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哈代 高嶸 (遼寧師范大學(xué)) 哈代，G．H(Hardy，Godfrey Harold)1877年2月7日生于英國(guó)克蘭利(Cranleigh)；1947年12月1日卒于劍橋．?dāng)?shù)學(xué)． 哈代的父親I．哈代(Hardy)是克蘭利中學(xué)的教師，母親索菲婭(Sophia)是林肯師范學(xué)院的教師，他還有一個(gè)妹妹．哈代的父母很有文化素養(yǎng)，也極重視數(shù)學(xué)，因經(jīng)濟(jì)拮據(jù)未能上大學(xué)，卻為兒女提供了良好的教育． 哈代在童年時(shí)代就顯示出數(shù)學(xué)的機(jī)敏，在克蘭利中學(xué)接受早期教育時(shí)，表現(xiàn)出在數(shù)論方面的早慧與多方面的才能．13歲時(shí)，他獲得獎(jiǎng)學(xué)金進(jìn)入當(dāng)時(shí)以數(shù)學(xué)家搖籃而著稱的溫切斯特(Winches-ter)學(xué)院學(xué)習(xí)．1896年又獲入學(xué)獎(jiǎng)學(xué)金進(jìn)入劍橋大學(xué)三一學(xué)院繼續(xù)深造，他的數(shù)學(xué)生涯從此與劍橋緊密聯(lián)系起來．哈代很早就養(yǎng)成喜歡自由提問和探索的習(xí)慣，在劍橋開始學(xué)習(xí)時(shí)，他對(duì)于機(jī)械的授課模式不滿，后來幸運(yùn)地被允許轉(zhuǎn)聽?wèi)?yīng)用數(shù)學(xué)家A．E．H．拉弗(Love)教授的課．這對(duì)于哈代后來成長(zhǎng)為一名數(shù)學(xué)家至關(guān)重要．他在著作(文獻(xiàn)[3]，第29節(jié))中生動(dòng)地寫道：“第一個(gè)使我撥云見日的是拉弗教授，他教了我?guī)讉€(gè)學(xué)期，使我對(duì)分析有了第一個(gè)嚴(yán)肅的概念．但最使我感激的是他建議我閱讀M．E．C．若爾當(dāng)(Jordan)的名著《分析教程》(Cours d’analyse)．我永遠(yuǎn)不會(huì)忘記我讀那本杰作時(shí)的震驚，這是我這代數(shù)學(xué)家受到的第一個(gè)啟迪，讀這本書時(shí)我才第一次認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)真正意味著什么．” 哈代在大學(xué)學(xué)習(xí)期間成績(jī)優(yōu)異．1898年，他參加了劍橋的數(shù)學(xué)榮譽(yù)學(xué)位考試，這是劍橋大學(xué)的傳統(tǒng)之一，始于18世紀(jì)．哈代成為一等及格者，這主要得益于他平時(shí)在迅速解題方面的有效訓(xùn)練，但對(duì)傳統(tǒng)極具反抗精神的哈代認(rèn)為這種考試是沒有意義的．1900年，他被選為三一學(xué)院的研究員，隨后以極大的熱情投入數(shù)學(xué)研究中，第二年與J．H．金斯(Jeans)共同獲得了史密斯獎(jiǎng)金．1906年他成為三一學(xué)院的講師，直到1919年一直在那兒工作．1900—1911年間哈代寫出大量級(jí)數(shù)收斂、求積分及有關(guān)問題的論文，這些論文為他贏得了分析學(xué)家的聲望．1908年，他的名著《純粹數(shù)學(xué)教程》(A course of pure mathematics)出版了，這部教科書改變了英國(guó)大學(xué)中的教學(xué)狀況．1910年，他當(dāng)選為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員．隨后，被哈代自稱為生活中的真正的轉(zhuǎn)折點(diǎn)出現(xiàn)了，1911年他開始了同J．E．李特爾伍德(Littlewood)的長(zhǎng)期合作，1913年他發(fā)現(xiàn)了S．A．拉馬努金(Ramanujan)． 哈代長(zhǎng)李特爾伍德8歲，他們結(jié)識(shí)于1904年，在長(zhǎng)達(dá)35年的合作中，聯(lián)名發(fā)表了約100篇論文，其中包括丟番圖逼近、堆壘數(shù)論、數(shù)的積性理論、黎曼ξ函數(shù)、不等式、一般積分、三角級(jí)數(shù)等廣泛的內(nèi)容．哈代-李特爾伍德極大函數(shù)，哈代-李特爾伍德圓法，哈代-李特爾伍德定理等聯(lián)系著二人名字的數(shù)學(xué)成果正是他們親密合作的寫照．在他們集中合作的1920—1931年間，哈代執(zhí)教于牛津而李特爾伍德執(zhí)教于劍橋，他們通過學(xué)院的郵政來郵寄數(shù)學(xué)信件，即使二人同在三一學(xué)院時(shí)也是如此，并且他們達(dá)成一種默契：當(dāng)互相收到信件時(shí)，先不讀解法，而是要獨(dú)立解決其中的問題，直到取得一致意見，最后由哈代定稿．當(dāng)時(shí)，一些不了解內(nèi)情的國(guó)外數(shù)學(xué)家認(rèn)為李特爾伍德根本不存在，只是哈代虛構(gòu)的一個(gè)筆名．事實(shí)上，李特爾伍德本身就是一個(gè)出色的數(shù)學(xué)家．通過這種密切的學(xué)術(shù)合作，二人互相切磋促進(jìn)，共同建立了20世紀(jì)上半葉具有世界水平的英國(guó)劍橋分析學(xué)派． 哈代稱自己對(duì)拉馬努金的發(fā)現(xiàn)是他一生中的一段浪漫的插曲．拉馬努金出生于印度的馬德拉斯(Madras)，幼年即顯示出數(shù)學(xué)的興趣和才能，但因生活貧困，要不斷為生計(jì)奔波，只能靠自學(xué)汲取數(shù)學(xué)知識(shí)．1913年初他給哈代寄了一封信，信中陳述了他對(duì)素?cái)?shù)分布的研究并列有120條公式，涉及數(shù)學(xué)中多個(gè)領(lǐng)域．這些公式大部分已被別人證明，有些看起來容易，實(shí)際上證明起來很困難．特別是后來被L．J．羅杰斯(Rogers)和G．N．沃森(Watson)證明的三個(gè)公式完全難倒了哈代．哈代確信拉馬努金是一位數(shù)學(xué)天才，于是邀請(qǐng)他到英國(guó)，但作為一個(gè)婆羅門教的信徒，拉馬努金對(duì)離開印度感到躊躇．哈代繼續(xù)力勸拉馬努金到劍橋，并經(jīng)多方努力為他安排了獎(jiǎng)學(xué)金，1914年4月，拉馬努金來到英國(guó)．哈代花了很多心血教授拉馬努金現(xiàn)代歐洲數(shù)學(xué)知識(shí)，他發(fā)現(xiàn)拉馬努金知識(shí)的局限竟然與它的深?yuàn)W同樣令人吃驚．拉馬努金對(duì)于證明僅有一種模糊不清的概念，對(duì)于變量的增量、柯西定理根本不熟悉，但是對(duì)于數(shù)值和組合方面的事實(shí)，連分?jǐn)?shù)、發(fā)散級(jí)數(shù)及積分、數(shù)的分拆、黎曼ξ函數(shù)和各種特殊級(jí)數(shù)卻有深度的理解．他有很強(qiáng)的直覺和推理能力，其工作和思維方式多具挑戰(zhàn)性．在哈代和李特爾伍德等人的幫助下，拉馬努金進(jìn)步很快，在素?cái)?shù)分布、堆壘數(shù)論、廣義超幾何級(jí)數(shù)、橢圓函數(shù)、發(fā)散級(jí)數(shù)等領(lǐng)域取得了很多成果．他在歐洲的5年里發(fā)表了21篇論文，17篇注記，其中幾篇是與哈代合作的．他和哈代一起對(duì)整數(shù)分拆問題作出了驚人的解決，首創(chuàng)了正整數(shù)n的分拆數(shù)p(n)的漸近公式，這無疑源自拉馬努金那極強(qiáng)的洞察力和哈代對(duì)于函數(shù)理論的嫻熟掌握．哈代與拉馬努金的成功合作并未持續(xù)太久．1917年5月拉馬努金患上了肺結(jié)核病，由于戰(zhàn)爭(zhēng)條件及宗教信仰的束縛，拉馬努金未得到良好的醫(yī)治．1919年2月他回到了印度，次年4月去世，年僅33歲．哈代對(duì)這位印度數(shù)學(xué)奇才的英年早逝深感痛惜，他參與整理了拉馬努金的論文集，并著有《拉馬努金》(Ramanujan，1940)一書，書中包括關(guān)于拉馬努金生活和工作的12篇演講稿，比較詳細(xì)地記述了拉馬努金的生平和研究成果，并作了適當(dāng)?shù)脑u(píng)論，是了解和研究拉馬努金的重要文獻(xiàn)．哈代和拉馬努金這一段交往也長(zhǎng)期被數(shù)學(xué)界傳為佳話． 1914年第一次世界大戰(zhàn)爆發(fā)后，哈代強(qiáng)烈反對(duì)對(duì)那些反戰(zhàn)者的殘酷迫害，譴責(zé)對(duì)進(jìn)行反戰(zhàn)宣傳的B．A．W．羅素(Russell)的解職和監(jiān)禁．后來，在一本秘密傳播的小冊(cè)子《羅素和三一》(BerrardRussell and Trinity，1970)中，他描述了羅素事件及圍繞這件事掀起的巨大波瀾．1919年，他離開劍橋應(yīng)聘牛津大學(xué)薩維爾幾何學(xué)教授，這一榮譽(yù)職位是依照英國(guó)數(shù)學(xué)家H．薩維爾(Savile)的意見設(shè)立的，他曾于1585—1592年任默頓學(xué)院院長(zhǎng)．哈代在牛津創(chuàng)立了一個(gè)活躍的研究團(tuán)體．1928—1929年間他前往美國(guó)普林斯頓做訪問教授，與美國(guó)數(shù)學(xué)家O．維布倫(Veblen)交換．1931年重返劍橋，接替E．W．霍布森(Hobson)成為塞得林(Sadleirian)純粹數(shù)學(xué)教授，居此位直至1942年退休．1947年，哈代當(dāng)選為法國(guó)科學(xué)院外籍院士，是從各國(guó)各研究領(lǐng)域中選出的10位科學(xué)家之一．他還擔(dān)任過全國(guó)科學(xué)工作者學(xué)會(huì)主席，倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)主席．在他的數(shù)學(xué)研究生涯中，獲得了許多大學(xué)和研究院的獎(jiǎng)勵(lì)．1920年獲皇家勛章，1929年獲德·摩根獎(jiǎng)?wù)拢?940年獲西爾威斯特獎(jiǎng)?wù)拢?947年獲皇家學(xué)會(huì)最高獎(jiǎng)?wù)驴破绽?jiǎng)?wù)拢? 哈代外貌漂亮，很有風(fēng)度．他和妹妹都終生未婚，他得到了胞妹始終如一的精心照料，尤其在他的晚年．1947年，哈代在劍橋辭世． 哈代被譽(yù)為20世紀(jì)杰出的分析學(xué)家，他的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)涉及解析數(shù)論、調(diào)和分析、函數(shù)論等方面．他一生著述頗豐，計(jì)有8部專業(yè)書籍和大約350篇論文，包括獨(dú)著或合作的，全部在《倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)雜志》(Journal of the London Mathematical Society，1950)中列出，論文選從1966年開始在牛津出版了7卷，由倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)的成員校訂，并附有注釋． 1．研究堆壘數(shù)論、首創(chuàng)圓法 整數(shù)分拆是堆壘數(shù)論的一個(gè)基本問題，即把正整數(shù)n分成不計(jì)次序的若干個(gè)正整數(shù)之和．如n=n1 +n2+…+ns(n1 ≥n2≥…≥ns＞0)為n的一種分拆．以p(n)記n的不加限制條件的所有分拆個(gè)數(shù)，當(dāng)n增加時(shí)，p(n)值迅速增加，如p(200)是一個(gè)13位數(shù)，p(500)是一個(gè)22位數(shù)． 1748年，歐拉通過高超的手算技巧導(dǎo)出p(n)的母函數(shù) 此后，關(guān)于整數(shù)分拆的研究不斷發(fā)展，但限于初等方法，未引入實(shí)質(zhì)性的分析思想，只能相當(dāng)繁瑣地計(jì)算較小整數(shù)的分拆數(shù)．1916年，極富經(jīng)驗(yàn)與熱情的英國(guó)計(jì)算專家P．A．麥克馬洪(Macmahon)花了一個(gè)月時(shí)間算出p(200)=3972 999 029 388．整數(shù)分拆理論研究中實(shí)質(zhì)性的突破發(fā)生在1918年．哈代和拉馬努金合作發(fā)表論文“組合分析中的漸近公式”(Asymptotic formulae in com-binatory analysis)，應(yīng)用新的分析方法——圓法的思想給出了p(n)的漸近公式 在此之前，他們?cè)贸醯确椒ㄗC明了p(n)的估計(jì)式 利用哈代-拉馬努金公式，8項(xiàng)就能求出p(200)的值，誤差僅為0.004．為了確切計(jì)算任意大的n的分拆數(shù)，他們又得出p(n)的既漸近又準(zhǔn)確的分解式．進(jìn)一步的結(jié)果是H．拉德馬赫爾(Rad-emacher)1937年得到的級(jí)數(shù)表達(dá)式 其中 哈代與拉馬努金的工作在近代堆壘數(shù)論的研究中具有劃時(shí)代的意義，不僅在數(shù)論領(lǐng)域引起數(shù)學(xué)家們的極大興趣，而且促進(jìn)了改進(jìn)的經(jīng)典分析和現(xiàn)代不等式理論的發(fā)展． 華林問題是堆壘數(shù)論中另一個(gè)著名問題，1770年由英國(guó)數(shù)學(xué)家E．華林(Waring)提出，可敘述為：對(duì)于每個(gè)整數(shù)k≥2，存在一個(gè)正整數(shù)s(k)，使得每個(gè)正整數(shù)n是s個(gè)非負(fù)的k次方數(shù)之和，即不定方程 對(duì)所有整數(shù)n≥0有非負(fù)整數(shù)解xj (1≤j≤s)．記s(k)的最小值為g(k)．1909年，希爾伯特證明了華林猜想，但他只完成對(duì)每個(gè)k，g(k)存在性的證明，未給出對(duì)任意k，確定g(k)值的方法．其后幾位數(shù)學(xué)家的工作同樣限于存在性的證明．哈代和李特爾伍德的工作改變了這一狀況，他們討論使方程(1)對(duì)充分大的n可解的s(k)的最小值G(k)，這比討論g(k)更有意義．1919年，他們發(fā)表了“華林問題新解法”(A new solution of W-aring’s problem)一文，1920—1928年，他們以“‘分拆數(shù)’的一些問題”(Some problems of“partitio numerorum”)為主標(biāo)題發(fā)表了一系列文章，開創(chuàng)并發(fā)展了后來以“哈代-李特爾伍德圓法”而著稱的研究方法． 以rs，k (n)表示方程(1)的解數(shù)，令 所以 將積分區(qū)間稍微平移，作法里(Farey)分割，將[0，1]分為優(yōu)弧和劣弧兩部分，優(yōu)弧由分母較小的分?jǐn)?shù)的小區(qū)間組成；劣弧由[0，1]其余部分組成．從優(yōu)弧上的積分可以計(jì)算出rs,k (n)的主項(xiàng)，問題歸結(jié)為從劣弧上的積分推導(dǎo)出rs,k (n)余項(xiàng)的研究，這就是圓法．哈代和李特爾伍德在1922年證明了當(dāng)s≥(k-2)2k-1 +5時(shí)，rs,k (n)有一個(gè)漸近公式，從而推出對(duì)任意k，G(k)≤(k-2)2k-1 +5．對(duì)于較小的k，1938年華羅庚證明了當(dāng)s≥2k+1時(shí)，rs,k (n)有漸近公式，得到G(k)≤2k+1，50年后R．C．沃恩(Vaughan)改進(jìn)為s≥2k2．對(duì)于較大的k，И．M．維諾格拉多夫(BиHOгpaдoв)用改進(jìn)的方法得到s≥[10k2log k]，華羅庚改進(jìn)其方法，推出當(dāng)k＞10時(shí)，s≥2k2(2 log k+log logk+2.5)．此外已經(jīng)知道G(2)=4，1939年，H．達(dá)文波特(Davenport)證明了G(4)=16，1942年，Ю．B．林尼克(Линик)證明了G(3)≤7．通過哈代-李特爾伍德圓法，k＞3的G(k)的最好估計(jì)已經(jīng)得到：當(dāng)k→∞，G(k)≤k(logk)(2+o(1))． 哈代-李特爾伍德圓法的特色之一是它適用于堆壘數(shù)論中的各種問題，尤其是在哥德巴赫猜想的研究中有有效的應(yīng)用．以哈代和李特爾伍德的工作為起點(diǎn)，維諾格拉多夫、華羅庚、達(dá)文波特等人對(duì)這一方法的發(fā)展做出了各自的貢獻(xiàn)(詳見文獻(xiàn)[12])． 2．黎曼猜想研究中的突破 哈代的工作涉及解析數(shù)論的多個(gè)分支．黎曼猜想即為其中之一．1859年，G．F．B．黎曼(Riemann)提出猜想：復(fù)變函數(shù) 的全部非平凡零點(diǎn)都位于直線 上．后來這一猜想成為著名的希爾伯特23問題中第8問題的首要問題，它的解決聯(lián)系著數(shù)論中的許多問題．哈代對(duì)這個(gè)問題特別感興趣，發(fā)表了多篇討論ξ(s)函數(shù)的論文．1914年，他證明了ξ(s)有無窮多零點(diǎn)位于直線 上，在黎曼猜想的研究中取得了重大突破．若以N0 (T)表示ξ(s)在 直線段上的零點(diǎn)數(shù)目，則當(dāng)T→∞時(shí)，N0 (T)→∞．1921年，哈代與李特爾伍德證明了存在A＞0，使N0 (T)＞AT，這一定理作為當(dāng)時(shí)關(guān)于黎曼猜想的最好結(jié)果保持了20多年．在此基礎(chǔ)上，A．塞爾伯格(Selberg)于1942年、N．萊文生(Levison)于1974年作了重要推進(jìn)，但此猜想至今未被證明或否定．自哈代的工作之后，圍繞黎曼猜想已發(fā)展成為錯(cuò)綜復(fù)雜的分析分支——ξ(s)函數(shù)理論．在假定黎曼猜想成立的前提下，哈代曾在論文中指出哥德巴赫問題的研究方法和方向． 3．開經(jīng)典Hp 空間理論之端 Hp 空間又稱哈代空間，是勒貝格(Lp )以外重要的函數(shù)空間之一．單變量的Hp 空間，最早來源于復(fù)變函數(shù)論．1915年，哈代引入了單變量Hp 函數(shù)類：對(duì)于在復(fù)平面的單位圓|z|＜1內(nèi)解析的函數(shù)f(z)，如果當(dāng)r→1時(shí)，積分平均值 則稱f(z)屬于Hp ．這被認(rèn)為是經(jīng)典Hp 空間理論的開端．1923年F．里斯(Riesz)證明了Hp 空間是完備的賦范空間并命名為哈代空間，簡(jiǎn)記為Hp ，是復(fù)變函數(shù)論的重要研究對(duì)象之一．哈代和李特爾伍德還證明了一系列關(guān)于邊界函數(shù)光滑性、Hp 空間函數(shù)的積分、Hp 空間中函數(shù)的系數(shù)及重排方面的定理．И．И．普里瓦洛夫(привалов)、F．里斯和M．里斯兄弟、B．и．斯米爾諾夫(смирнов)及G．賽格(Szeg )等人都對(duì)經(jīng)典Hp 空間理論做出過貢獻(xiàn)．近年來又有許多推廣，調(diào)和分析、復(fù)分析、泛函分析及偏微分方程的許多問題都是在Hp 空間中討論的． 4．主要數(shù)學(xué)著作 《純粹數(shù)學(xué)教程》是哈代早期對(duì)數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn)．這是英國(guó)第一部嚴(yán)謹(jǐn)精確的關(guān)于數(shù)、函數(shù)、極限等內(nèi)容的講解性著作，適于大學(xué)在校生學(xué)習(xí)，受到普遍歡迎，1952年已發(fā)行到第10版．這本書的主要特點(diǎn)是內(nèi)容比較基本，未涉及一致收斂、二重級(jí)數(shù)、無窮乘積等內(nèi)容．另一特色是章末附有大量有一定難度的習(xí)題．哈代認(rèn)為他已盡量避免包含真正困難的思想．1937年第7版，哈代又在章末插入一些由拉弗教授提供的從過去20年的數(shù)學(xué)榮譽(yù)學(xué)位考試中精選出的試題，這些題目對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)大有裨益．此書初寫時(shí)，分析在劍橋不被重視，學(xué)生的水平也較低，而20年后卻出現(xiàn)了一股研究分析的熱潮，哈代及其著作對(duì)這一轉(zhuǎn)變起到了不可忽視的作用．《純粹數(shù)學(xué)教程》不僅吸引了在校生，激發(fā)了他們的思想和才干，而且對(duì)一些青年分析學(xué)家也產(chǎn)生了有益的影響． 哈代與李特爾伍德、G．波利亞(pólya)合著的《不等式“(Inequalities，1934)也是一部重要著作，常被作為文獻(xiàn)引用．立中內(nèi)容共分10章，介紹了各種類型的不等式，任意函數(shù)平均值和收斂函數(shù)理論，微積分的各種應(yīng)用，無窮級(jí)數(shù)，變分學(xué)的應(yīng)用以及與雙線性型和多重線性型有關(guān)的定理，希爾伯特不等式和它的模擬及開拓．其中包括一些哈代的獨(dú)創(chuàng)性工作，如哈代不等式是他在試圖化簡(jiǎn)希爾伯特定理的證明時(shí)發(fā)現(xiàn)的，在Hp 空間理論中有重要應(yīng)用． 《發(fā)散級(jí)數(shù)》(Divergent series，1949)是哈代逝世前不久完成的一部較有影響的著作．李特爾伍德在序言中寫道：“他所有的著作都給他帶來了某種程度的快樂，而這一本，他最后的一部書，則是他最珍愛的”．事實(shí)上，從1931年哈代返回劍橋時(shí)就開始間斷地收集有關(guān)的文獻(xiàn)，并對(duì)這本書的價(jià)值充滿信心．1821年，A．L．柯西(Cauchy)嚴(yán)格定義了收斂概念后，人們只注重收斂級(jí)數(shù)的討論．直至19世紀(jì)末才開始發(fā)散級(jí)數(shù)的明確研究．哈代在其著作中總結(jié)了發(fā)散級(jí)數(shù)的歷史發(fā)展概況、研究方法及成果．求和法是發(fā)散級(jí)數(shù)理論的主要研究課題之一，即把不收斂的級(jí)數(shù)的和給予適當(dāng)?shù)慕忉尪右远x，使其在柯西意義下給出有限的和．哈代書中介紹的方法有特殊求和法、算術(shù)方法、歐拉和波萊爾方法、豪斯多夫方法，還論述了冪級(jí)數(shù)的陶伯型定理、維納的陶伯型定理、歐拉-馬克勞林求和公式．哈代在陶伯型定 此外，哈代對(duì)丟番圖逼近、素?cái)?shù)分布理論、哥德巴赫猜想均有較深入的研究，他與E．M．賴特(Wright)合著的《數(shù)論導(dǎo)引》(An introduction to the theory of numbers，1938)包括24章，論及數(shù)論領(lǐng)域的廣泛的內(nèi)容．哈代在積分變換、積分方程、三角級(jí)數(shù)理論等方面也有貢獻(xiàn)，著有《單變量函數(shù)積分》(The integrationof functions of a single variable，1905)、《無窮序數(shù)》(Orders ofinfinity，1910)、《狄利克雷級(jí)數(shù)的一般理論》(The general theoryof Dirichlet’s series，1915，與里斯合著)、《傅里葉級(jí)數(shù)》[Fourierseries，1944，與W．W．羅戈辛斯基(Rogosinski)合著]． 5．對(duì)生物數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn) 哈代在數(shù)學(xué)上的研究還使他有機(jī)會(huì)留名于生物數(shù)學(xué)的著作中．1908年，他在美國(guó)《自然》(Science)雜志上發(fā)表文章“混合種群中的孟德爾比率”(Mendelian proportions in a mixedpopulation)，建立了描述群體遺傳平衡的代數(shù)方程，得出結(jié)果：一個(gè)大的隨機(jī)交配的種群在沒有遷移、選擇和突變的情況下，基因頻率和基因型頻率在任何世代都是恒定的，從而解決了關(guān)于顯性和隱性遺傳特性在大量混合群體中以何種比例遺傳的爭(zhēng)論．這一結(jié)果在研究許多遺傳問題，包括Rh血型的分布和血友病時(shí)極為重要，是群體遺傳學(xué)的基礎(chǔ)．同年，德國(guó)醫(yī)師S．溫伯格(Wenb-erg)也獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了相同的原理，后被稱為哈代-溫伯格定律． 6．品格、愛好、數(shù)學(xué)觀點(diǎn) 作為一位知名數(shù)學(xué)家，哈代的人品和他的學(xué)問同樣受到贊譽(yù)．他健談，談話可以吸引周圍很多人；他嚴(yán)于律己，參加該出席的各種會(huì)議，履行自己的職責(zé)；他富于正義感，痛恨戰(zhàn)爭(zhēng)，一生中不喜歡任何虛偽的東西． 哈代為人謙和，經(jīng)常強(qiáng)調(diào)其他合作者的重要性而對(duì)自己輕描淡寫，他曾說過正是得益于與李特爾伍德和拉馬努金的平等合作才達(dá)到了他不尋常的大器晚成．哈代具有出色的與他人合作的才能，E．C．蒂奇馬什(Titchmarsh)、A．E．英哈姆(Ingham)、波利亞、E．蘭道(Landau)、M．里斯等20世紀(jì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的精英人物都曾是他的合作者．哈代引導(dǎo)許多年輕人邁入他們?cè)缙谘芯康拇箝T，在他們面臨困難時(shí)給予幫助和鼓勵(lì)．N．維納(Wiener)在他的自傳《我是一個(gè)數(shù)學(xué)家》(I am a mathematician，1956)中多次表達(dá)了他對(duì)哈代的欽佩與感激之情．華羅庚在赴劍橋大學(xué)進(jìn)修時(shí)亦得到過哈代的指導(dǎo)和幫助．1936年，華羅庚被維納推薦給哈代，惜才的哈代對(duì)華羅庚極為賞識(shí)．華羅庚在解析數(shù)論，尤其是圓法與三角和估計(jì)方面的研究成果是與他在劍橋的學(xué)習(xí)和研究分不開的． 除熱衷數(shù)學(xué)研究之外，哈代的主要興趣在球類運(yùn)動(dòng)上，尤其對(duì)于板球，他是一個(gè)能夠掌握最新技術(shù)的球手和經(jīng)驗(yàn)豐富的評(píng)論家． 哈代曾說他之所以選擇數(shù)學(xué)作為自己的事業(yè)主要是因?yàn)閿?shù)學(xué)是他能做得最好的一件事，而不是由于別的堂皇的理由．他的數(shù)學(xué)成就基于他對(duì)數(shù)學(xué)的無限熱愛和全身心投入．他說研究工作一直是他一生中經(jīng)久不衰的一大樂事，數(shù)學(xué)是他為之耗盡了畢生精力的學(xué)科． 哈代在《一個(gè)數(shù)學(xué)家的自白》[3]中表達(dá)了他對(duì)數(shù)學(xué)的看法．這本書在西方數(shù)學(xué)界有一定的影響，經(jīng)常被引用，但其中的某些觀點(diǎn)也是有爭(zhēng)議的．對(duì)于數(shù)學(xué)是否有其自身的存在狀態(tài)，哈代寫道：我認(rèn)為數(shù)學(xué)實(shí)體是在我們之外而存在的，我們的作用就是去發(fā)現(xiàn)它、觀察它，那些被夸張地描繪成我們的‘創(chuàng)造物’的定理，不過是我們觀察的記錄而已．”對(duì)于數(shù)學(xué)美，哈代認(rèn)為：“數(shù)學(xué)的美可能很難定義，但它的確是一種真實(shí)的美”，“最好的數(shù)學(xué)既是美的，同時(shí)又是嚴(yán)肅的”．哈代對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用，特別是應(yīng)用于戰(zhàn)爭(zhēng)很反感．他將純粹數(shù)學(xué)視為真正的數(shù)學(xué)而與應(yīng)用數(shù)學(xué)劃清界線．他得出結(jié)論：“純粹數(shù)學(xué)就總體而論顯然比應(yīng)用數(shù)學(xué)有用．一個(gè)純粹數(shù)學(xué)家似乎不僅在美學(xué)方面而且在實(shí)用方面都占有優(yōu)勢(shì)．因?yàn)橛杏玫臇|西主要是技巧，而數(shù)學(xué)技巧主要是通過純粹數(shù)學(xué)來傳播的．”“真正的數(shù)學(xué)對(duì)戰(zhàn)爭(zhēng)毫無影響”，“是一門‘無害而清白’的職業(yè)．” 哈代被公認(rèn)為他所處時(shí)代的英國(guó)純粹數(shù)學(xué)的領(lǐng)導(dǎo)人，他的活力和熱情清晰地印在所有認(rèn)識(shí)他的人的記憶中，他的作品顯示出了他過硬的專業(yè)知識(shí)和對(duì)英語(yǔ)文體的精通．“我曾為知識(shí)領(lǐng)域添磚加瓦，也曾幫別人添枝加葉；這些東西的價(jià)值，比起身后留下某種紀(jì)念物的大數(shù)學(xué)家或任何其他大大小小的藝術(shù)家們創(chuàng)造的價(jià)值，只是程度上有所不同，性質(zhì)上并無差異．”[3]這就是哈代對(duì)自己一生的總結(jié)和評(píng)價(jià)． |
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