遞推數(shù)列的題型多樣，求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法也非常靈活，往往可以通過(guò)適當(dāng)?shù)牟呗詫?wèn)題化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題加以解決，亦可采用不完全歸納法的方法，由特殊情形推導(dǎo)出一般情形，進(jìn)而用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，因而求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題成為了高考命題中頗受青睞的考查內(nèi)容。筆者試給出求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的十種方法策略，它們是：公式法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、對(duì)數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法、不動(dòng)點(diǎn)法、特征根的方法。仔細(xì)辨析遞推關(guān)系式的特征，準(zhǔn)確選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ茄杆偾蟪鐾?xiàng)公式的關(guān)鍵。

一、利用公式法求通項(xiàng)公式

例1  已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解：兩邊除以，得，則，

故數(shù)列是以為首，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說(shuō)明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。

二、利用累加法求通項(xiàng)公式

例2  已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解：由

得

則

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。

例3  已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解：由

得

則

所以

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。

例4  已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解：兩邊除以，得

，

則，

故

因此，

則

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出+…+，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

三、利用累乘法求通項(xiàng)公式

例5  已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解：因?yàn)?/span>，所以，則，

則

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。

例6  （2004年全國(guó)15題）已知數(shù)列滿足

，則的通項(xiàng)

解：因?yàn)?/span>             ①

所以            ②

所以②式－①式得

則

則

所以

          ③

由，取n=2得，則，又知，則，代入③得

。

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為（n≥2），進(jìn)而求出，從而可得當(dāng)n≥2時(shí)的表達(dá)式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。

四、利用待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式

例7  已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解：設(shè)          ④

將代入④式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得，則x=－1，代入④式，

得            ⑤

由≠0及⑤式，得，則，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則，故。

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。

例8  已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解：設(shè)            ⑥

將代入⑥式，得

整理得。

令，則，代入⑥式，得

          ⑦

由及⑦式，

得，則，

故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，因此，則。

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

例9  已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解：設(shè)

          ⑧

將代入⑧式，得

，則

等式兩邊消去，得，

則得方程組，則，代入⑧式，得

         ⑨

由及⑨式，得

則，故數(shù)列為以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此，則。

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。

五、利用對(duì)數(shù)變換法求通項(xiàng)公式

例10  已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解：因?yàn)?/span>，所以。在式兩邊取常用對(duì)數(shù)得            ⑩

設(shè)  11

將⑩式代入11式，得，兩邊消去并整理，得，則

，故

代入11式，得

            12

由及12式，

得，

則，

所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以5為公比的等比數(shù)列，則，因此，則。

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過(guò)對(duì)數(shù)變換把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。

六、利用迭代法求通項(xiàng)公式

例11  已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解：因?yàn)?/span>，所以

又，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。

評(píng)注：本題還可綜合利用累乘法和對(duì)數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，即先將等式兩邊取常用對(duì)數(shù)得，即，再由累乘法可推知，從而

七、利用數(shù)學(xué)歸納法求通項(xiàng)公式

例12  已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解：由及，得

由此可猜測(cè)，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。

（1）當(dāng)n=1時(shí)，，所以等式成立。

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，

由此可知，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。

根據(jù)（1）（2）可知，等式對(duì)任何

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過(guò)首項(xiàng)和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項(xiàng)，進(jìn)而猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。

八、利用換元法求通項(xiàng)公式

例13  已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解：令，則

故，代入得

即

因?yàn)?/span>，故

則，即，

可化為，

所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因此，則+3，即，得。

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過(guò)將的換元為，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。

九、利用不動(dòng)點(diǎn)法求通項(xiàng)公式

例14  已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解：令，得，則是函數(shù)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)?/span>。，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故，則。

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，即方程的兩個(gè)根，進(jìn)而可推出，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。

例15  已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解：令，得，則x=1是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)。

因?yàn)?/span>，所以

，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則，故。

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，即方程的根，進(jìn)而可推出，從而可知數(shù)列為等差數(shù)列，再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。

十、利用特征根法求通項(xiàng)公式

例16  已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解：的相應(yīng)特征方程為，解之求特征根是，所以。

由初始值，得方程組

求得

從而。

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是先求出特征方程的根。再由初始值確定出，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式。

3.3遞推數(shù)列

一、基本知識(shí)簡(jiǎn)述

1．有關(guān)概念：我們?cè)谘芯繑?shù)列{a_n}時(shí)，如果任一項(xiàng)a_n與它的前一項(xiàng)（或幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，則此公式就稱為數(shù)列的遞推公式。通過(guò)遞推公式給出的數(shù)列，一般我們也稱之為遞推數(shù)列。

主要有以下幾種方法：

（1）       構(gòu)造法：通過(guò)構(gòu)造特殊的數(shù)列（一般為等差數(shù)列或等列），利用特殊數(shù)列的通項(xiàng)求遞推數(shù)列的通項(xiàng).

（2）   迭代法：將遞推式適當(dāng)變形后，用下標(biāo)較小的項(xiàng)代替某些下標(biāo)較大的項(xiàng)，在一般項(xiàng)和初始之間建立某種聯(lián)系，從而求出通項(xiàng).

（3）   代換法：包括代數(shù)代換、三角代換等

（4）   待定系數(shù)法：先設(shè)定通項(xiàng)的基本形式，再根據(jù)題設(shè)條件求出待定的系數(shù)。

3.思想策略：構(gòu)造新數(shù)列的思想。

4.常見(jiàn)類型：

  類型Ⅰ：（一階遞歸）

類型II:分式線性遞推數(shù)列:

二、例題：

例1：，，求通項(xiàng)

 分析：構(gòu)造輔助數(shù)列， ，則

求通項(xiàng)過(guò)程中，多次利用遞推的思想方法以及把一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列去討論，從而求出了通項(xiàng)公式。

[一般形式] 已知，，其中p,q,a為常數(shù)，求通項(xiàng)

[同類變式]已知數(shù)列滿足，且，求通項(xiàng)

分析：（待定系數(shù)），構(gòu)造數(shù)列使其為等比數(shù)列，

即，解得

求得

[歸納]：

類型Ⅰ：（一階遞歸）

其特例為：

（1）時(shí), 

利用累加法，將，+,+…,各式相加，得 +(n2)

(2)時(shí),;利用累乘法,

（3）時(shí),

解題方法：利用待定系數(shù)法構(gòu)造類似于“等比數(shù)列”的新數(shù)列

法1：(常數(shù)變易法) 設(shè)    則，從而

亦即數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為p的等比數(shù)列，

從而可得：，

法2：

利用成等比數(shù)列求出，再利用迭代或迭另法求出

法3：由，則可得

  ,從而又可得

        即

（4）時(shí),

兩邊同除以

例2：數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，＝，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

例3：數(shù)列中，且，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

[提示]

[歸納]：類型II:分式線性遞推數(shù)列:

練習(xí)：1.已知數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，并且，

⑴設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

⑵設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

⑶求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和。

分析：由于{b}和{c}中的項(xiàng)都和{a}中的項(xiàng)有關(guān)，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入點(diǎn)探索解題的途徑．

解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a．(根據(jù)b的構(gòu)造，如何把該式表示成b與b的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強(qiáng)恒等變形能力的訓(xùn)練)

a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b      ①

已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3    ②

由①和②得，數(shù)列{b}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，故b=3·2．

當(dāng)n≥2時(shí)，S=4a+2=2(3n-4)+2；當(dāng)n=1時(shí)，S=a=1也適合上式．

綜上可知，所求的求和公式為S=2(3n-4)+2．

說(shuō)明：1．本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個(gè)數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和。解決本題的關(guān)鍵在于由條件得出遞推公式。

2．解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問(wèn)的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過(guò)程中適時(shí)應(yīng)用．

練習(xí)：2.設(shè)二次方程x-x+1=0(n∈N)有兩根α和β，且滿足6α-2αβ+6β=3．

(1)試用表示a；

例9．?dāng)?shù)列中，且滿足

⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)，求；

⑶設(shè)=，是否存在最大的整數(shù)，使得對(duì)任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：（1）由題意，，為等差數(shù)列，設(shè)公差為，

由題意得，.

（2）若，

時(shí)，

故

（3）

若對(duì)任意成立，即對(duì)任意成立，

的最小值是，的最大整數(shù)值是7。

即存在最大整數(shù)使對(duì)任意，均有

說(shuō)明：本例復(fù)習(xí)數(shù)列通項(xiàng)，數(shù)列求和以及有關(guān)數(shù)列與不等式

構(gòu)建新數(shù)列巧解遞推數(shù)列競(jìng)賽題

遞推數(shù)列是國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題的“熱點(diǎn)”之一，由于題目靈活多變，答題難度較大。本文利用構(gòu)建新數(shù)列的統(tǒng)一方法解答此類問(wèn)題，基本思路是根據(jù)題設(shè)提供的信息，構(gòu)建新的數(shù)列，建立新數(shù)列與原數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間的關(guān)系，然后通過(guò)研究新數(shù)列達(dá)到問(wèn)題解決之目的。其中，怎樣構(gòu)造新數(shù)列是答題關(guān)鍵。

1  求通項(xiàng)

求通項(xiàng)是遞推數(shù)列競(jìng)賽題的常見(jiàn)題型，這類問(wèn)題可通過(guò)構(gòu)建新數(shù)列進(jìn)行代換，使遞推關(guān)系式簡(jiǎn)化，這樣就把原數(shù)列變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列和線性數(shù)列等容易處理的數(shù)列，使問(wèn)題由難變易，所用的即換元和化歸的思想。

例1、數(shù)列中，，。求。

（1981年第22屆IMO預(yù)選題）

分析  本題的難點(diǎn)是已知遞推關(guān)系式中的較難處理，可構(gòu)建新數(shù)列，令，這樣就巧妙地去掉了根式，便于化簡(jiǎn)變形。

解：構(gòu)建新數(shù)列，使

則  ， ，即

化簡(jiǎn)得 

，即

數(shù)列  是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。

   即

2  證明不等式

這類題一般先通過(guò)構(gòu)建新數(shù)列求出通項(xiàng)，然后證明不等式或者對(duì)遞推關(guān)系式先進(jìn)行巧妙變形后再構(gòu)建新數(shù)列，然后根據(jù)已經(jīng)簡(jiǎn)化的新數(shù)列滿足的關(guān)系式證明不等式。

例2、設(shè)，  ，求證：。

（1990年匈牙利數(shù)學(xué)奧林匹克試題）

分析  利用待證的不等式中含有及遞推關(guān)系式中含有這兩個(gè)信息，考慮進(jìn)行三角代換，構(gòu)建新數(shù)列，使，化簡(jiǎn)遞推關(guān)系式。

證明：易知，構(gòu)建新數(shù)列，使，

則

，

又 ， ，從而

因此，新數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。

考慮到當(dāng)時(shí)，有 。

所以，

注：對(duì)型如 ，，都可采用三角代換。

3  證明是整數(shù)

這類題把遞推數(shù)列與數(shù)論知識(shí)結(jié)合在一起，我們可以根據(jù)題目中的信息，構(gòu)建新數(shù)列，找到新的遞推關(guān)系式直接解決，或者再進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合數(shù)論知識(shí)解決。

例3、設(shè)數(shù)列滿足， 

求證：   。

（《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2001年第8期第53頁(yè)，高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試題）

分析  直接令，轉(zhuǎn)化為證明 

證明：構(gòu)建新數(shù)列，令

則 ，

代入     整理得

從而      

于是   

由已知，，，由上式可知，，，依次類推，  ，即。

例4、設(shè)r為正整數(shù)，定義數(shù)列如下： ，     求證：。

（1992年中國(guó)臺(tái)北數(shù)學(xué)奧林匹克試題）

分析  把條件變形為比較與 前的系數(shù)及與 的足碼，考慮到另一項(xiàng)為，等式兩邊同乘以，容易想到構(gòu)新數(shù)列，使。

證明：由已知得

構(gòu)建新數(shù)列，

則，

又

   |

   | ，從而 。

4  解決整除問(wèn)題

一般通過(guò)構(gòu)建新數(shù)列求出通項(xiàng)，再結(jié)合數(shù)論知識(shí)解決，也可用數(shù)學(xué)歸納法直接證明。

例5、設(shè)數(shù)列滿足，，對(duì)一切，有

，求所有被11整除的的一切n值。

（1990年巴爾干地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克試題）

分析  變形遞推關(guān)系式為，就容易想到怎樣構(gòu)建新數(shù)列了。

解：由已知

構(gòu)建新數(shù)列    

則， 

從而，，，當(dāng)時(shí)，由于被11整除，因而也被11整除。

所以，所求n值為，8，及的一切自然數(shù)。

5  證明是完全平方數(shù)

這類題初看似乎難以入手，但如能通過(guò)構(gòu)建新數(shù)列求出通項(xiàng)，問(wèn)題也就迎刃而解了。

例6、設(shè)數(shù)列和滿足，，且

求證：是完全平方數(shù)。

（2000年全國(guó)高中聯(lián)賽加試題）

分析  先用代入法消去和，得，如果等式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)6，就可以利用特征根方法求通項(xiàng)，因此可令，易求得。

證明：由①式得， 代入②得

化為

構(gòu)建新數(shù)列，，且，

由特征方程   得兩根

，

所以 

當(dāng)，1時(shí)，有

解得：

則

則

因?yàn)?/span> 為正偶數(shù)，所以，是完全平方數(shù)。

從上述各題構(gòu)建新數(shù)列的過(guò)程中，可以看出對(duì)題設(shè)中遞推式的觀察、分析，并據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行合理變形，是成功構(gòu)建新數(shù)列的關(guān)鍵。構(gòu)建新數(shù)列的目的是為了化繁為簡(jiǎn)、化未知為已知、化不熟悉為熟悉，這也是解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的共性之所在。