第二篇黎曼幾何和廣義相對論

1. 既古老又現(xiàn)代的幾何學

幾何是一門古老的學科?？峙聸]有哪一門學科，像歐幾里德幾何學那樣，在公元前就已經(jīng)被創(chuàng)立成形，歷經(jīng)2000多年，至今還活躍在許多課堂上和數(shù)學競賽試題中。盡管目前中國的中學教育已經(jīng)不把平面幾何當作必修課，一些學校刪減了許多內(nèi)容或者干脆取消了該門課程，但在上世紀的60-80年代，中國學生平面幾何的水平肯定是算世界上比較高的。筆者還清楚地記得，解決平面幾何難題，是本人中學時代的最愛。我們高中的數(shù)學老師兼班主任，是一個剛從師范畢業(yè)的年輕人，對數(shù)學教學充滿熱情。印象頗深的是他在黑板上畫圓的絕活，他手握粉筆一揮一就，一筆下來，立刻在黑板上出現(xiàn)了一個規(guī)整的圓圈，用目測法很難看出這不是圓規(guī)畫出來的。在他的影響下，我們班一半人都變成了數(shù)學迷，幾何迷，大家在幾何世界中遨游，從中體會到數(shù)學的奧妙，也感受到無限的樂趣。那兩年，在教室的黑板上、課桌上，室外的石頭邊、樹墩上，操場的籃球架上，隨處可見同學們?yōu)樗伎紟缀晤}而畫出來的三角形、直線、和圓圈。也許總體而言，中國式的教育方法忽略了發(fā)展學生改革創(chuàng)新的能力，但我深信，那個時代我們解決思考的無數(shù)道數(shù)學幾何難題，對訓練空間想象能力、邏輯推理能力，起了非常重要的作用。

縱觀科學史，牛頓、愛因斯坦都是偉人，歐拉、高斯……偉大的數(shù)學家也可以列出不少，但恐怕很難找出像歐幾里德這樣的科學家，從2000多年前一直到現(xiàn)代，人們還經(jīng)常提到以他命名的”歐幾里德空間”、”歐幾里德幾何”等等名詞，真可謂名垂千古而不朽了。阿基米德可能也能算一個，牛頓時代距離現(xiàn)在不過400來年，歐幾里德和阿基米德卻都是公元前古希臘時代的人物。

歐幾里德的巨著—《幾何原本》^【1】（在1607年，有徐光啟的中譯本^【2】），不僅僅被人譽為有史以來最成功的教科書，而且在幾何學發(fā)展的歷史中具有重要意義。其中所闡述的歐式幾何是建立在五個公理之上的一套自洽而完整的邏輯理論，簡單而容易理解。這點令人驚嘆，它標志著在2000多年前，幾何學就已經(jīng)成為了一個有嚴密理論系統(tǒng)和科學方法的學科！    

繼歐幾里德之后，16世紀法國哲學家、數(shù)學家笛卡兒（1596～1650年），將坐標的概念引入幾何，建立了解析幾何。

就平面幾何而言，引入坐標的概念就是使用x、y來表示點、線、園等等圖形在平面上的相對位置，因而便可以方便地應用解析的方法來處理幾何的問題。如此一來，幾何問題便成為代數(shù)的問題。這種處理方法使幾何問題變得簡單容易多了。說起來可笑，這種簡單容易的方法反而使原來癡迷于求解平面幾何難題的中學生們在剛學了解析幾何之后，頗有一種失落感。因為解析幾何使幾何問題有了規(guī)范的解法，好像幾何不再具有原來的魅力，原來那樣有趣的幾何學，被“解析”之后，突然間變得黯然失色、索然無味。

當然，誰也無法否認解析幾何的誕生象征著幾何發(fā)展的一個重要里程碑。解析幾何不但能處理歐式幾何中的平面問題，還能解決三維空間的問題，以至于推廣到更高維空間的幾何問題。比如就說在二維和三維空間中吧，解析幾何可研究的圖形范圍大大擴大。對平面曲線來說，歐式幾何中一般只能處理直線和圓。而現(xiàn)在有了坐標及函數(shù)的概念之后，直線可以用一次函數(shù)表示；圓可以用二次函數(shù)表示，二次函數(shù)不僅能夠表示圓，還能表示橢圓、拋物線、雙曲線等其它情形。除此之外，解析幾何中還可以用一個任意的方程式f(x,y)=0，來表示所有的平面曲線，這些都使歐式幾何學望塵莫及。如果論及三維空間的話，在解析化之后，還能用三維坐標（x,y,z）和它們的代數(shù)方程式，表示各種各樣的空間曲線和奇形怪狀曲面。進一步談到更高維的空間，歐幾里德幾何就更無用武之地了。

再到后來，數(shù)學的各個方面都有了巨大發(fā)展，特別是如我們在第一篇中所敘述的，牛頓和萊布尼茨發(fā)明了微積分，這是科學上的一件大事，使得那個時代的整個數(shù)學和物理都改變了面貌。那么，它對幾何學的發(fā)展又有何種影響呢？

數(shù)學家們自然地將微積分這個強有力的工具用來研究幾何學。實際上，微積分和幾何的聯(lián)系還更緊密一些，微積分的誕生也是得益于幾何研究的，兩者相互影響和發(fā)展。因此，微積分誕生之后不久，便有了“微分幾何”這門新學科的萌芽。

法國數(shù)學家亞歷克西斯·克萊洛（Alexis  Clairaut ，1713 - 1763)）是微分幾何的先行者之一^【3】?？巳R洛是個名副其實的神童，他是母親生下的20個子女中唯一一個長大成人的。在身為數(shù)學教授的父親的嚴格管教和高標準要求下，克萊洛9歲開始讀《幾何原本》，13歲時就在法國科學院宣讀他的數(shù)學論文。

之后幾年，克萊洛迷上了空間曲線，他用曲線在兩個垂直平面上的投影來研究空間曲線，第一次研究了空間曲線的曲率和繞率（當時被他稱之為：雙重曲率）。1729年，16歲的克萊洛將這個結(jié)果提交給法國科學院并以此申請法國科學院院士的資格，但當時未得到國王的立即認可。不過，只在兩年之后，克萊洛發(fā)表了《關(guān)于雙重曲率曲線的研究》一文，文中他公布了對空間曲線的研究成果，除了提出雙重曲率之外，還認識到在一個垂直于曲線的切線的平面上可以有無數(shù)多條法線，同時給出了空間曲線的弧長公式，以及曲面的幾個基本概念：長度、切線和雙重曲率。這一年，18歲的克萊洛成為法國科學院有史以來最年輕的院士。

曲率和繞率是什么？我們先從平面曲線來認識曲率。

圖2-1-1：克萊洛及雙重曲率

我們首先需要引進曲線的切線，或稱之為“切矢量”的概念，切矢量即為當曲線上兩點無限接近時它們的連線的極限位置所決定的那個矢量。圖2-1-1b中所標示的所有箭頭，便是曲線的切矢量在曲線上各個點的直觀圖像。然后，再從圖中切矢量沿著曲線的變化規(guī)律，又可以得到曲率的直觀概念：曲率表征曲線的彎曲程度。比如說，圖2-1-1b中最上面一條是直線，直線不會拐彎，其彎曲程度為0，即曲率等于0。這個0曲率與切矢量的變化是有關(guān)系的?？纯粗本€上的箭頭就容易明白了：上面所有箭頭方向都是同樣的。也就是說，曲率就是切矢量方向的變化率，或切矢量的旋轉(zhuǎn)速率。直線上的切矢量方向不變，不旋轉(zhuǎn)，對應于曲率為0。再看看圖2-1-1b中下面兩條曲線，當弧長增加時，切矢量不斷旋轉(zhuǎn)，曲線也隨之而彎曲，切矢量旋轉(zhuǎn)得越快，曲線的彎曲程度也越大。所以，曲率的幾何意義就是曲線的切矢量對于弧長的旋轉(zhuǎn)速度。

剛才在描述切矢量時，我們說它是“連線的極限位置所決定的那個矢量”，這兒我們很輕松地用上了“極限”的概念，諸位也毫不費力地就理解了它，因為大家學過了微積分。但是，在克萊洛的年代，曲率的計算可不是那么輕松容易的，這個十幾歲的神童，天才地把微分的思想用于研究曲線，首次得到了這個結(jié)果。不僅如此，剛才我們討論的只是平面曲線，克萊洛將微積分思想用于空間曲線。對一條平面曲線來說，如果每一點的曲率都確定了，這條曲線的形狀便確定了。比如說，很容易直觀地看出，一個圓上每個點的曲率都是一樣的，等于它的半徑的倒數(shù)。圓的半徑越小，倒數(shù)則大，因而曲率便也越大；圓的半徑越大，曲率則越小。因此，圓是等曲率的曲線，那么，現(xiàn)在我們考慮圖2-1-2a中所示的平面螺旋線。因為平面螺旋線從內(nèi)看到外，近似于一個一個從小到大的圓，所以，它的曲率是中心大邊沿小。

我們可以將這個平面螺旋線想象成一個被壓到一個平面上的的錐形彈簧，如果壓力撤銷之后，錐形彈簧恢復它的三維形狀如圖2-1-2b所示，這便得到了一條三維曲線。

圖2-1-2：空間曲線的繞率

首先讓我們研究一下將平面螺旋線放在三維空間中的情形。如圖2-1-2c所示，這時可以在曲線的每一個點定義一個由3個矢量組成的三維標架。令曲線的切線方向為T，在曲線所在的平面上有一個與T垂直的方向N。如果對于圓周來說，N的方向沿著半徑指向圓心。N被稱之為曲線在該點的主法線。為什么在法線的前面要加上一個“主”字呢，因為與切線T垂直的矢量不止一個，它們有無窮多個，都可以稱為曲線在該點的法線，這些法線構(gòu)成一個平面，叫做通過該點的法平面。剛才說過，這個事實是首先被小天才克萊洛認識到的。這所有的法線中，有一個是比較特別的，對平面曲線來說就是在此平面上的那一條法線，被稱為主法線。有了切線T和主法線N，使用右手定則可以定義出三維空間中的另一個矢量B，B也是法線之一，稱之為次法線。從圖c很容易看出，螺旋線上每個點的切矢量T和主法線B的方向都逐點變化，唯有次法線的方向不變。對一般的平面曲線也是如此，次法線的方向永遠是垂直于曲線所在平面的，因此，一條平面曲線上每個點的次法線都指向同一個方向，即指向與該平面垂直的方向。

對一般的空間曲線，情況有所不同。想象一下讓平面螺旋線中的每一圈逐漸從原來所在的平面慢慢被拉開，這時候，每一點次法線的方向便會從原來的垂直線逐漸發(fā)生偏離。也可以說，次法線的方向代表了與曲線“密切相貼”的那個平面，在一般三維曲線的情形下，這個密切相貼的平面逐點不一樣，被稱為曲線在這個點的“密切平面”。如圖2-1-2d所示，對一般的三維曲線而言，在曲線上不同的點，三個標架T、N、B的方向都有所不同了。每一點的次法線B的方向也會變化，不過它仍然與該點的密切平面垂直。 

克萊洛注意到空間曲線與平面曲線的不同，認為需要用另外一個曲率，后人稱之為“繞率”的幾何量來表征這種差別。換言之，繞率可以表示曲線偏離平面曲線的程度，被定義為次法線B隨弧長變化的速率。

 參考資料：

【1】Heath,Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile.Original publication: Cambridge University Press, 1925] ed.). New York: DoverPublications.

【2】1607Chinese translations reprinted as part of Siku Quanshu, or "CompleteLibrary of the Four Treasuries."

【3】O'Connorand, J. J.; E. F. Robertson (October 1998). "Alexis Clairaut".MacTutor History of Mathematics Archive. School of Mathematics and Statistics,University of St Andrews, Scotland. Retrieved 2009-03-12.