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在《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》我們發(fā)現(xiàn)這樣一句話——“讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。”,這實(shí)際上就是要求把學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程當(dāng)做建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程,并在建模過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),引導(dǎo)學(xué)生自覺(jué)地用數(shù)學(xué)的方法去分析、解決生活中的問(wèn)題。明確要求教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，不但要重視其結(jié)果，更要關(guān)注學(xué)生自主建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，讓學(xué)生在進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)的過(guò)程中科學(xué)地、合理地、有效地建立數(shù)學(xué)模型。 一、數(shù)學(xué)模型的概念 數(shù)學(xué)模型是對(duì)某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量依存關(guān)系概括或近似表述的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)中的各種概念、公式和理論都是由現(xiàn)實(shí)世界的原型抽象出來(lái)的,從這個(gè)意義上講,所有的數(shù)學(xué)知識(shí)都是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的模型。狹義地理解,數(shù)學(xué)模型指那些反映了特定問(wèn)題或特定具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu),是相應(yīng)系統(tǒng)中各變量及其相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)。數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題的方法?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》安排了“數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”“統(tǒng)計(jì)與概率”“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”四塊學(xué)習(xí)領(lǐng)域,強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng),發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)感、空間觀念、以及應(yīng)用意識(shí)與推理的能力。這些內(nèi)容中最重要的部分,就是數(shù)學(xué)模型。在小學(xué)階段,數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形式為一系列的概念系統(tǒng),算法系統(tǒng),關(guān)系、定律、公理系統(tǒng)等。 二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)滲透數(shù)學(xué)建模思想的可行性 數(shù)學(xué)模型不僅為數(shù)學(xué)表達(dá)和交流提供有效途徑，也為解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題提供重要工具，可以幫助學(xué)生準(zhǔn)確、清晰地認(rèn)識(shí)、理解數(shù)學(xué)的意義。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)采取有效措施，加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模思想的滲透，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)意識(shí)以及分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。數(shù)學(xué)在本質(zhì)上就是在不斷的抽象、概括、模式化的過(guò)程中發(fā)展和豐富起來(lái)的。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只有深入到“模型”、“建?！钡囊饬x上，才是一種真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。這種“深入”，就小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，更多地是指用數(shù)學(xué)建模的思想和精神來(lái)指導(dǎo)著數(shù)學(xué)教學(xué)，“從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與運(yùn)用的過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)的理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)入和發(fā)展?！?br/> 對(duì)數(shù)學(xué)建模這個(gè)概念來(lái)講也許是新的，但回想我們的日常教學(xué)不難發(fā)現(xiàn)我們的學(xué)生已經(jīng)有數(shù)學(xué)建模的思想或意識(shí)，只不過(guò)沒(méi)有從理論的角度把它概括出來(lái)而已。例如，在以往教學(xué)求比一個(gè)數(shù)多幾的應(yīng)用題時(shí)，經(jīng)常碰到這樣一個(gè)例題“小明家養(yǎng)了6只公雞，養(yǎng)的母雞只數(shù)比公雞多3 只，母雞有幾只？”在教學(xué)此例時(shí)老師們都是采用讓學(xué)生擺、說(shuō)等教學(xué)活動(dòng)來(lái)幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，理解“同樣多的部分”，但教學(xué)效果并沒(méi)有我們老師想象的那么好，一般同學(xué)們?cè)诮忉寯?shù)量關(guān)系式6+3=9時(shí)，母雞和公雞是不分的，極大部分學(xué)生都會(huì)說(shuō)6只公雞加3只母雞等于9只母雞。為什么學(xué)生不會(huì)用“同樣多的部分”去描述母雞的只數(shù)，其原因是十分明顯的，那就是學(xué)生在操作時(shí)頭腦中已經(jīng)對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，并建立了一個(gè)有關(guān)母雞只數(shù)求法的數(shù)學(xué)模型，這個(gè)模型顯然是一種疊加模型，即6+3=9（只），而6表示什么在模型中已經(jīng)是無(wú)關(guān)緊要，因?yàn)閷?shí)際問(wèn)題最終要解決的是數(shù)量問(wèn)題。從以上這個(gè)教學(xué)實(shí)例至少可以說(shuō)明兩點(diǎn)；其一，小學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)有他自己的數(shù)學(xué)模型，有他自圓其說(shuō)的解讀數(shù)學(xué)模型的方法，因此，小學(xué)生也有數(shù)學(xué)建模能力 。其二，當(dāng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型一旦建立了以后，即使他的模型是不合理或不規(guī)范的，但外人很難改變他的模型結(jié)構(gòu)。 三、小學(xué)生如何形成自己的數(shù)學(xué)建模 一、創(chuàng)設(shè)情境，感知數(shù)學(xué)建模思想。 數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活，因此，要將現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)生的與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有關(guān)的素材及時(shí)引入課堂，要將教材上的內(nèi)容通過(guò)生活中熟悉的事例，以情境的方式在課堂上展示給學(xué)生，描述數(shù)學(xué)問(wèn)題產(chǎn)生的背景。情景的創(chuàng)設(shè)要與社會(huì)生活實(shí)際、時(shí)代熱點(diǎn)問(wèn)題、自然、社會(huì)文化等與數(shù)學(xué)問(wèn)題有關(guān)的各種因素相結(jié)合，讓學(xué)生感到真實(shí)、新奇、有趣、可操作，滿足學(xué)生好奇好動(dòng)的心理要求。這樣很容易激發(fā)學(xué)生的興趣，并在學(xué)生的頭腦中激活已有的生活經(jīng)驗(yàn)，也容易使學(xué)生用積累的經(jīng)驗(yàn)來(lái)感受其中隱含的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而促使學(xué)生將生活問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，感知數(shù)學(xué)模型的存在。 如教學(xué)平均數(shù)一課，新課伊始出示兩個(gè)小組一分鐘做題道數(shù)： 第一組 9 8 9 6 第二組 7 10 9 8 教師提問(wèn)：哪組獲勝，為什么？ 這時(shí)出示，第一組請(qǐng)假的一位同學(xué)后來(lái)加入比賽。 第一組 9 8 9 6 8 第二組 7 10 9 8 師：根據(jù)比賽成績(jī)我們判定一組獲勝。 此時(shí)有學(xué)生提出異議：雖然第一組做對(duì)的總道數(shù)比第二組多，但是兩個(gè)隊(duì)的人數(shù)不同，這樣比較不公平。 師：那怎么辦呢？ 生：可以用平均數(shù)進(jìn)行比較。 師：什么是平均數(shù)？ 學(xué)生根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)。 本節(jié)課平均數(shù)這一抽象的知識(shí)隱藏在具體的問(wèn)題情境中，學(xué)生在兩次評(píng)判中解讀、整理數(shù)據(jù)，產(chǎn)生思維沖突，從而推進(jìn)數(shù)學(xué)思考的有序進(jìn)行。學(xué)生從具體的問(wèn)題情境中抽出平均數(shù)這一數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程就是一次建模的過(guò)程， 二、參與探究，主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)家華羅庚通過(guò)多年的學(xué)習(xí)、研究經(jīng)歷總結(jié)出：對(duì)書(shū)本中的某些原理、定律、公式，我們?cè)趯W(xué)習(xí)的時(shí)候不僅應(yīng)該記住它的結(jié)論、懂得它的道理，而且還應(yīng)該設(shè)想一下人家是怎樣想出來(lái)的，怎樣一步一步提煉出來(lái)的。只有經(jīng)歷這樣的探索過(guò)程，數(shù)學(xué)的思想、方法才能沉積、凝聚，從而使知識(shí)具有更大的智慧價(jià)值。動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)主動(dòng)、活潑的、生動(dòng)和富有個(gè)性的過(guò)程。因此，在教學(xué)時(shí)我們要善于引導(dǎo)學(xué)生自主探索、合作交流，對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程、學(xué)習(xí)材料、學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)主動(dòng)歸納、提升，力求建構(gòu)出人人都能理解的數(shù)學(xué)模型。 如教學(xué)圓錐的體積一課： 1、回顧、猜想： 師：請(qǐng)同學(xué)們回憶我們?cè)趯W(xué)習(xí)圓柱的體積推導(dǎo)過(guò)程中，應(yīng)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？ 生：運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的方法。 師：猜一猜圓錐的體積能否轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形的體積？它會(huì)與學(xué)過(guò)的哪種立體圖形有關(guān)？ 學(xué)生大膽進(jìn)行猜想，有的猜能轉(zhuǎn)化成圓柱、有的猜能轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)、正方體。 2、動(dòng)手驗(yàn)證 師：請(qǐng)同學(xué)們利用手中的學(xué)具進(jìn)行操作，研究圓錐體積的計(jì)算方法。 教師給學(xué)生提供多個(gè)圓柱、長(zhǎng)方體、正方體和圓錐空盒（其中圓柱和圓錐有等底等高關(guān)系的、有不等底不等高關(guān)系的，圓錐與其他形體沒(méi)有等底或等高關(guān)系）、沙子等學(xué)具，學(xué)生分小組動(dòng)手實(shí)驗(yàn)。 3、反饋交流 生1：我們選取了一個(gè)圓錐和一個(gè)正方體進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，將正方體中倒?jié)M沙子，然后倒入圓錐容器中，到了四次，還剩下一些，發(fā)現(xiàn)圓錐體與這個(gè)圓柱體之間沒(méi)有關(guān)系。 生2：我們組選取的是圓錐和圓柱，這個(gè)圓錐與這個(gè)圓柱之間也沒(méi)存在關(guān)系，然后我們換了一個(gè)圓柱，這個(gè)圓柱的體積是這個(gè)圓錐體積的三倍。 4、歸納總結(jié)。 師：那么存在3倍關(guān)系的圓柱和圓錐的底面有什么關(guān)系?它們的高又有什么關(guān)系? 生3：底面積相等，高也相等。 師：圓柱的體積和同它等底等高圓錐的體積的有什么關(guān)系? 生：圓柱的體積是圓錐體積的3倍。 生：圓錐的體積是同它等底等高的圓柱體權(quán)的1/3。 師：是不是所有的等底等高的圓柱、圓錐都存在這樣的關(guān)系？請(qǐng)每個(gè)組都選出這樣的學(xué)具進(jìn)行操作驗(yàn)證。 生：匯報(bào)后師板書(shū): 圓錐的體積等于同它等底等高的圓柱體積的1/3。 師：如果沒(méi)有圓柱這一輔助工具，我們?cè)鯓佑?jì)算圓錐的體積？ 生：圓錐的體積等于底面積乘高乘1/3。 在上述教學(xué)過(guò)程中，教師提供豐富的實(shí)驗(yàn)材料，學(xué)生需要從中挑選出解決問(wèn)題必須的材料進(jìn)行研究。學(xué)生的問(wèn)題不是一步到位的，通過(guò)不斷地猜測(cè)、驗(yàn)證、修訂實(shí)驗(yàn)方案，再猜測(cè)、再驗(yàn)證這樣的過(guò)程，逐步過(guò)渡到復(fù)雜的、更一般的情景，學(xué)生在主動(dòng)探索嘗試過(guò)程中，進(jìn)行了再創(chuàng)造學(xué)習(xí)，以抽象概括方式自主總結(jié)出圓錐體積計(jì)算公式。這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，不僅發(fā)展了學(xué)生的策略性知識(shí)，同時(shí)讓學(xué)生經(jīng)歷猜測(cè)與驗(yàn)證、分析與歸納、抽象與概括的數(shù)學(xué)思維過(guò)程。學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生有時(shí)獨(dú)立思考，有時(shí)小組合作學(xué)習(xí)，有時(shí)是獨(dú)立探索和合作學(xué)習(xí)相結(jié)合，學(xué)生在新知探索中充分體驗(yàn)了數(shù)學(xué)模型的形成過(guò)程。 三、解決問(wèn)題，拓展應(yīng)用數(shù)學(xué)模型 用所建立的數(shù)學(xué)模型來(lái)解答生活實(shí)際中的問(wèn)題，讓學(xué)生能體會(huì)到數(shù)學(xué)模型的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，體驗(yàn)到所學(xué)知識(shí)的用途和益處，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，讓學(xué)生體驗(yàn)實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)的快樂(lè)。解決問(wèn)題具體表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是布置數(shù)學(xué)題作業(yè)，如基本題、變式題、拓展題等；二是生活題作業(yè)，讓學(xué)生在實(shí)際生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)。通過(guò)應(yīng)用真正讓數(shù)學(xué)走入生活，讓數(shù)學(xué)走近學(xué)生。用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問(wèn)題的同時(shí)拓展數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平，又可以促進(jìn)學(xué)生的探索意識(shí)、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐意識(shí)的形成，使學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中認(rèn)識(shí)新問(wèn)題，同化新知識(shí)，并構(gòu)建自己的智力系統(tǒng)。 如在學(xué)生掌握了速度、時(shí)間、路程之間關(guān)系后，先進(jìn)行單項(xiàng)練習(xí)，然后出示這樣的變式題： 1、汽車4小時(shí)行駛了240千米，12小時(shí)可行駛多少千米？ 2、火車的速度是每小時(shí)130千米，火車早上8：00出發(fā)，14：00到站，兩站之間的距離是多少千米？ 學(xué)生在掌握了速度乘時(shí)間等于路程這一模型后，進(jìn)行變式練習(xí)，學(xué)生基本能正確解答，說(shuō)明學(xué)生對(duì)基本數(shù)學(xué)模型已經(jīng)掌握，并能夠從4小時(shí)行駛了240千米中找到需要的速度，從8：00至14：00中找到所需時(shí)間。雖然兩題敘述不同，但都可以運(yùn)用同一個(gè)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答。掌握了數(shù)學(xué)模型，學(xué)生解答起數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)得心應(yīng)手。 又如學(xué)習(xí)了圓的周長(zhǎng)后設(shè)計(jì)這樣的題目：怎樣利用你的自行車測(cè)量學(xué)校到家里的實(shí)際距離。 這一問(wèn)題的設(shè)計(jì)既考慮與學(xué)生生活的真實(shí)情景相結(jié)合，又能引起學(xué)生的猜測(cè)、估計(jì)、操作、觀察、思考等具體的學(xué)習(xí)活動(dòng)，并能使學(xué)生在具體的學(xué)習(xí)活動(dòng)中學(xué)會(huì)搜集資料、分析問(wèn)題。在解決實(shí)際問(wèn)題中，學(xué)生需要搜集大量的信息，并從信息中剔除無(wú)用信息，留下有用信息，構(gòu)建起數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行計(jì)算、解決問(wèn)題。在這一過(guò)程中，學(xué)生易于形成實(shí)事求是的態(tài)度以及進(jìn)行質(zhì)疑和獨(dú)立思考的習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神。因此，我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中，應(yīng)注重學(xué)生建模思想的形成與運(yùn)用。 綜上所述，小學(xué)數(shù)學(xué)建模思想的形成過(guò)程是一個(gè)綜合性的過(guò)程，是數(shù)學(xué)能力和其他各種能力協(xié)同發(fā)展的過(guò)程。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行數(shù)學(xué)建模思想的滲透，不僅可以使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)并非只是一門(mén)抽象的學(xué)科，而且可以使學(xué)生感覺(jué)到利用數(shù)學(xué)建模的思想結(jié)合數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的妙處，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生更大的興趣。通過(guò)建模教學(xué)，可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的理解和掌握，調(diào)整學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，深化知識(shí)層次。同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和自主、合作、探索、創(chuàng)新的精神，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)、可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。因此在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)逐步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思想、方法，形成學(xué)生良好的思維習(xí)慣和用數(shù)學(xué)的能力。 |
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