十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)

將微積分學(xué)深入發(fā)展，是十八世紀(jì)數(shù)學(xué)的主流。這種發(fā)展是與廣泛的應(yīng)用緊密交織在一起的，并且刺激和推動(dòng)了許多新分支的產(chǎn)生，使數(shù)學(xué)分析形成了在觀念和方法上都具有鮮明特點(diǎn)的獨(dú)立的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。

在十八世紀(jì)特別是后期，數(shù)學(xué)研究活動(dòng)和數(shù)學(xué)教育方式也發(fā)生了變革。這一切使十八世紀(jì)成為向現(xiàn)代數(shù)學(xué)過(guò)渡的重要時(shí)期。

微積分學(xué)的發(fā)展

在十八世紀(jì)，無(wú)限小算法的推廣，在英國(guó)和歐洲大陸國(guó)家是循著不同的路線進(jìn)行的。不列顛數(shù)學(xué)家們?cè)趧?、牛津、倫敦、?ài)丁堡等著名的大學(xué)里傳授和研究牛頓的流數(shù)術(shù)，代表人有科茨、泰勒、麥克勞林、棣莫弗和斯特林等。

泰勒發(fā)現(xiàn)的著名公式使人們有可能通過(guò)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)來(lái)研究函數(shù)；馬克勞林的《流數(shù)論》可以說(shuō)是對(duì)微積分最早的系統(tǒng)處理，該書(shū)是為反駁伯克利主教《分析學(xué)家》一文而作，后者出于宗教的動(dòng)機(jī)，對(duì)牛頓流數(shù)論中存在的無(wú)限小概念混亂提出了尖銳批評(píng)，引起了關(guān)于微積分基礎(chǔ)的論戰(zhàn)。

泰勒、馬克勞林之后，英國(guó)數(shù)學(xué)陷入了長(zhǎng)期停滯、僵化的狀態(tài)。十八世紀(jì)初即已爆發(fā)的微積分發(fā)明權(quán)的爭(zhēng)論，滋長(zhǎng)了不列顛數(shù)學(xué)家們濃厚的民族保守情緒，他們囿于牛頓的傳統(tǒng)，難以擺脫其迂回的幾何手法等弱點(diǎn)的束縛。與此相對(duì)照，在海峽的另一邊，新分析卻在萊布尼茨的后繼者們的推動(dòng)下蓬勃發(fā)展起來(lái)。

推廣萊布尼茨學(xué)說(shuō)的任務(wù)，主要由他的學(xué)生、瑞士巴塞爾的雅各布第一·伯努利和約翰第一·伯努利兩兄弟擔(dān)當(dāng)，而這方面最重大的進(jìn)步則是由歐拉作出的。

歐拉于1748年出版了《無(wú)窮小分析引論》，這部巨著與他隨后發(fā)表的《微分學(xué)》、《積分學(xué)》標(biāo)志著微積分歷史上的一個(gè)轉(zhuǎn)折：以往的數(shù)學(xué)家們都以曲線作為微積分的主要研究對(duì)象，而歐拉則第一次把函數(shù)放到了中心的地位，并且是建立在函數(shù)的微分的基礎(chǔ)之上。函數(shù)概念本身正是由于歐拉等人的研究而大大豐富了。

數(shù)學(xué)家們開(kāi)始明確區(qū)分代數(shù)函數(shù)與超越函數(shù)、隱函數(shù)與顯函數(shù)、單值函數(shù)與多值函數(shù)等；通過(guò)一些困難積分問(wèn)題的求解，諸如B函數(shù)、橢圓不定積分等一系列新的超越函數(shù)被納入函數(shù)的范疇；已有的對(duì)數(shù)、指數(shù)和三角函數(shù)的研究不僅進(jìn)一步系統(tǒng)化，而且被推廣到復(fù)數(shù)領(lǐng)域。

在十八世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們對(duì)于函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、微分、連續(xù)性和級(jí)數(shù)收斂性等概念還沒(méi)有形成統(tǒng)一的見(jiàn)解，他們往往不顧基礎(chǔ)問(wèn)題的薄弱而大膽前進(jìn)。盡管如此，許多人對(duì)建立微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)仍作出了重要的嘗試。除了歐拉的函數(shù)理論外，另一位天才的分析大師拉格朗日采取了所謂“代數(shù)的途徑”。他在1797年出版的《解析函數(shù)論》一書(shū)中，主張用泰勒級(jí)數(shù)來(lái)定義導(dǎo)數(shù)，并以此作為整個(gè)微分、積分理論之出發(fā)點(diǎn)。

達(dá)朗貝爾則發(fā)展了牛頓的“首末比方法”，但用極限的概念代替了含糊的“最初與最終比”的說(shuō)法。如果說(shuō)歐拉和拉格朗日的著作引入了分析的形式化趨勢(shì)，那么，達(dá)朗貝爾則為微積分的嚴(yán)格表述提供了合理的內(nèi)核。19世紀(jì)的嚴(yán)格化運(yùn)動(dòng)，正是這些不同方向融會(huì)發(fā)展的結(jié)果。

數(shù)學(xué)與力學(xué)開(kāi)始結(jié)合

數(shù)學(xué)同力學(xué)的有機(jī)結(jié)合，是十八世紀(jì)數(shù)學(xué)的另一個(gè)鮮明特征。這種結(jié)合，其緊密的程度為數(shù)學(xué)史上任何時(shí)期所不能比擬。幾乎所有的數(shù)學(xué)家都以巨大的熱情，致力于運(yùn)用微積分新工具去解決各種物理、力學(xué)問(wèn)題。

歐拉的名字同流體力學(xué)和剛體運(yùn)動(dòng)的基本方程聯(lián)系著；拉格朗日最享盛名的著作《分析力學(xué)》，“將力學(xué)變成了分析的一個(gè)分支”；拉普拉斯則把數(shù)學(xué)看作是研究力學(xué)天文學(xué)的工具，他的許多重要數(shù)學(xué)成果正是包含在他的五大卷《天體力學(xué)》中。

這種廣泛的應(yīng)用成為新的數(shù)學(xué)思想的源泉，而使數(shù)學(xué)本身的發(fā)展大大受惠。一系列新的數(shù)學(xué)分支在十八世紀(jì)成長(zhǎng)起來(lái)。

達(dá)朗貝爾關(guān)于弦振動(dòng)的著名研究，導(dǎo)出了弦振動(dòng)方程及其最早的解，成為偏微分方程論的發(fā)端。另一類重要的偏微分方程——位勢(shì)方程，主要通過(guò)對(duì)引力問(wèn)題的進(jìn)一步探討而獲得。與偏微分方程相聯(lián)系的一些較為深入的理論問(wèn)題也開(kāi)始受到注意。

拉格朗日發(fā)展了解一階偏微分方程的一般理論；對(duì)不同類型的二階方程的研究還促使歐拉、達(dá)朗貝爾等具備了將函數(shù)展為三角級(jí)數(shù)的概念。

常微分方程的研究進(jìn)展更為迅速。三體問(wèn)題、擺的運(yùn)動(dòng)及彈性理論等的數(shù)學(xué)描述，引出了一系列的常微分方程，其中以三體問(wèn)題最為重要，二階常微分方程在其中扮演了中心角色。

數(shù)學(xué)家起先是采用各種特殊的技巧對(duì)付不同的方程，但漸漸地開(kāi)始尋找?guī)毡樾缘姆椒?。這樣，歐拉推廣了約翰第一·伯努利的積分因子和常數(shù)變易法；黎卡提在以他的名字命名的非線性方程的研究中，首創(chuàng)了后來(lái)成為處理高階方程主要手段的降階法；泰勒最先引起人們對(duì)奇異解存在性的注意；歐拉在1750年解出了一般的常系數(shù)線性方程，他還引進(jìn)超幾何級(jí)數(shù)作為解二階線性方程的基礎(chǔ)；對(duì)全微分方程的研究亦由歐拉、拉格朗日和蒙日等開(kāi)展起來(lái)。

變分法起源于最速降曲線問(wèn)題和相類似的一些問(wèn)題，它的奠基人是歐拉。所謂“最速降曲線”問(wèn)題，是要求出兩點(diǎn)間的一條曲線，使質(zhì)點(diǎn)在重力作用下，沿著它由一點(diǎn)至另一點(diǎn)的降落最快。這問(wèn)題在1696年被約翰第一·伯努利提出來(lái)向其他人挑戰(zhàn)，牛頓、洛必達(dá)和伯努利兄弟不久都分別獲得了正確的解答。

歐拉自1728年開(kāi)始以他特有的透徹精神重新考察了最速降曲線等問(wèn)題，最終確立了求積分極值問(wèn)題的一般方法。歐拉的方法后來(lái)又為拉格朗日所發(fā)展，拉格朗日首先將變分法置于分析的基礎(chǔ)上，他還充分運(yùn)用變分法來(lái)建造其分析力學(xué)體系，全部力學(xué)被他化歸為一個(gè)統(tǒng)一的變分原理——虛功原理。

這些新的分支與微積分本身一起，形成了被稱之為“分析”的廣大領(lǐng)域，與代數(shù)、幾何并列為數(shù)學(xué)的三大學(xué)科，在十八世紀(jì)，其繁榮程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了代數(shù)與幾何。

十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們不僅大大拓展了分析的疆域，同時(shí)賦予它與幾何相對(duì)的意義，他們力圖用純分析的手法以擺脫對(duì)于幾何論證的依賴，這種傾向成為十八世紀(jì)數(shù)學(xué)的另一大特征，并且在歐拉和拉格朗日的工作中表現(xiàn)得最為典型。

拉格朗日在《分析力學(xué)》序中宣稱：“在這本書(shū)中找不到一張圖，我所敘述的方法既不需要作圖，也不需要任何幾何的或力學(xué)的推理，只需要統(tǒng)一而有規(guī)則的代數(shù)(分析)運(yùn)算”。

幾何與代數(shù)

對(duì)于幾何學(xué)，十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家們著眼于分析方法的應(yīng)用，及與此相聯(lián)系的坐標(biāo)幾何的發(fā)展。雖然早先已有部分結(jié)果，但微分幾何形成為獨(dú)立的學(xué)科主要是在十八世紀(jì)。

伯努利兄弟以及歐拉、拉格朗日等在確定平面曲線曲率、拐點(diǎn)、漸伸線、漸屈線、測(cè)地線及曲線簇包絡(luò)等方面作出許多貢獻(xiàn)；蒙日自1771年起發(fā)表的一系列工作，則使微分幾何在十八世紀(jì)的發(fā)展臻于高峰。

蒙日及其學(xué)生全面概括了空間曲線的一般理論，并借著偏微分方程對(duì)已為歐拉等人觸及的可展曲面、極小曲面、曲面曲率及各種曲面簇等問(wèn)題獲得了系統(tǒng)的結(jié)果。蒙日通過(guò)其幾何研究還建立了偏微分方程的特征理論。

現(xiàn)代解析幾何的基本課題如對(duì)稱的坐標(biāo)軸概念、平面曲線的系統(tǒng)研究等，基本上也是十八世紀(jì)的產(chǎn)品。帕倫于1705、1713年將解析幾何推廣至三維情形，該項(xiàng)工作被克萊羅所繼續(xù)。解析幾何突破了笛卡兒以來(lái)作為求解幾何難題的代數(shù)技巧的界限。

對(duì)綜合幾何的興趣直到十八世紀(jì)末才被重新喚起，這主要?dú)w功于蒙日的《畫法幾何學(xué)》。蒙日指出畫法幾何只是投影幾何的一個(gè)方面，這促進(jìn)了更一般的投影幾何學(xué)與幾何變換理論的發(fā)展。投影幾何在十九世紀(jì)整整活躍了一個(gè)世紀(jì)，而幾何變換則已成為現(xiàn)代幾何學(xué)的基本概念。

十八世紀(jì)許多數(shù)學(xué)家將分析看作代數(shù)的延伸，代數(shù)本身的研究有時(shí)便服從分析的需要。然而十八世紀(jì)代數(shù)學(xué)仍為下一世紀(jì)的革命性發(fā)展開(kāi)辟了道路。

1799年，高斯發(fā)表了關(guān)于代數(shù)基本定理的研究，給出了該定理的第一個(gè)嚴(yán)格證明；高于四次的代數(shù)方程用根式求解之不可能，也已被拉格朗日等人認(rèn)識(shí)，拉格朗日在《方程的代數(shù)求解》一文中討論了這個(gè)問(wèn)題，雖未能作出嚴(yán)格證明，但卻考察了根的有理函數(shù)及根的置換對(duì)它們的影響。高斯、拉格朗日的結(jié)果是19世紀(jì)阿貝爾、伽羅瓦、雅可比等在方程論方面的劃時(shí)代成就的出發(fā)點(diǎn)。

虛數(shù)在十八世紀(jì)數(shù)學(xué)中的重要性增加了，達(dá)朗貝爾關(guān)于一切虛數(shù)都有形式a+bi的斷言，被大多數(shù)同時(shí)代的學(xué)者所接受(雖然他的論證并不嚴(yán)格)；丹麥的韋塞爾提出了虛數(shù)的圖像表示法，這一切為19世紀(jì)復(fù)變函數(shù)論的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

概率論進(jìn)一步的發(fā)展

帕斯卡、費(fèi)馬和惠更斯以來(lái)，第一個(gè)對(duì)概率論給予認(rèn)真注意的是雅各布·伯努利。他的《猜度術(shù)》一書(shū)，包含了大數(shù)律的敘述；棣莫弗最早使用正態(tài)分布曲線；拉格朗日的貢獻(xiàn)在于誤差理論。

不過(guò)，首先將概率論建立在堅(jiān)固的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的是拉普拉斯。從1771年起，拉普拉斯發(fā)表了一系列重要著述，特別是1812年出版的《概率的解析理論》，對(duì)古典概率論作出了強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)綜合，敘述并證明了許多重要定理。拉普拉斯等人的著作還討論了概率論對(duì)人口統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)事業(yè)、度量衡、天文學(xué)甚至某些法律問(wèn)題的應(yīng)用。概率論在十八世紀(jì)已遠(yuǎn)不再是只與賭博問(wèn)題相聯(lián)系的學(xué)科了。

數(shù)學(xué)教育的發(fā)展

十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)研究活動(dòng)，大部分是與歐洲各國(guó)的科學(xué)院相聯(lián)系，尤其是大陸國(guó)家的科學(xué)院。它們不僅是評(píng)議研究成果，促進(jìn)科學(xué)通訊，而且掌握著聘用專門成員的財(cái)政經(jīng)費(fèi)。

萊布尼茨1700年創(chuàng)立的柏林科學(xué)院，在普魯士國(guó)王弗里德里克時(shí)代曾擁有歐拉和拉格朗日為院士；歐拉其余的生涯是在彼得堡科學(xué)院奉職；拉格朗日在弗里德里克死后被路易十六請(qǐng)到巴黎。而巴黎科學(xué)院也許是十八世紀(jì)歐洲最重要的學(xué)術(shù)中心，與它相聯(lián)系的法國(guó)最卓越的數(shù)學(xué)家還有克萊羅、達(dá)朗貝爾、孔多塞、拉普拉斯、蒙日以及勒讓德等。

這種主要靠宮廷支持的科學(xué)院，在推動(dòng)數(shù)學(xué)研究職業(yè)化方面起了一定的但卻是有限的作用。在十八世紀(jì)的晚期，人們開(kāi)始注意并努力改變大學(xué)中數(shù)學(xué)教育與研究分離、脫節(jié)的現(xiàn)象。

哥廷根大學(xué)最先強(qiáng)調(diào)教學(xué)與研究的結(jié)合，但對(duì)當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)并未發(fā)生影響。真正的沖擊來(lái)自法國(guó)。法國(guó)大革命時(shí)期建立的巴黎綜合工科學(xué)校和巴黎高等師范學(xué)校，不僅提供為培養(yǎng)工程師和教師所必需的數(shù)學(xué)教育，對(duì)數(shù)學(xué)研究也給予同樣的重視，它們作為新型的科學(xué)教育和研究機(jī)構(gòu)的典范，對(duì)19世紀(jì)數(shù)學(xué)研究職業(yè)化運(yùn)動(dòng)有極大的影響。

社會(huì)政治對(duì)十八世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響值得注意。十八世紀(jì)數(shù)學(xué)研究活動(dòng)中心的轉(zhuǎn)移，明顯地與資產(chǎn)階級(jí)革命中心的轉(zhuǎn)移現(xiàn)象相吻合。英國(guó)學(xué)術(shù)界的保守氣氛，同擁教保王的政治環(huán)境不無(wú)關(guān)系，而在啟蒙思想熏陶下的法國(guó)學(xué)派，卻自覺(jué)地接過(guò)了發(fā)展牛頓自然科學(xué)理論的任務(wù)。

法國(guó)大革命本身提供了社會(huì)變革影響數(shù)學(xué)事業(yè)的例證。這個(gè)國(guó)家當(dāng)時(shí)最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，幾乎都被革命政權(quán)吸收到度量衡改革、教育改革、軍事工程建設(shè)等活動(dòng)中去。

對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展特別重要的是他們?cè)谛鲁闪⒌陌屠杈C合工科學(xué)校與巴黎高等師范學(xué)校中的作用。拉格朗日、拉普拉斯、蒙日、勒讓德等均受聘出任那里的數(shù)學(xué)教授，蒙日還是綜合工科學(xué)校的積極創(chuàng)建者并兼校長(zhǎng)。他們的任職，使這兩所學(xué)校特別是綜合工科學(xué)校成為新一代數(shù)學(xué)家的搖籃，如柯西和泊松都是畢業(yè)于綜合工科學(xué)校。

這些學(xué)校為適應(yīng)培養(yǎng)新人才的需要而采用的數(shù)學(xué)新教材，釀成了“教科書(shū)的革命”，其中勒讓德的《幾何學(xué)基礎(chǔ)》、蒙日的《畫法幾何學(xué)》、拉克魯瓦的《微積分學(xué)》以及畢奧和勒弗朗索瓦的解析幾何教程，都是反復(fù)再版，并被譯成了多國(guó)語(yǔ)言。在法國(guó)所進(jìn)行的改革，到19世紀(jì)初即已擴(kuò)及旁國(guó)特別是德國(guó)，并刺激了英國(guó)數(shù)學(xué)的復(fù)蘇，成為數(shù)學(xué)發(fā)展新時(shí)代的序幕。