2013年上海高考題（理科）第14題講評

大罕

   【題目】14．對區(qū)間I上有定義的函數g(x)，記g(I)={y|y=g(x),x∈I}.已知定義域為[0,3]的函數y=f(x)有反函數y=f^-1(x)，且f^-1([0,1))=[1,2)，f^-1((2,4])=[0,1)，若方程f(x)-x=0有解x₀，則x₀=       .

   【解答】由已知g（I）={y|y=g（x），x∈I}，且f^-1([0,1))=[1,2)，f^-1((2,4])=[0,1)，根據反函數定義知：
    對于函數f（x），
    當x∈[0，1）時，f（x）∈（2，4]，此時方程f（x）-x=0 即f（x）=x無解；
    當x∈[1，2）時，f（x）∈[0，1），此時方程f（x）-x=0即f（x）=x也無解；
    也就是說當x∈[0，2）時方程f（x）-x=0即f（x）=x是無解的，
    但已知方程f（x）-x=0有解x₀，且定義域為[0，3]，
    所以當x∈[2，3]時，f（x）的值域應包含于集合（-∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），
    故若f（x₀）=x₀，只有x₀=2．

   【點評】又是一道“創(chuàng)新題”！不過，這個創(chuàng)新是打了引號了的.定義g(x)，是為了引進一個僅在本題使用的符號——f（I)，其中的I是一個區(qū)間.不過，這一設計確實給一些學生制造了障礙！
    數學試題常用這樣一種辦法考察學生：本來可以直接給出的條件或結論，試題設計者故意繞道而行，繞過含有其它知識點或能力點的圈子，才能達到目標.這叫“繞道法”.
    我們知道，有反函數的函數，其對應關系是一一對應的；原函數與反函數的定義域和值域是互為交換的.因此與f^-1([0,1))=[1,2)，f^-1((2,4])=[0,1)相應的就有：f([1,2))=[0,1)，f[(0,1))=(2,4].本題就是繞了這么一個圈子！于是，本題的條件完全可以這樣直白地敘述：對于定義在[0,3]的分段函數y=f(x)，當x∈[0，1）時，y∈（2，4]；當x∈[1，2）時，y∈[0，1）.
    剩下的問題就比較清楚了.既然函數y=f(x)的定義域是[0,3]，現在已給出了x∈[0，1）和x∈[1，2）時函數值所在的范圍，那么x∈[0，3]時函數值應該在什么范圍？C_R((2,4]∪[0,1))=(-∞,0)∪[1,2]∪(4,+∞)，而這個范圍內符合條件的只有唯一的x₀=2．