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前期內(nèi)容： 各位讀者，您好。新一期的《每周一道中考?jí)狠S題》又和大家見面了，請(qǐng)看例題。 【例題】
【逐步分析】 （1）求拋物線的表達(dá)式，根據(jù)已知，我們可以看出，如果知道點(diǎn)C就可以求出拋物線的常數(shù)項(xiàng)c，這樣就剩下二次項(xiàng)的系數(shù)是未知的，可以通過待定系數(shù)法或者一元二次方程的根的性質(zhì)來求。而想要求出點(diǎn)C需要知道直線BC的表達(dá)式，所以首先要先求出直線表達(dá)式中的常數(shù)項(xiàng)m，m可以通過將點(diǎn)B(-5,-4)帶入直線BC的表達(dá)式中即可求得，這里還需要將特殊點(diǎn)A的坐標(biāo)求出，為后續(xù)問題做準(zhǔn)備。 解題步驟：待定系數(shù)法求直線表達(dá)式→求出點(diǎn)C、D坐標(biāo)→待定系數(shù)法求拋物線表達(dá)式→求點(diǎn)A為后續(xù)問題準(zhǔn)備。 （2）判斷△ABC的形狀，從圖中觀察我們發(fā)現(xiàn)△ABC很可能是直角三角形，而判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，我們可以通過定義或者勾股定理的逆定理來解決。此問可以通過三種方法來證明： ①勾股定理的逆定理：由于我們已經(jīng)知道點(diǎn)A、B、C，的坐標(biāo)因此可以分別求出三邊的長(zhǎng)度，由AB2＋AC2＝BC2可證△ABC為直角三角形； ②可以直接證明∠BAC＝90°這個(gè)可以通過幾何方法，如圖：
通過做BE∥x軸，證明△ABC≌△EBC，得出∠BAC＝90° ③可以證明AB⊥AC來得出△ABC是直角三角形，這個(gè)方法有點(diǎn)偏向于高中解析幾何的手法，初中階段介紹過兩條直線垂直，這兩條直線的關(guān)系式中的x系數(shù)的乘積為“-1”，這種思維是高中階段的解析幾何基礎(chǔ)入門知識(shí)，我建議有能力同學(xué)提前掌握一下。 此問沒有什么難度，講了這么多種方法的目的：一是要明白幾何證明題中，我光把知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行分類掌握是基礎(chǔ)，怎么去運(yùn)用和什么時(shí)候去運(yùn)用才是關(guān)鍵；二是，多個(gè)問的解答題，要選一個(gè)對(duì)后面問題有鋪墊作用的方法去解題，這樣做下一個(gè)問的時(shí)候可以省去一部分的論述，節(jié)省答題時(shí)間。 解題步驟：（此問推薦方法①）觀察圖中△ABC可能的形狀→先求出AB、AC、BC的長(zhǎng)度→通過勾股定理的逆定理來證明△ABC的形狀。 （3）已知tan∠ECA＝1/2，求點(diǎn)E的坐標(biāo)，這里我們要知道求拋物線上一點(diǎn)要么知道這個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)中的一個(gè)，要么知道這個(gè)點(diǎn)是拋物線和某直線的交點(diǎn)來求。通過tan∠ECA＝1/2，可以看出∠ECA不是特殊角，因此通過幾何方法來求它的橫縱坐標(biāo)的可能性很小，所以要通過交點(diǎn)來求，求交點(diǎn)要先知道直線CE的直線函數(shù)。如果上一問，使用勾股定理可以發(fā)現(xiàn)tan∠BCA＝1/2，因此∠ECA＝∠BCA，如圖：
以AC為對(duì)稱軸做點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)B’，B’點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)可以通過相似三角形求出，而點(diǎn)E恰是直線B’C與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)。 解題步驟：由正切值相等推出角相等→做對(duì)稱點(diǎn)并求其坐標(biāo)→由兩點(diǎn)法求交點(diǎn)所在直線函數(shù)→求拋物線與直線的交點(diǎn)。 （4）求點(diǎn)P的最短運(yùn)動(dòng)時(shí)間以及N點(diǎn)的坐標(biāo)，一般的求最短運(yùn)動(dòng)時(shí)間問題可以轉(zhuǎn)化為求最短運(yùn)動(dòng)路徑問題，但這種轉(zhuǎn)化都是建立在全程勻速運(yùn)動(dòng)情況下。此問題中有一段行程速度和其他兩段行程的速度不同，是問題的關(guān)鍵，所以要先分析整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程： 點(diǎn)P由B始發(fā)走到N，再到C，最后到O，即：BN→NC→OC，其中OC段是確定的因此該段時(shí)間固定，所以我們只要求出BN和NC兩段的時(shí)間最小值就能解決問題，其中BN段速度與NC段速度不同，因此我們?nèi)绻馨阉俣绒D(zhuǎn)化成一致就很好解決了。這種問題其實(shí)我們?cè)趯W(xué)勾股定理的時(shí)候見過，還記得船只過河的問題嗎？如圖：
通過船只過河問題可以給我們帶來這個(gè)問的啟發(fā)：
由于B’，B關(guān)于AC對(duì)稱，因此可以看做是點(diǎn)P從B’走到N’再走到C，當(dāng)點(diǎn)P到N’變速走到C的時(shí)間，相當(dāng)于按原來速度從N’走到M’的時(shí)間，由此速度得以轉(zhuǎn)化，可以找最短運(yùn)動(dòng)路徑了。所以當(dāng)P按原速度從B’走到BC邊上的最短時(shí)間，就是點(diǎn)P從B走到N再變速走到C最短的時(shí)間，所以當(dāng)求出B’到BC的最短距離即可（B’N＋NM），當(dāng)B’、N、M三點(diǎn)共線且垂直BC時(shí)，B’N＋NM最短（實(shí)際運(yùn)算中發(fā)現(xiàn)M與D點(diǎn)重合），如圖：
由同角的余角相等可以得出：∠BB’D＝∠ACB，由于BB’已經(jīng)知道,求出最短路徑B’D，AN長(zhǎng)度不難，因此時(shí)間和點(diǎn)N的坐標(biāo)都可以求出，不要忘記最短時(shí)間還要加上OC段的固定時(shí)間。 解題步驟：分析運(yùn)動(dòng)過程找出不變量來化簡(jiǎn)問題→通過勾股定理將速度統(tǒng)一→找出統(tǒng)一速度后的最短運(yùn)動(dòng)路徑→利用幾何手法求解。 【解答過程】
【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】 待定系數(shù)法求函數(shù)，直角三角形的判定方法，軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，相似三角形的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，點(diǎn)到直線最短距離求法。 本題是一道多問題，每問都是單一答案，一般最后一問有一定的難度，但都是通過平時(shí)基礎(chǔ)內(nèi)容演化而來，比如求最短距離，最短時(shí)間等問題其實(shí)就是由學(xué)習(xí)幾何初始的作圖題演變而來的，因此平時(shí)要注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用，咱們下期再見，O(∩_∩)O哈哈~ |
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