運(yùn)用萬有引力定律求解天體運(yùn)動(dòng)問題，是高考每年必考的重要內(nèi)容，通過對(duì)近幾年全國(guó)及各地高考試題的研究，發(fā)現(xiàn)天體問題可歸納為以下四種模型。

　　一、重力與萬有引力關(guān)系模型

　　1．考慮地球（或某星球）自轉(zhuǎn)影響，地表或地表附近的隨地球轉(zhuǎn)的物體所受重力實(shí)質(zhì)是萬有引力的一個(gè)分力

　　由于地球的自轉(zhuǎn)，因而地球表面的物體隨地球自轉(zhuǎn)時(shí)需要向心力，向心力必來源于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，重力實(shí)際上是萬有引力的一個(gè)分力，由于緯度的變化，物體作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力也不斷變化，因而地球表面的物體重力將隨緯度的變化而變化，即重力加速度的值g隨緯度變化而變化；從赤道到兩極逐漸增大．在赤道上，在兩極處，。

　　例1　如圖１所示，Ｐ、Ｑ為質(zhì)量均為m的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，分別置于地球表面不同緯度上，如果把地球看成是一個(gè)均勻球體，Ｐ、Ｑ兩質(zhì)點(diǎn)隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則以下說法中正確的是：（　　）

　　A．P、Q做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小相等　     B．P、Q受地球重力相等

　　C．P、Q做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度大小相等　     D．P、Q做圓周運(yùn)動(dòng)的周期相等

　　解析：隨地球自轉(zhuǎn)的物體必與地球有相同的周期、角速度；質(zhì)量一樣的物體在地表不同緯度處所受地球萬有引力一般大,但重力和向心力不一般大．正確選項(xiàng)是CD。

　　2．忽略地球（星球）自轉(zhuǎn)影響，則地球（星球）表面或地球（星球）上方高空物體所受的重力就是地球（星球）對(duì)物體的萬有引力．

　　例2　蕩秋千是大家喜愛的一項(xiàng)體育活動(dòng)．隨著科技的迅速發(fā)展，將來的某一天，同學(xué)們也許會(huì)在其它星球上享受蕩秋千的樂趣。假設(shè)你當(dāng)時(shí)所在星球的質(zhì)量是、半徑為，可將人視為質(zhì)點(diǎn)，秋千質(zhì)量不計(jì)、擺長(zhǎng)不變、擺角小于90°，萬有引力常量為。那么，

　　（1）該星球表面附近的重力加速度等于多少？

　　（2）若經(jīng)過最低位置的速度為,你能上升的最大高度是多少？

　　解析：（1）設(shè)人的質(zhì)量為,在星球表面附近的重力等于萬有引力，有

　　解得  

　?。?）設(shè)人能上升的最大高度為,由功能關(guān)系得

　　解得

　　二、衛(wèi)星（行星）模型

　　衛(wèi)星（行星）模型的特征是衛(wèi)星（行星）繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖2所示。

　　1．衛(wèi)星（行星）的動(dòng)力學(xué)特征

　　中心天體對(duì)衛(wèi)星（行星）的萬有引力提供衛(wèi)星（行星）做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即有：。

　　2．衛(wèi)星（行星）軌道特征

　　由于衛(wèi)星（行星）正常運(yùn)行時(shí)只受中心天體的萬有引力作用，所以衛(wèi)星（行星）平面必定經(jīng)過中心天體中心。

　　3．衛(wèi)星（行星）模型題型設(shè)計(jì)

　　1)討論衛(wèi)星（行星）的向心加速度、繞行速度、角速度、周期與半徑的關(guān)系問題。

　　由得，故越大，越小。

　　由得，故越大，越小。

　　由得，故越大，越小。

　　得，故越大，越長(zhǎng)。

　　例3　我國(guó)將要發(fā)射一顆繞月運(yùn)行的探月衛(wèi)星“嫦娥1號(hào)”。設(shè)該衛(wèi)星的軌道是圓形的，且貼近月球表面．已知月球的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的，月球的半徑約為地球半徑的,地球上的第一宇宙速度約為7．9km/s，則該探月衛(wèi)星繞月運(yùn)行的速率約為（   ）

　　A．0．4km/s     B．1．8km/s    C．11km/s    D．36km/s

　　解析：由得，當(dāng)衛(wèi)星半徑時(shí)，稱之為該中心天體的第一宇宙速度．所以有，解得，所以正確答案為B。

　　2)求中心天體的質(zhì)量或密度（設(shè)中心天體的半徑）

　　若已知衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期與半徑

　　根據(jù)得，則

　　若已知衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度與半徑

　　由得，則

　　若已知衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度與周期

　　由和得，則

　　若已知中心天體表面的重力加速度及中心天體的球半徑

　　由得，則

　　例4　一飛船在某行星表面附近沿圓軌道繞該行星飛行，認(rèn)為行星是密度均勻的球體，要確定該行星的密度，只需要測(cè)量（   ）

　　A．飛船的軌道半徑                         B．飛船的運(yùn)行速度

　　C．飛船的運(yùn)行周期                         D．行星的質(zhì)量

　　解析：根據(jù)得，則

　　由于飛船在某行星表面附近沿圓軌道繞該行星飛行，所以上式中，即。

　　所以正確答案為C。

　　3)衛(wèi)星的變軌問題

　　衛(wèi)星繞中心天體穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)時(shí)萬有引力提供了衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，有．當(dāng)衛(wèi)星由于某種原因速度突然增大時(shí)，，衛(wèi)星將做離心運(yùn)動(dòng)；當(dāng)突然減小時(shí)，，衛(wèi)星做向心運(yùn)動(dòng)。

　　例5　“神舟六號(hào)”飛行到第５圈時(shí)，在地面指揮控制中心的控制下，由近地點(diǎn)250km圓形軌道1經(jīng)橢圓軌道2轉(zhuǎn)變到遠(yuǎn)地點(diǎn)350km的圓軌道3。設(shè)軌道2與1相切于Q點(diǎn)，與軌道3相切于P點(diǎn)，如圖３所示，則飛船分別在1、2、軌道上運(yùn)行時(shí)（　?。?/span>

　　A．飛船在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率

　　B．飛船在軌道3上的角速度小于在軌道1上的角速度

　　C．飛船在軌道1上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的加速度大于在軌道2上經(jīng)過Q點(diǎn)的加速度

　　D．飛船在軌道2上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的加速度等于在軌道3上經(jīng)過P點(diǎn)的加速度

　　解析：設(shè)地球質(zhì)量為M，地球半徑為R，飛船質(zhì)量為m，軌道半徑為r，由牛頓第二定律得和，即，，可見在r增大時(shí)，V和ω都將減小，故A錯(cuò)B對(duì)。飛船在同一點(diǎn)受到地球的萬有引力相同，其加速度必相同，與其在哪個(gè)軌道上運(yùn)動(dòng)無關(guān)，所以C錯(cuò)D對(duì)。正確選項(xiàng)為BD。

　　4)地球同步衛(wèi)星問題

　　地球同步衛(wèi)星是指相對(duì)地面靜止的、運(yùn)行周期與地球的自轉(zhuǎn)周期相等的衛(wèi)星，這種衛(wèi)星一般用于通訊，又叫做同步通信衛(wèi)星，其特點(diǎn)可概括為“五個(gè)一定”即位置一定（必須位于地球赤道的上空）；周期一定（）；高度一定（）；速率一定（）；運(yùn)行方向一定（自西向東運(yùn)行）。

　　例6　在地球上（看做質(zhì)量均勻分布的球體）上空有許多同步衛(wèi)星，下面說法中正確的是（ 　  ）

　　A．它們的質(zhì)量可能不同

　　B．它們的速度可能不同

　　C．它們的角速度可能不同

　　D．它們離地心的距離可能不同

　　解析：由同步衛(wèi)星的“五個(gè)一定”可知BCD錯(cuò)誤，正確答案為A。

　　5)衛(wèi)星的追及與相遇問題

　　兩衛(wèi)星在同一軌道繞中心天體同向運(yùn)動(dòng)，要使后一衛(wèi)星追上前一衛(wèi)星，我們稱之為追及問題。兩衛(wèi)星在不同軌道繞中心天體在同一平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩星某時(shí)相距最近時(shí)我們稱之為兩衛(wèi)星相遇問題。

　　例7　如圖4所示，a、b、c是在地球大氣層外圓形軌道上運(yùn)動(dòng)的3顆衛(wèi)星，下列說法正確的是（　?。?/span>

　　A．b、c的線速度大小相等，且大于a的線速度

　　B．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度

　　C．c加速可追上同一軌道上的b，b減速可等候同一軌道上的c

　　D．a(chǎn)衛(wèi)星由于某原因，軌道半徑緩慢減小，其線速度將增大

　　解析：因?yàn)閎、c在同一軌道上運(yùn)行，故其線速度大小、加速度大小均相等。又b、c軌道半徑大于a的軌道半徑，由知，，故A選項(xiàng)錯(cuò)；由加速度可知，故B選項(xiàng)錯(cuò)。

　　當(dāng)c加速時(shí)，c受到的萬有引力，故它將做離心運(yùn)動(dòng)；當(dāng)b減速時(shí)，b受到的萬有引力, 故它將做向心運(yùn)動(dòng)。所以無論如何c也追不上b，b也等不到c，故C選項(xiàng)錯(cuò)。

　　對(duì)a衛(wèi)星，當(dāng)它的軌道半徑緩慢減小時(shí)，在轉(zhuǎn)動(dòng)一段較短時(shí)間內(nèi)，可近似認(rèn)為它的軌道半徑未變，視為穩(wěn)定運(yùn)行，由知，r減小時(shí)v逐漸增大，故D選項(xiàng)正確。

　　例8　如圖5所示，A是地球的同步衛(wèi)星．另一衛(wèi)星B的圓形軌道位于赤道平面內(nèi)，離地面高度為h。已知地球半徑為R，地球自轉(zhuǎn)角速度為，地球表面的重力加速度為g，O為地球中心．

　　（1）求衛(wèi)星B的運(yùn)行周期。

　?。?）如衛(wèi)星B繞行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，某時(shí)刻A、B兩衛(wèi)星相距最近（O、B、A在同一直線上），則至少經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，他們?cè)僖淮蜗嗑嘧罱?/span>

　　解析：（1）由萬有引力定律和向心力公式得

　　忽略地球自轉(zhuǎn)影響有

　　解得

　　（2）設(shè)A、B兩衛(wèi)星經(jīng)時(shí)間再次相距最近，由題意得，又有

　　解得

　　6)衛(wèi)星的發(fā)射能量問題

　　發(fā)射衛(wèi)星過程中，火箭帶著衛(wèi)星克服地球引力做功，將消耗大量能量，所以發(fā)射軌道越高的衛(wèi)星，耗能越多，難度越大。同步衛(wèi)星必須自西向東運(yùn)行，才可以與地球保持相對(duì)靜止，故發(fā)射階段，火箭在合適之時(shí)應(yīng)盡量靠近赤道且自西向東輸送，以便利用地球自轉(zhuǎn)動(dòng)能，節(jié)省火箭能量。

　　例9　我中已經(jīng)擁有甘肅酒泉、山西太原和四川西昌三個(gè)衛(wèi)星發(fā)射中心，又計(jì)劃在海南建設(shè)一個(gè)航天發(fā)射場(chǎng)，預(yù)計(jì)2010年前投入使用．關(guān)于我國(guó)在2010年用運(yùn)載火箭發(fā)射一顆同步衛(wèi)星，下列說法正確的是（  ?。?/span>

　　A．在海南發(fā)射同步衛(wèi)星可以充分利用地球自轉(zhuǎn)的能量，從而節(jié)省能源

　　B．在酒泉發(fā)射同步衛(wèi)星可以充分利用地球自轉(zhuǎn)的能量，從而節(jié)省能源

　　C．海南和太原相比，在海南的重力加速度略微小一點(diǎn)，同樣的運(yùn)載火箭在海南可以發(fā)射質(zhì)量更大的同步衛(wèi)星

　　D．海南和太原相比，在太原的重力加速度略微小一點(diǎn)，同樣的運(yùn)載火箭在太原可以發(fā)射質(zhì)量更大的同步衛(wèi)星

　　解析：我國(guó)海南離赤道較近，火箭隨地球自轉(zhuǎn)線速度較大，具有的動(dòng)能較大，若沿自轉(zhuǎn)方向發(fā)射可以節(jié)省能源。離赤道越近，所需隨地球自轉(zhuǎn)的向心力越大，則重力加速度越小，發(fā)射時(shí)克服引力越容易，故在海南處可以發(fā)射質(zhì)量較大的衛(wèi)星。正確選項(xiàng)為AC。

　　三、雙星模型

　　宇宙中往往會(huì)有相距較近，質(zhì)量可以相比的兩顆星球，它們離其它星球都較遠(yuǎn)，因此其它星球?qū)λ鼈兊娜f有引力可以忽略不計(jì)。在這種情況下，它們將各自圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)O做同周期的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如圖6所示，這種結(jié)構(gòu)叫做雙星．雙星問題具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：

　　⑴由于雙星和該固定點(diǎn)O總保持三點(diǎn)共線，所以在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度必相等，即雙星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度必相等，因此周期也必然相同。

　?、朴捎诿款w星的向心力都是由雙星間相互作用的萬有引力提供的，因此大小必然相等，由可得，可得，，即固定點(diǎn)O離質(zhì)量大的星較近。

　　列式時(shí)須注意：萬有引力定律表達(dá)式中的r表示雙星間的距離，按題意應(yīng)該是L，而向心力表達(dá)式中的r表示它們各自做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，在本題中為r₁、r₂，千萬不可混淆。

　　例10　神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測(cè)雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．天文學(xué)家觀測(cè)河外星系大麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了LMCX－3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成。兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其它天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變，如圖7所示。引力常量為G，由觀測(cè)能夠得到可見星A的速率v和運(yùn)行周期T。

　　（1）可見星A所受暗星B的引力F_A可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m’的星體（視為質(zhì)點(diǎn)）對(duì)它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m₁、m₂，試求m’（用m₁、m₂表示）；

　?。?）求暗星B的質(zhì)量m₂與可見星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m₁之間的關(guān)系式；

　?。?）恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽質(zhì)量m_s的2倍，它將有可能成為黑洞。若可見星A的速率v＝2．7×10⁵m/s，運(yùn)行周期T＝4．7π×10⁴s，質(zhì)量m₁＝6m_s，試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎？（G＝6．67×10^－11N·m²/kg²，m_s＝2．0×10³⁰kg）

　　解析：設(shè)A、B的圓軌道半徑分別為，由題意知，A、B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同，設(shè)其為。由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有，，

　　設(shè)A、B間距離為，則

　　由以上各式解得

　　由萬有引力定律，有，代入得

　　令，通過比較得

　　（2）由牛頓第二定律，有

　　而可見星A的軌道半徑

　　將代入上式解得

　?。?）將代入上式得

　　代入數(shù)據(jù)得

　　設(shè)，將其代入上式得

　　可見，的值隨的增大而增大，試令，得

　　可見，若使以上等式成立，則必大于2，即暗星B的質(zhì)量必大于，由此可得出結(jié)論：暗星B有可能是黑洞。

　　四、三星模型

　　例11　宇宙中存在一些離其它恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可忽略其它星體對(duì)它們的引力作用。已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行。設(shè)每個(gè)星體的質(zhì)量均為。

　　（1）試求第一種形式下，星體運(yùn)動(dòng)的線速度和周期。

　?。?）假設(shè)兩種形式星體的運(yùn)動(dòng)周期相同，第二種形式下星體之間的距離應(yīng)為多少？

　　解析：（1）星體運(yùn)動(dòng)的向心力是由另外兩星體對(duì)它的萬有引力提供，則有

　　解得，

　　（2）設(shè)第二種情形下星體做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為，則相鄰兩星體間距離，相鄰兩星體之間的萬有引力

　　由星體做圓周運(yùn)動(dòng)可知

　　由以上各式解得