數(shù)列通項(xiàng)與數(shù)列求和

二. 教學(xué)要求：

掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法與數(shù)列前n 項(xiàng)和的求法。能通過(guò)轉(zhuǎn)化的思想把非等差數(shù)列與非等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為兩類(lèi)基本數(shù)列來(lái)研究其通項(xiàng)與前n項(xiàng)的和。

三. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和，及其通項(xiàng)公式的求法。

難點(diǎn)：轉(zhuǎn)化的思想以及轉(zhuǎn)化的途徑。

四. 基本內(nèi)容及基本方法

1、求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法有：觀察法、公式法、待定系數(shù)法、疊加法、疊乘法、S_n法、輔助數(shù)列法、歸納猜想法等；

（1）根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫(xiě)出它的一個(gè)通項(xiàng)公式，關(guān)鍵在于找出這些項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，常用的方法有觀察法、通項(xiàng)法，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列法等．

（2）由S_n求a_n時(shí)，用公式a_n＝S_n－S_n－1要注意n≥2這個(gè)條件，a₁應(yīng)由a₁＝S₁來(lái)確定，最后看二者能否統(tǒng)一．

（3）由遞推公式求通項(xiàng)公式的常見(jiàn)形式有：a_n＋1－a_n＝f（n），＝f（n），a_n＋1＝pa_n＋q，分別用累加法、累乘法、迭代法（或換元法）．

2、數(shù)列的前n項(xiàng)和

（1）數(shù)列求和的常用方法有：公式法、分組求和法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、倒序求和法等。

求數(shù)列的前n項(xiàng)和，一般有下列幾種方法：

（2）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：

S_n＝           ＝          ．

（3）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：

①當(dāng)q＝1時(shí)，S_n＝          ．

②當(dāng)q≠1時(shí)，S_n＝          ．

（4）倒序相加法：將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列與原數(shù)列相加．主要用于倒序相加后對(duì)應(yīng)項(xiàng)之和有公因子可提的數(shù)列求和．

（5）錯(cuò)位相減法：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和．

（6）裂項(xiàng)求和法：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可直接求和的數(shù)列．

方法歸納：①求和的基本思想是“轉(zhuǎn)化”。其一是轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的求和，或者轉(zhuǎn)化為求自然數(shù)的方冪和，從而可用基本求和公式；其二是消項(xiàng)，把較復(fù)雜的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為求不多的幾項(xiàng)的和。

②對(duì)通項(xiàng)中含有（－1）ⁿ的數(shù)列，求前n項(xiàng)和時(shí)，應(yīng)注意討論n的奇偶性。

③倒序相加和錯(cuò)位相減法是課本中分別推導(dǎo)等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和用到的方法，在復(fù)習(xí)中應(yīng)給予重視。

【典型例題】

例1. 已知數(shù)列，，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的表達(dá)式。

證明：∵，∴

假設(shè)存在某個(gè)，則可以推出與矛盾。

∴是等比數(shù)列。

。

例2. 在數(shù)列中，=1，   （n+1）·=n·，求的表達(dá)式。

例3. 已知下列兩數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n的公式，求的通項(xiàng)公式。

（1）。 （2）

例4. 設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和，若c₁=2，c₂=4，c₃=7，c₄=12，求通項(xiàng)公式c_n

解：設(shè)

例5. （天津文20）在數(shù)列中，，，．

（I）證明數(shù)列是等比數(shù)列；

（II）求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（I）證明：由題設(shè)，得

，．

又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，且公比為的等比數(shù)列．

（II）解：由（Ⅰ）可知，于是數(shù)列的通項(xiàng)公式為

．

所以數(shù)列的前項(xiàng)和．

例6. 已知數(shù)列：1，，，，…，，求它的前n項(xiàng)的和S_n．

解：∵ a_n＝1＋＋＋……＋

＝   ∴a_n＝2－

則原數(shù)列可以表示為：

（2－1），，，，…

前n項(xiàng)和S_n＝（2－1）＋＋＋…＋

＝2n－

＝2n－＝2n－2

＝＋2n－2

例7. 已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n＝n²－9n．

（1）求證：{a_n}為等差數(shù)列；

（2）求S _n的最小值及相應(yīng)的n；

（3）記數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n的表達(dá)式。

解：（1）n＝1時(shí)，a₁＝S₁＝－8 

n≥2時(shí)，a_n＝S_n－S_n－1＝2n－10 

∴ a_n＝2n－10   a_n＋1－a_n＝2

∴ {a_n}是等差數(shù)列.

（2）S_n＝n²－9n＝（n－）²－

∴當(dāng)n＝4或n＝5時(shí)，S_n有最小值－20.

（3）a_n＝2n－10  ∴ | a_n |＝| 2n－10 |

令a_n≥0  n≥5  ∴ 當(dāng)n≤4時(shí)，| a_n |＝10－2n

T_n＝，當(dāng)n≥5時(shí)，

T_n＝－a₁－a₂－a₃－a₄＋a₅＋a₆＋…＋a_n

＝（a₁＋a₂＋…＋a_n）－（a₁＋a₂＋a₃＋a₄）＝S_n－2S₄

＝n²－9n－2×（－20）＝n²－9n＋40

∴ T_n＝

例8. 求數(shù)列的前99項(xiàng)的和。

數(shù)列的前99項(xiàng)的和為2¹⁰⁰-101。

例9. 試求的前項(xiàng)和。

例10. （1）求和

（2）已知通項(xiàng)，求前項(xiàng)和。

例11. 已知函數(shù)f（x）＝（x－1）²，數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是公比為q的等比數(shù)列（q≠1），若a₁＝f（d－1），a₃＝f（d＋1），b₁＝f（q－1），b₃＝f（q＋1），

（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列{c_n}對(duì)任意的自然數(shù)n均有：，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解：（1） a₁＝（d－2）²，a₃＝d²，a₃－a₁＝2d

即d²－（d－2）²＝2d，解之得d＝2

∴a₁＝0，a_n＝2（n－1）

又b₁＝（q－2）²，b₃＝q²，b₃＝b₁q²

即q²＝（q－2）² q²，解之得q＝3

∴b₁＝1，b_n＝3^n－1

（2）

S_n＝c₁＋c₂＋c₃＋…＋c_n

＝4（1×3⁰＋2×3¹＋3×3²＋…＋n×3 ^n－1）

設(shè)1×3⁰＋2×3¹＋3×3²＋…＋n×3 ^n－1

31×3¹＋2×3²＋3×3³＋…＋n×3 ⁿ

－21＋3＋3²＋3³＋…＋3 ^n－1－n×3 ⁿ＝－3 ⁿ·n

∴S_n＝2n·3ⁿ－3ⁿ＋1

【模擬試題】

1. 數(shù)列的通項(xiàng)公式是             

2. =             

3. 數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為          

4. 已知數(shù)列，，則的通項(xiàng)公式為           

5. 設(shè)且則的值為         

6. 求數(shù)列1，的前項(xiàng)和。

7. 數(shù)列的前項(xiàng)和，則=_____________

8. 一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和則___________

9. 數(shù)列的前項(xiàng)和為              

10. 求和：

11. 設(shè)利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式的方法，可求得

的值為____________

12. 已知，，求：的值。

13. 已知數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是公比為q（q∈R且q≠1）的等比數(shù)列，若函數(shù)f （x）=（x－1）²，且a₁ = f （d－1），a₃ = f （d+1），b₁ = f （q+1），b₃ = f （q－1），求數(shù)列{ a _n }和{ b _n }的通項(xiàng)公式。

【試題答案】

1.

2. 2076

3. 250

4.

5. 6

6. 解：，

7.

8. 1

9.

10.

11.

12. 解：∵時(shí)，