2010年上海市中考數(shù)學(xué)試卷

　

一、選擇題（共6小題，每小題4分，滿分24分）

1．（2010·上海）下列實(shí)數(shù)中，是無理數(shù)的為（　　）

       A．3.14  B．      C．   D．

 

2．（2010·上海）在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)（k＜0）圖象的兩支分別在（　?。?/span>

       A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限

 

3．（2010·上海）已知一元二次方程x²+x﹣1=0，下列判斷正確的是（　?。?/span>

       A．該方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根 B．該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根     C．該方程無實(shí)數(shù)根     D．該方程根的情況不確定

 

4．（2010·上海）某市五月份連續(xù)五天的日最高氣溫分別為：23、20、20、21、26（單位：℃），這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（　?。?/span>

       A．22℃，26℃ B．22℃，20℃ C．21℃，26℃ D．21℃，20℃

 

5．（2010·上海）下列命題中，是真命題的為（　?。?/span>

       A．銳角三角形都相似 B．直角三角形都相似 C．等腰三角形都相似 D．等邊三角形都相似

 

6．（2010·上海）已知圓O₁、圓O₂的半徑不相等，圓O₁的半徑長為3，若圓O₂上的點(diǎn)A滿足AO₁=3，則圓O₁與圓O₂的位置關(guān)系是（　?。?/span>

       A．相交或相切     B．相切或相離     C．相交或內(nèi)含     D．相切或內(nèi)含

 

二、填空題（共12小題，每小題4分，滿分48分）

7．（2010·上海）計算：a³÷a·=　_________　．

 

8．（2010·上海）計算：（x+1）（x﹣1）=　_________　．

 

9．（2010·上海）分解因式：a²﹣ab=　_________　．

 

10．（2010·上海）不等式3x﹣2＞0的解集是　_________　．

 

11．（2010·上海）方程=x的根是　_________　．

 

12．（2010·上海）已知函數(shù)f（x）=，那么f（﹣1）=　_________　．

 

13．（2010·上海）將直線y=2x﹣4向上平移5個單位后，所得直線的表達(dá)式是　_________　．

 

14．（2010·上海）若將分別寫有“生活”、“城市”的2張卡片，隨機(jī)放入“讓更美好”中的兩個內(nèi)（每個只放1張卡片），則其中的文字恰好組成“城市讓生活更美好”的概率是　_________　．

 

15．（2010·上海）如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O設(shè)向量=，=，則向量=　_________　．（結(jié)果用、表示）

 

16．（2010·上海）如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，滿足∠ACD=∠ABC，若AC=2，AD=1，則DB=　_________　．

 

17．（2010·上海）一輛汽車在行駛過程中，路程y（千米）與時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示當(dāng)時

0≤x≤1，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=60x，那么當(dāng)1≤x≤2時，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為　_________　．

 

18．（2010·上海）已知正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，DE=2，EC=1（如圖所示）把線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在直線BC上的點(diǎn)F處，則F、C兩點(diǎn)的距離為　_________　．

 

三、解答題（共7小題，滿分78分）

19．（2010·上海）計算：．

 

20．（2010·上海）解方程：．

 

21．（2010·上海）機(jī)器人“海寶”在某圓形區(qū)域表演“按指令行走”，如圖所示，“海寶”從圓心O出發(fā)，先沿北偏西67.4°方向行走13米至點(diǎn)A處，再沿正南方向行走14米至點(diǎn)B處，最后沿正東方向行走至點(diǎn)C處，點(diǎn)B、C都在圓O上．

（1）求弦BC的長；（2）求圓O的半徑長．

（本題參考數(shù)據(jù)：sin67.4°=，cos67.4°=，tan67.4°=）

 

22．（2010·上海）某環(huán)保小組為了解世博園的游客在園區(qū)內(nèi)購買瓶裝飲料數(shù)量的情況，一天，他們分別在A、B、C三個出口處，對離開園區(qū)的游客進(jìn)行調(diào)查，其中在A出口調(diào)查所得的數(shù)據(jù)整理后繪成圖．

（1）在A出口的被調(diào)查游客中，購買2瓶及2瓶以上飲料的游客人數(shù)占A出口的被調(diào)查游客人數(shù)的　_________　%．

（2）試問A出口的被調(diào)查游客在園區(qū)內(nèi)人均購買了多少瓶飲料？

（3）已知B、C兩個出口的被調(diào)查游客在園區(qū)內(nèi)人均購買飲料的數(shù)量如表所示．若C出口的被調(diào)查人數(shù)比B出口的被調(diào)查人數(shù)多2萬，且B、C兩個出口的被調(diào)查游客在園區(qū)內(nèi)共購買了49萬瓶飲料，試問B出口的被調(diào)查游客人數(shù)為多少萬？

出 口	B	C
人均購買飲料數(shù)量（瓶）	3	2

 

 

23．（2010·上海）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD（如圖所示），∠BAD的平分線AE交BC于點(diǎn)E，連接DE．

（1）在圖中，用尺規(guī)作∠BAD的平分線AE（保留作圖痕跡，不寫作法），并證明四邊形ABED是菱形；

（2）∠ABC=60°，EC=2BE，求證：ED⊥DC．

 

24．（2010·上海）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系xOy，拋物線y=﹣x²+bx+c過點(diǎn)A（4，0）、B（1，3）．

（1）求該拋物線的表達(dá)式，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）記該拋物線的對稱軸為直線l，設(shè)拋物線上的點(diǎn)P（m，n）在第四象限，點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為E，點(diǎn)E關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為F，若四邊形OAPF的面積為20，求m、n的值．

 

25．（2010·上海）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．半徑為1的圓A與邊AB相交于點(diǎn)D，與邊AC相交于點(diǎn)E，連接DE并延長，與線段BC的延長線交于點(diǎn)P．

（1）當(dāng)∠B=30°時，連接AP，若△AEP與△BDP相似，求CE的長；

（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；

（3）若tan∠BPD=，設(shè)CE=x，△ABC的周長為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

 

 

2010年上海市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

　

一、選擇題（共6小題，每小題4分，滿分24分）

1．（2010·上海）下列實(shí)數(shù)中，是無理數(shù)的為（　?。?/span>

       A．3.14  B．      C．   D．

考點(diǎn)：無理數(shù)。

專題：應(yīng)用題。

分析：A、B、C、D根據(jù)無理數(shù)的概念“無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，其中有開方開不盡的數(shù)”即可判定選擇項．

解答：解：A、B、D中3.14，，=3是有理數(shù)，C中是無理數(shù)．

故選C．

點(diǎn)評：此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中：

（1）有理數(shù)都可以化為小數(shù)，其中整數(shù)可以看作小數(shù)點(diǎn)后面是零的小數(shù)，例如5=5.0；分?jǐn)?shù)都可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)．

（2）無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，其中有開方開不盡的數(shù)．

（3）有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)，也就是說，一切有理數(shù)都可以用分?jǐn)?shù)來表示；而無限不環(huán)小數(shù)不能化為分?jǐn)?shù)，它是無理數(shù)．

 

2．（2010·上海）在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)（k＜0）圖象的兩支分別在（　?。?/span>

       A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限

考點(diǎn)：反比例函數(shù)的性質(zhì)。

分析：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)作答．

解答：解：∵反比例函數(shù)（k＜0），

∴圖象的兩支分別在第二、四象限．

故選B．

點(diǎn)評：反比例函數(shù)（k≠0）的圖象是雙曲線．

（1）k＞0時，圖象是位于一、三象限，在每個象限的雙曲線內(nèi)，y隨x的增大而減?。?/span>

（2）k＜0時，圖象是位于二、四象限，在每個象限的雙曲線內(nèi)，y隨x的增大而增大．

 

3．（2010·上海）已知一元二次方程x²+x﹣1=0，下列判斷正確的是（　?。?/span>

       A．該方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根 B．該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根     C．該方程無實(shí)數(shù)根     D．該方程根的情況不確定

考點(diǎn)：根的判別式。

分析：判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式△=b²﹣4ac的值的符號就可以了．

解答：解：∵a=1，b=1，c=﹣1，

∴△=b²﹣4ac=1²﹣4×1×（﹣1）=5＞0，

∴方程有兩個不相等實(shí)數(shù)根．故選B．

點(diǎn)評：總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：

（1）△＞0?方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）△=0?方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；

（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．

 

4．（2010·上海）某市五月份連續(xù)五天的日最高氣溫分別為：23、20、20、21、26（單位：℃），這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（　?。?/span>

       A．22℃，26℃ B．22℃，20℃ C．21℃，26℃ D．21℃，20℃

考點(diǎn)：中位數(shù)；眾數(shù)。

分析：首先把所給數(shù)據(jù)按照由小到大的順序排序，然后利用中位數(shù)和眾數(shù)定義即可求出．

解答：解：把所給數(shù)據(jù)按照由小到大的順序排序后為20、20、21、23、26，

∴中位數(shù)為21，眾數(shù)為20．

故選D．

點(diǎn)評：此題考查了中位數(shù)、眾數(shù)的求法：

①給定n個數(shù)據(jù)，按從小到大排序，如果n為奇數(shù)，位于中間的那個數(shù)就是中位數(shù)；如果n為偶數(shù)，位于中間兩個數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù)．任何一組數(shù)據(jù)，都一定存在中位數(shù)的，但中位數(shù)不一定是這組數(shù)據(jù)里的數(shù)．

②給定一組數(shù)據(jù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)，稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．一組數(shù)據(jù)是不一定存在眾數(shù)的；如果一組數(shù)據(jù)存在眾數(shù)，則眾數(shù)一定是數(shù)據(jù)集里的數(shù)．

 

5．（2010·上海）下列命題中，是真命題的為（　?。?/span>

       A．銳角三角形都相似 B．直角三角形都相似 C．等腰三角形都相似 D．等邊三角形都相似

考點(diǎn)：相似三角形的判定。

專題：常規(guī)題型。

分析：可根據(jù)相似三角形的判定方法進(jìn)行解答．

解答：解：A、銳角三角形的三個內(nèi)角都小于90°，但不一定都對應(yīng)相等，故A錯誤；

B、直角三角形的直角對應(yīng)相等，但兩組銳角不一定對應(yīng)相等，故B錯誤；

C、等腰三角形的頂角和底角不一定對應(yīng)相等，故C錯誤；

D、所有的等邊三角形三個內(nèi)角都對應(yīng)相等（都是60°），所以它們都相似，故D正確；

故選D．

點(diǎn)評：此題考查的是相似三角形的判定方法．需注意的是絕對相似的三角形大致有三種：

①全等三角形；②等腰直角三角形；③等邊三角形．

 

6．（2010·上海）已知圓O₁、圓O₂的半徑不相等，圓O₁的半徑長為3，若圓O₂上的點(diǎn)A滿足AO₁=3，則圓O₁與圓O₂的位置關(guān)系是（　　）

       A．相交或相切     B．相切或相離     C．相交或內(nèi)含     D．相切或內(nèi)含

考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系。

分析：根據(jù)圓與圓的五種位置關(guān)系，分類討論．

解答：解：當(dāng)兩圓外切時，切點(diǎn)A能滿足AO₁=3，當(dāng)兩圓相交時，交點(diǎn)A能滿足AO₁=3，

當(dāng)兩圓內(nèi)切時，切點(diǎn)A能滿足AO₁=3，

所以，兩圓相交或相切．故選A．

點(diǎn)評：本題考查了由數(shù)量關(guān)系來判斷兩圓位置關(guān)系的方法．

 

二、填空題（共12小題，每小題4分，滿分48分）

7．（2010·上海）計算：a³÷a·=　a　．

考點(diǎn)：整式的混合運(yùn)算。

分析：根據(jù)同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變指數(shù)相減計算即可．

解答：解：a³÷a·=a^3﹣1·=a²·=a．

點(diǎn)評：本題主要考查的是同底數(shù)冪的除法運(yùn)算，要按照從左到右的順序依次進(jìn)行運(yùn)算．

 

8．（2010·上海）計算：（x+1）（x﹣1）=　x²﹣1　．

考點(diǎn)：平方差公式。

分析：根據(jù)平方差公式計算即可．平方差公式：（a+b）（a﹣b）=a²﹣b²．

解答：解：（x+1）（x﹣1）=x²﹣1．

點(diǎn)評：本題主要考查平方差公式，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．

 

9．（2010·上海）分解因式：a²﹣ab=　a（a﹣b）　．

考點(diǎn)：因式分解-提公因式法。

專題：計算題。

分析：直接把公因式a提出來即可．

解答：解：a²﹣ab=a（a﹣b）．

點(diǎn)評：本題主要考查提公因式法分解因式，準(zhǔn)確找出公因式是a是解題的關(guān)鍵．

 

10．（2010·上海）不等式3x﹣2＞0的解集是　x＞　．

考點(diǎn)：解一元一次不等式。

分析：先移項，再不等式兩邊同除以3．

解答：解：移項，得3x＞2，

兩邊同除以3，得x＞．

點(diǎn)評：注意移項要變號．

 

11．（2010·上海）方程=x的根是　x=3　．

考點(diǎn)：無理方程。

分析：把方程兩邊平方去根號后求解．

解答：解：由題意得：x＞0

兩邊平方得：x+6=x²，

解之得x=3或x=﹣2（不合題意舍去）．

點(diǎn)評：在解無理方程是最常用的方法是兩邊平方法及換元法，本題用了平方法．

 

12．（2010·上海）已知函數(shù)f（x）=，那么f（﹣1）=　　．

考點(diǎn)：函數(shù)值。

專題：計算題。

分析：將x=﹣1代入函數(shù)f（x）=，即可求得f（﹣1）的值．

解答：解：∵f（x）=，

∴當(dāng)x=﹣1時，f（﹣1）==

點(diǎn)評：本題比較容易，考查求函數(shù)值．

（1）當(dāng)已知函數(shù)解析式時，求函數(shù)值就是求代數(shù)式的值；

（2）函數(shù)值是唯一的，而對應(yīng)的自變量可以是多個．

 

13．（2010·上海）將直線y=2x﹣4向上平移5個單位后，所得直線的表達(dá)式是　y=2x+1　．

考點(diǎn)：一次函數(shù)圖象與幾何變換。

分析：根據(jù)平移的性質(zhì)，向上平移幾個單位b的值就加幾．

解答：解：由題意得：向上平移5個單位后的解析式為：y=2x﹣4+5=2x+1．

故填：y=2x+1．

點(diǎn)評：本題是關(guān)于一次函數(shù)的圖象與它平移后圖象的轉(zhuǎn)變的題目，要熟練掌握平移的性質(zhì)．

 

14．（2010·上海）若將分別寫有“生活”、“城市”的2張卡片，隨機(jī)放入“讓更美好”中的兩個內(nèi)（每個只放1張卡片），則其中的文字恰好組成“城市讓生活更美好”的概率是　　．

考點(diǎn)：概率公式。

分析：讓組成“城市讓生活更美好”的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率．

解答：解：∵將分別寫有“生活”、“城市”的2張卡片，隨機(jī)放入兩個框中，只有兩種情況，

恰好組成“城市讓生活更美好”的情況只有一種，

∴其概率是：．

點(diǎn)評：明確概率的意義是解答的關(guān)鍵，用到的知識點(diǎn)為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．

 

15．（2010·上海）如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O設(shè)向量=，=，則向量=　　．（結(jié)果用、表示）

考點(diǎn)：*平面向量；平行四邊形的性質(zhì)。

分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可知==，O是AC的中點(diǎn)．再根據(jù)中點(diǎn)距離公式求解即可．

解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴==，O是AC的中點(diǎn)．

∵=，

∴=．

故答案為：．

點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和中點(diǎn)距離公式，是基礎(chǔ)題型，比較簡單．

 

16．（2010·上海）如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，滿足∠ACD=∠ABC，若AC=2，AD=1，則DB=　3　．

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)。

分析：由題意，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，滿足∠ACD=∠ABC，可證△ABC∽△ACD，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例來解答．

解答：解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，

∴△ABC∽△ACD，

∴，

∵AC=2，AD=1，

∴，

解得DB=3．

點(diǎn)評：本題主要考查相似三角形的性質(zhì)及對應(yīng)邊長成比例，難點(diǎn)在于找對應(yīng)邊．

 

17．（2010·上海）一輛汽車在行駛過程中，路程y（千米）與時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示當(dāng)時

0≤x≤1，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=60x，那么當(dāng)1≤x≤2時，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為　y=100x﹣40　．

考點(diǎn)：一次函數(shù)的應(yīng)用。

專題：綜合題。

分析：由圖象可知在前一個小時的函數(shù)圖象可以讀出一個坐標(biāo)點(diǎn)，再和另一個坐標(biāo)點(diǎn)就可以寫出函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：∵當(dāng)時0≤x≤1，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=60x，

∴當(dāng)x=1時，y=60．

又∵當(dāng)x=2時，y=160，

當(dāng)1≤x≤2時，

由兩點(diǎn)式可以得y關(guān)于x的函數(shù)解析式y=100x﹣40．

點(diǎn)評：本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)和圖象問題，能夠根據(jù)函數(shù)解析式求得對應(yīng)的y的值．

 

18．（2010·上海）已知正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，DE=2，EC=1（如圖所示）把線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在直線BC上的點(diǎn)F處，則F、C兩點(diǎn)的距離為　1或5　．

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)。

分析：題目里只說“旋轉(zhuǎn)”，并沒有說順時針還是逆時針，而且說的是“直線BC上的點(diǎn)”，所以有兩種情況，即一個是逆時針旋轉(zhuǎn)，一個順時針旋轉(zhuǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知．

解答：解：順時針旋轉(zhuǎn)得到F₁點(diǎn)，

∵AE=AF₁，AD=AB，∠D=∠ABC=90°，

∴△ADE≌△ABF₁，

∴F₁C=1；

逆時針旋轉(zhuǎn)得到F₂點(diǎn)，同理可得△ABF₂≌△ADE，

∴F₂B=DE=2，

F₂C=F₂B+BC=5．

點(diǎn)評：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．

 

三、解答題（共7小題，滿分78分）

19．（2010·上海）計算：．

考點(diǎn)：二次根式的混合運(yùn)算；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪。

分析：本題涉及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、乘方、二次根式化簡四個考點(diǎn)．在計算時，需要針對每個考點(diǎn)分別進(jìn)行計算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計算結(jié)果．

解答：原式=3+4﹣2﹣2+

=5﹣2+2﹣2

=3．

點(diǎn)評：本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、二次根式、絕對值等考點(diǎn)的運(yùn)算．

 

20．（2010·上海）解方程：．

考點(diǎn)：解分式方程。

專題：計算題。

分析：觀察可得x²﹣1=（x+1）（x﹣1），所以方程最簡公分母為（x+1）（x﹣1），方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．

解答：解：方程兩邊都乘以x²﹣1，

得：x（x+1）﹣2=x²﹣1，

去括號得x²+x﹣2=x²﹣1，

移項合并得x=1．

檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時，方程的分母等于0，所以原方程無解．

點(diǎn)評：解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解；解分式方程一定注意要驗(yàn)根．

 

21．（2010·上海）機(jī)器人“海寶”在某圓形區(qū)域表演“按指令行走”，如圖所示，“海寶”從圓心O出發(fā)，先沿北偏西67.4°方向行走13米至點(diǎn)A處，再沿正南方向行走14米至點(diǎn)B處，最后沿正東方向行走至點(diǎn)C處，點(diǎn)B、C都在圓O上．

（1）求弦BC的長；（2）求圓O的半徑長．

（本題參考數(shù)據(jù)：sin67.4°=，cos67.4°=，tan67.4°=）

考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題；勾股定理；垂徑定理。

分析：（1）過O作OD⊥AB于D，則∠AOB=90°﹣67.4°=22.6°．在Rt△AOD中，利用∠AOB的三角函數(shù)值即可求出OD，AD的長；

（2）求出BD的長，根據(jù)勾股定理即可求出BO的長．

解答：解：（1）連接OB，過點(diǎn)O作OD⊥AB，

∵AB∥SN，∠AON=67.4°，

∴∠A=67.4°．

∴OD=AO·sin 67.4°=13×=12．

又∵BE=OD，

∴BE=12．

根據(jù)垂徑定理，BC=2×12=24（米）．

 

（2）∵AD=AO·cos 67.4°=13×=5，

∴OD==12，

BD=AB﹣AD=14﹣5=9．

∴BO==15．

故圓O的半徑長15米．

點(diǎn)評：（1）將解直角三角形和勾股定理的應(yīng)用相結(jié)合，求出BE，再根據(jù)垂徑定理求出BC的長即可，有一定的綜合性；

（2）利用（1）的結(jié)論，再根據(jù)勾股定理，即可求出半徑．

 

22．（2010·上海）某環(huán)保小組為了解世博園的游客在園區(qū)內(nèi)購買瓶裝飲料數(shù)量的情況，一天，他們分別在A、B、C三個出口處，對離開園區(qū)的游客進(jìn)行調(diào)查，其中在A出口調(diào)查所得的數(shù)據(jù)整理后繪成圖．

（1）在A出口的被調(diào)查游客中，購買2瓶及2瓶以上飲料的游客人數(shù)占A出口的被調(diào)查游客人數(shù)的　60　%．

（2）試問A出口的被調(diào)查游客在園區(qū)內(nèi)人均購買了多少瓶飲料？

（3）已知B、C兩個出口的被調(diào)查游客在園區(qū)內(nèi)人均購買飲料的數(shù)量如表所示．若C出口的被調(diào)查人數(shù)比B出口的被調(diào)查人數(shù)多2萬，且B、C兩個出口的被調(diào)查游客在園區(qū)內(nèi)共購買了49萬瓶飲料，試問B出口的被調(diào)查游客人數(shù)為多少萬？

出 口	B	C
人均購買飲料數(shù)量（瓶）	3	2

 

考點(diǎn)：加權(quán)平均數(shù)；一元一次方程的應(yīng)用；條形統(tǒng)計圖。

專題：工程問題。

分析：（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖即可求得總?cè)藬?shù)和購買2瓶及2瓶以上的人數(shù)，從而求得購買2瓶及2瓶以上所占的百分比；

（2）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)進(jìn)行計算；

（3）設(shè)B出口人數(shù)為x萬人，則C出口人數(shù)為（x+2）萬人．

根據(jù)B、C兩個出口的被調(diào)查游客在園區(qū)內(nèi)共購買了49萬瓶飲料，列方程求解．

解答：解：（1）由圖可知，購買2瓶及2瓶以上飲料的游客人數(shù)為2.5+2+1.5=6（萬人），

而總?cè)藬?shù)為：1+3+2.5+2+1.5=10（萬人），

所以購買2瓶及2瓶以上飲料的游客人數(shù)占A出口的被調(diào)查游客人數(shù)的．

 

（2）購買飲料總數(shù)位：3×1+2.5×2+2×3+1.5×4=3+5+6+6=20（萬瓶）．

人均購買=．

 

（3）設(shè)B出口人數(shù)為x萬人，則C出口人數(shù)為（x+2）萬人．

則有3x+2（x+2）=49，

解之得x=9．

所以B出口游客人數(shù)為9萬人．

點(diǎn)評：本題考查的是條形統(tǒng)計圖的運(yùn)用．讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)．

 

23．（2010·上海）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD（如圖所示），∠BAD的平分線AE交BC于點(diǎn)E，連接DE．

（1）在圖中，用尺規(guī)作∠BAD的平分線AE（保留作圖痕跡，不寫作法），并證明四邊形ABED是菱形；

（2）∠ABC=60°，EC=2BE，求證：ED⊥DC．

考點(diǎn)：菱形的判定；勾股定理；梯形。

專題：作圖題。

分析：（1）分別以點(diǎn)B、D為圓心，以大于AB的長度為半徑，分別作弧，且兩弧交于一點(diǎn)P，連接AP，則AP即為∠BAD的平分線，且AP交BC于點(diǎn)E；

可通過證△BOE≌△BOA，得AO=OE，則AD與BE平行且相等，由此證得四邊形ABED是平行四邊形，而AB=AD，根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可證得所求的結(jié)論；

（2）已知了EC、BE的比例關(guān)系，可用未知數(shù)表示出BE、EC的長；過D作DF⊥BC于F，在Rt△DEF中，易知∠DEF=∠ABC=60°，可用DE（即BE）的長表示出EF、DF，進(jìn)而表示出FC的長；在Rt△CFD中，根據(jù)DF、CF的長，可由勾股定理求出CD的長，進(jìn)而可根據(jù)DE、EC、CD的長由勾股定理證得DE⊥DC．

解答：（1）解：作圖如圖．

證明：∵AB=AD，

∴△ABO≌△ADO，

∴BO=OD，

∵AD∥BC，

∴∠OBE=∠ODA，∠OAD=∠OEB，

∴△BOE≌△DOA，

∴BE=AD（平行且相等），

∴四邊形ABED為平行四邊形，另AB=AD，

∴四邊形ABED為菱形；

 

（2）證明：設(shè)DE=2a，則CE=4a，過點(diǎn)D作DF⊥BC，

∵∠ABC=60°，∴∠DEF=60°，

∴∠EDF=30°，∴EF=DE=a，

則DF=，CF=CE﹣EF=4a﹣a=3a，

∴，

∴DE=2a，EC=4a，CD=，構(gòu)成一組勾股數(shù)，

∴△EDC為直角三角形，則ED⊥DC．

點(diǎn)評：此題主要考查了梯形的性質(zhì)、尺規(guī)作圖﹣角平分線的作法、菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識．

 

24．（2010·上海）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系xOy，拋物線y=﹣x²+bx+c過點(diǎn)A（4，0）、B（1，3）．

（1）求該拋物線的表達(dá)式，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）記該拋物線的對稱軸為直線l，設(shè)拋物線上的點(diǎn)P（m，n）在第四象限，點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為E，點(diǎn)E關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為F，若四邊形OAPF的面積為20，求m、n的值．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。

專題：綜合題。

分析：（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值；將所求得的二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，即可得到其對稱軸方程及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）首先根據(jù)拋物線的對稱軸方程求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得到F點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可求出PF的長，即可判斷出四邊形OAPF的形狀，然后根據(jù)其面積求出n的值，再代入拋物線的解析式中即可求出m的值．

解答：解：（1）將A（4，0）、B（1，3）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的方程得：，

解之得：b=4，c=0；

所以拋物線的表達(dá)式為：y=﹣x²+4x，

將拋物線的表達(dá)式配方得：y=﹣x²+4x=﹣（x﹣2）²+4，

所以對稱軸直線為直線x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）；

 

（2）點(diǎn)P（m，n）關(guān)于直線x=2的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)E（4﹣m，n），

則點(diǎn)E關(guān)于y軸對稱點(diǎn)為點(diǎn)F坐標(biāo)為（m﹣4，n），

則FP=OA=4，即FP、OA平行且相等，

所以四邊形OAPF是平行四邊形；

S=OA·|n|=20，即|n|=5；

因?yàn)辄c(diǎn)P為第四象限的點(diǎn)，

所以n＜0，

所以n=﹣5；

代入拋物線方程得m=﹣1（舍去）或m=5，

故m=5，n=﹣5．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、軸對稱的性質(zhì)以及圖形面積的求法，難度適中．

 

25．（2010·上海）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．半徑為1的圓A與邊AB相交于點(diǎn)D，與邊AC相交于點(diǎn)E，連接DE并延長，與線段BC的延長線交于點(diǎn)P．

（1）當(dāng)∠B=30°時，連接AP，若△AEP與△BDP相似，求CE的長；

（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；

（3）若tan∠BPD=，設(shè)CE=x，△ABC的周長為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；解直角三角形。

專題：幾何綜合題；壓軸題。

分析：（1）當(dāng)∠B=30°時，∠A=60°，此時△ADE是等邊三角形，則∠PEC=∠AED=60°，由此可證得∠P=∠B=30°；若△AEP與△BDP相似，那么∠EAP=∠EPA=∠B=∠P=30°，此時EP=EA=1，即可在Rt△PEC中求得CE的長；

（2）若BD=BC，可在Rt△ABC中，由勾股定理求得BD、BC的長；過C作CF∥DP交AB于F，易證得△ADE∽△AFC，根據(jù)得到的比例線段可求出DF的長；進(jìn)而可通過證△BCF∽△BPD，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得BP、BC的比例關(guān)系，進(jìn)而求出BP、CP的長；在Rt△CEP中，根據(jù)求得的CP的長及已知的CE的長即可得到∠BPD的正切值；

（3）過點(diǎn)D作DQ⊥AC于Q，可用未知數(shù)表示出QE的長，根據(jù)∠BPD（即∠EDQ）的正切值即可求出DQ的長；在Rt△ADQ中，可用QE表示出AQ的長，由勾股定理即可求得EQ、DQ、AQ的長；易證得△ADQ∽△ABC，根據(jù)得到的比例線段可求出BD、BC的表達(dá)式，進(jìn)而可根據(jù)三角形周長的計算方法得到y、x的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=90°，

∴∠BAC=60°．

∵AD=AE，

∴∠AED=60°=∠CEP，

∴∠EPC=30°．

∴△BDP為等腰三角形．

∵△AEP與△BDP相似，

∴∠EPA=∠DPB=30°，

∴AE=EP=1．

∴在Rt△ECP中，EC=EP=；

 

（2）設(shè)BD=BC=x．

在Rt△ABC中，由勾股定理，得：

（x+1）²=x²+（2+1）²，

解之得x=4，即BC=4．

過點(diǎn)C作CF∥DP．

∴△ADE與△AFC相似，

∴，即AF=AC，即DF=EC=2，

∴BF=DF=2．

∵△BFC與△BDP相似，

∴，即：BC=CP=4．

∴tan∠BPD=．

 

（3）過D點(diǎn)作DQ⊥AC于點(diǎn)Q．

則△DQE與△PCE相似，設(shè)AQ=a，則QE=1﹣a．

∴且，

∴DQ=3（1﹣a）．

∵在Rt△ADQ中，據(jù)勾股定理得：AD²=AQ²+DQ²

即：1²=a²+[3（1﹣a）]²，

解之得．

∵△ADQ與△ABC相似，

∴．

∴．

∴△ABC的周長，

即：y=3+3x，其中x＞0．

點(diǎn)評：此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識的綜合應(yīng)用能力，難度較大．