為，PB與平面ABD成角。

（1）求CD的長；

（2）求PB與CD所成的角；

（3）求二面角的余弦值。

解：（1）∵ PD⊥平面ABCD   ∴ PD⊥BC  又 BC⊥DC   

∴ BC⊥平面PDC    ∴ 為PB與平面PCD所成的角，即

同理，即為PB與平面ABD所成的角

∴     在中，∵ PB=2   ∴ BC=PC=

在中，    ∴ PD=1，BD=

在中，    ∴ CD=1

（2）∵ AB//CD    ∴ PB與CD所成的角即為PB與AB所成的角，即為PB與AB所成的角。

∵ PD⊥平面ABCD，AD⊥AB    ∴ PA⊥AB

在中，AB=CD=1，PB=2   ∴

（3）由點(diǎn)C向BD作垂線，垂足為E，由點(diǎn)E向PB作垂線，垂足為F，連結(jié)CF

∵ PD⊥平面ABCD    ∴ PD⊥CE   又 CE⊥BD    ∴ CE⊥平面PBD

CF為平面PBD的斜線，由于EF⊥PB   ∴ PB⊥CF

∵ 為二面角的平面角

在中，，DC=1，BD=

∴ CE=

在中，    ∴

    ∴

∴ 二面角的余弦值為

[例7] 在長方體中，，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)。

（1）證明；

（2）AE等于何值時(shí)，二面角的大小為？

解：（1）證明：∵ AD=AA₁    ∴ 四邊形ADD₁A₁為正方形

故   又 為長方體

∴ AB⊥平面AA₁D₁D   又平面AA₁D₁D   ∴ AB⊥A₁D 

又平面    平面

∴ 平面AD₁B，又 平面   ∴

（2）過D作DH⊥CE于H，連結(jié)D₁H

由于D₁D⊥平面ABCD，EC平面ABCD    ∴

故平面，又 平面，則

∴ 為二面角的平面角

設(shè)，則   在中，∵    ∴ DH=1

∵ 在中，

∴ 在中，，在中，

在中，

∴

∴ AE時(shí)，二面角的大小為

【模擬試題】

一. 選擇題：

1. 在正方形中，E、F分別是、的中點(diǎn)，如圖所示，現(xiàn)沿著AE、AF、EF把這個(gè)正方形折成四面體，若三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為B，那么四面體AEFB中必有（    ）

A. AB⊥平面EFB                B. AD⊥平面EFB

C. BF⊥平面AEF                D. BD⊥平面AEF

2. 空間四邊形ABCD中，AC⊥BD，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則四邊形EFGH為（    ）

    A. 平行四邊形    B. 菱形    C. 矩形    D. 不能確定

3. 已知直線與平面滿足，那么必定有（    ）

A. 且                           B. 且

C. 且                           D. 且

4. 正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都是1，則側(cè)棱與底面所成的角為（    ）

A.     B.     C.     D.

5. 在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點(diǎn)，G、H、I分別為DE、FC、EF的中點(diǎn)，將沿DE、EF、DF折成三棱錐以后，BG與IH所成的角為（    ）

A.     B.     C.     D.

6. PA、PB、PC是從P點(diǎn)出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是（    ）

    A.     B.     C.     D.

7. 如圖P是二面角棱上的一點(diǎn)，分別在平面上引射線PM、PN，如果，，那么二面角的大小為（    ）

A.     B.     C.     D.

  8. 如圖，在正三棱柱中，已知AB=1，D在棱BB₁上，且BD=1，若AD與平面AA₁C₁C所成的角為，則等于（    ）

A.     B.     C.     D.

二. 解答題：

1. 在四面體中，PC⊥平面ABC，AB=BC=CA=PC，求二面角B—AP—C的大小。

2. 如圖甲，在直角梯形PDCB中，PD//CB，CD⊥PD，PD=6，BC=3，DC=，A是PD的中點(diǎn)，沿AB把平面PAB折起到乙圖平面PAB的位置，使二面角成角，設(shè)E、F分別為AB、PD的中點(diǎn)。

（1）求證：AF//平面PEC；

（2）求二面角的大小。

3. 如圖，四棱錐的底面是邊長為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=。

（1）求證：；

（2）求面ASD與面BSC所成二面角的大?。?/SPAN>

（3）設(shè)棱SA的中點(diǎn)為M，求異面直線DM與SB所成角的大小。

【試題答案】

一.

1. A

    解析：由⊥面BEF

2. C

    解析：根據(jù)三角形中位線定理可得四邊形EFGH為平行四邊形，又 ∵ AC⊥BD，∴ EF⊥FG，∴ 四邊形EFGH為矩形。

3. A

    解析：由已知，又，故選A。

4. C

解析：如圖，為側(cè)棱與底面所成的角，∵ ，PA=1，∴

5. A

解析：如圖，折成三棱錐后，A、B、C重合于B，∵ BE//IH，∴ 為BG與IH所成的角為

6. C

解析：過C作平面PAB的垂線，則垂足O在的平分線上，作OB⊥PB，OA⊥PA，由三垂線定理得CB⊥PB，CA⊥PA。

設(shè)PC=，則PA=PB=   在中，

∴

7. D

解析：不妨設(shè)PM=PN=，∵

∴     ∴ E、F兩點(diǎn)重合為C    ∵

MN=，且

∴ ，即二面角的平面角為

8. D

解析：本題考查直線與平面所成的角，如圖，E、O為B、D在平面A₁C上的射影，則即為所求。易知=

，AD=，則

二.

1. 解析：過點(diǎn)B作BE⊥AC于E，過E作EF⊥PA于F，連結(jié)BF

∵ PC⊥平面ABC    ∴ BE⊥平面PAC    ∴ BE⊥PA

∴ 就是二面角的平面角

設(shè)PC=1，則AB=BC=CA=PC=1    ∴ E為AC的中點(diǎn)

∴

∴ ，即

∴ 所求二面角的大小為

2. 解析：（1）證明：取PC的中點(diǎn)，連結(jié)FG、EG，則FG//CD，且

∵ AE//CD，且   ∴     

從而四邊形AEGF為平行四邊形     ∴ AF//EG   ∵ 平面PEC

∴ AF//平面PEC

（2）∵ CD⊥平面PAD   ∴ 平面PAD⊥平面ABCD

∵ PA=AD，   ∴     ∴ PA⊥平面ABCD

∴ PA⊥BC    ∵ BC⊥AB   ∴ BC⊥平面PAB    ∴ BC⊥PB

∴ 為二面角的平面角

在中，    ∴

∴ 二面角大小為

3. 解析：（1）證法一：如圖，∵ 底面ABCD是正方形，∴ BC⊥DC  

∵ SD⊥底面ABCD   

∴ DC是SC在平面ABCD上的射影，由三垂線定理得BC⊥SC

證法二：如圖所示

∵ 底面ABCD是正方形    ∴ BC⊥CD    ∵ SD⊥底面ABCD   ∴ SD⊥BC

又     ∴ 平面SDC    又 SC平面SDC    ∴ BC⊥SC

（2）方法一：∵ SD⊥底面ABCD，且ABCD為正方形

∴ 可以把四棱錐S—ABCD補(bǔ)形為長方體，如圖所示，面ASD與面BSC所成的二面角就是面與面所成的二面角

∵ SC⊥BC，BC//A₁S    ∴ SC⊥A₁S，又 SD⊥A₁S

∴ 為所求二面角的平面角

在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得SD=1

∴ ，即面ASD與面BSC所成的二面角為

方法二：如圖所示，過點(diǎn)S作直線，∴ 在面ASD上

∵ 底面ABCD為正方形   ∴    ∴ 在面BSC上

∴ 為面ASD與面BSC的交線    ∵ SD⊥AD，BC⊥SC

∴     ∴ 為面ASD與面BSC所成二面角的平面角（以下同方法一）

（3）如圖所示，取AB中點(diǎn)P，連結(jié)MP、DP

在中，由中位線定理得MP//SB    ∴ 是異面直線DM與SB所成的角

∵    又

∴ 在中，有    ∴

∴ 異面直線DM與SB所成的角為